用万能公式解三角方程注意失根

先看丫例:解方程主鲜:‘“盯产1。解法一(不用万能公式)解得一2.犷.,丫,一月峙·9 In万‘CO公义 、。二‘二‘哈抽势,:11(x一 兀x一万二Zk;+牛或x- q=2论二十全 4(无〔Z)军一4x二Zk刀十2左:+刃(k任z)。 原方程+万;kCZ) 解法二 必InJ的解集为笼川x二2左汀+三2或x二2k二(用万能公式)一c。。:二:中,二t,得二」(=)艺乙,一〔i一z之)二1+‘:尸一时专二乡l二k汀+“”‘g石:」·从而“〔z)“,二2“”+签“〔z,J兀一月峪孔2 原方程的解集为行!:二2标十粤介“。Z} 到底哪禾.解法正确?可将x=2标十二(无〔z)代入原方程去检验,知其为原方程的恨。说…     

三角形不等式浅析

三角形不等式是指 !}。一1乙】!成!a+b{镇】al一卜!儿!,a,b任C 在中学数学教学中,人们对不等式中等号成立的条件颇为注意,而对不等号(即}!。}一}川!相似文献   

证完“6~(2n-1)+1能被7整除”之后……

高中代数第二册上有一道习题:求证6卫“一‘+1(,￡〔N)能被7整除。 这里,证明略去不谈,只作如下猜想: 1“”一‘+1能被2整除, 2卫。一‘+1能被8整除, 3,“一‘+1能被4整除,醉 :二:一,+1能被(从十1)整除,(其中川是自然数).(灭) 结论是肯定的,以下对(狱)式进行证明。 (i),=if于寸,脚2”一‘+i二,,:+1,命题显然真, (2)假设n=k时,命题真。即,,之“K一‘+1能被。,+1整除。则当”=k十1时, 仇么、K+‘〕一1+1二z,,艺K一1 .2了2+1 =勿几术一1。mZ+,,,二K一1一,,,至K一1+1 =m“K一‘(,,,艺一1)+,,z二K一‘+1 显然,:空K一’(m“一1)能被(胡+1)整除…     

上期课外练习参考解答

1 .f(二)一Zsin(。+*一夸,· “,f(x,的图像过原点~f(。,一Zsin(*一合,一。 一华一奴十粤(k任z);故势一k;十粤(k ez)为所求 JJ (2,当*一晋一晋时,了(?,一Zsin‘、+晋,- ZC0sajx为偶函数·而当*一晋一誓,f(二,一ZSin(田了 +誓卜一ZCOS田二也是偶函数·故*一誓为所求· 注此小题为开放题,答案有无穷多.由*一晋- 罕。得*一罕!(‘。2).故*等于罕!(* 任Z)中的任何一个值都是所求的一个充分不必要 条件. (3)由题意,浦\。浦’ {亏了)“{亏’ 二簇2 冷 习 切脸一W 誓、W<半为所求 f(eos28+Zmsin夕)+f(一Zm一2)>o,且f(x) 是奇函数. f(。05艺8…     

化简i~n的小改进

l, 大家知道f4二l,化简f.(n>4)只要求出k、P、使。=4k+P(k〔N,P=o,z,2,s)即可。但当。较大时要做除法,我将原法改进,可以使运算量大为减少,现介绍如下,供参考. 定理设正整数n的十位数字为a:,个位数字为a:,则化简:fn粤一tg罕二一:‘n普气一,,内乙例解 (l)当。:为偶数时,有,三。,(。。d4), (2)当。:为奇数时,有。二10十a,(仇补d4). 证(l)n=1 00水+10q:+a,=100勿++10(Zn,)+a,=10Om+20。,+a:三a:(优。试4); (2)”=100阴+10a2+a一=100优++IQ(2nl+1)+a;=100仇+Zon;+10+a; 兰10+a,(机0d4). 例1化简‘”吕3;‘”‘66几,’. 解““吕3一￡3二一￡…     

角a、a/2、2a终边位置的研究报告

(~责审余炯沛)a终边位置一象限二象限三象限一四象限一注释代数表示 Zk兀相似文献   

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

单位根为结点的Hermite插值

发散性.令A奋(D)表示解析于D={}习<1}而其k阶导数连续于D上的函数的全体.对于结点系 2奋.2.=仑. i.=。,”〔N,考虑Hermite插值算子H:。十l:A,(刀)~兀:。十:、2一(了,2卜客}1一黯(一)11(:)f(z。) 名(z一:,)l乳(:)f‘(z,).定义】}f}!.:=MaxZsup If“’(z)!飞; 0‘1‘今几.e万J}{H:。 ;!1,=sup;吸}}H2.十lfll 引理1 .1汇,,令二;,…,z二是C中不同的点.定义功.(z,如=(二一口(”,一雪介)(1(k毛N)且置尸,,二(:)=n势,(“,2.,).功.(二,,z,),。,(:)=f工上绝牛、‘’, \1 I之,}/这里。,〔N将于后面具体确定.又设尸“幻=。,(幻R,,二(幻,那么,对…     

复数方程变形也应注意同解性

压区性是复平面上的一点,对应复数z;,z是模为l的任意复数,求Zw=z+21所表示的轨迹. 解答这道题,常有下面两种方法: 解法一:由2切=21+2得Zw一z二z;,方程两边取模得}w一粤}二 ‘l生Ll,21 故所求轨迹是复数音对应的点为圆心(定长)为半径的圆(族).解法二:由Zw=z+z;得Zw一z,=z方程两边取模得lw一令!一}白故}w一今}一告所以,所求轨迹是以今所对应的复平面上点(定点)为圆心,以士为半径的圆. 这两种解题方法相同,所求轨迹亦都是圆,但结果不一‘致,是什么原因造成的呢? 解法一由Zw=之+zl,得Zw一z=21,这是等价的,方程两边取模,显然,Zw一z与z的模是…     

上海1991年一道高考试题之我见

1991年上海高考数学试题的第25题(1)是: 设复数:的幅角为O(0成e<们,且满足等式}z一云卜1.求复数砂一八的幅角(用含O的式子表示)其中‘为虚数单位;+‘9‘·(2“一百一)故,A·;(一‘,一2”一夸幸Zk二(k任:).从而A,g(:2一:i)二A,g;+A:g一“+““一晋一+2‘“一3“一署+“‘“ 试题解答者只给了此题一种解法,且运算最大.笔者结合命题的几何意义,给出一个较为简便的解法.另外,笔者以为,命题在:=O时失误.·(名一坛)(k任名) 若:二0,则扩一:￡一o,而复数o之幅角为任意实数,故Arg(扩一成)无法用含z(此时为0)的幅角(此时按已知为印,,)内任意实数)O…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

复数(选择题五道)

1.设:一a(l+落),其。>1.令。;一:+三,,‘~:·三,则有 (A),),(B)二>。 (C),(、(D),<: 2.0〔(O,的,则复数1一coso+妞n0的辐角主值是(A)晋+号(c)誓+号(B)晋一号(”,誓一号3.复数:一。os晋+“in晋经·次乘方后得三=cOS万一双n号,则·的最小正整数值为(A)13(B)7(C)5(D)24.复数:满足关系式:十卜!~2十卜则名为 3LA少一下~十名 任3丁一‘(B(D(C) 3一万一‘3一石一十忿〕 5.正三角形月脚中,顶点B和c分另」对应复数一2i和2,且三角形的中心在原点,则顶点月对应的复数为 (A)一2十2‘(B)2一2茜 (C)l一‘(D)一l+i附:本期“望”与“答”二次曲线 …     

关于庞卡雷和柏龙线性微分方程解的问题

一、引言 鹿卡雷〔l]和柏能〔2,研究了技性微分方程的解在煞熊速虑的情形,鹿卡雷得到了下面的桔果: 如果二嘈技性微分方程凳+Pl(二)粤+Pa(:),一。aX‘a苏(1 .1)中的保数尸,(劣),几(二)是下面形式的韶:+一十几(x)=尸2(对=-、.产“2Al,,x,+Al,乡一1劣p一1A2,,劣,+AZ,,一声p一1AO,P劣,+A。,卜lx,一1A么,劣,+AZ,,一z卜1+Al,。+AZ,。+A。,。十AZ,。+一十 A‘,,并o,(乞=o,i运畴我们将方程(1.1)化篇方程粗器一,,,会一2一pl(x,一pz(x)·(1 .2) 具U在方程(1.幻中第二锢式子的解l((幻,赏、然限增加峙,川幻超龄方程 AZ,P沙+Al,D:+A。,,二0,…     

巧用均值不等式证明IMO42第2题

题证明:一生一+下尘狂二+ 一一”’气压了丁丽丢抓弃不石)~.共二一妻1(a,b,。eR‘,以下简称赛题).石不万品一‘一’一’-一”一‘一r·一一一因为当a,白,。不全等时,9a2一(aZ+sbc),9西2一(bZ+sac),9。2一(:“+sa吞)三数中至少有一个为负,所以,文[1〕中令ga了驴下百民,9‘了石不目丽,9。、吓乏不而的最大者为k,并得:M一N妻坠全‘竺土三勺二丛旦鱼生经垫些的做法显然有误. 以下利用均值不等式给出赛题的一个简捷证法.证明a号了。2+8加‘/_粤I_2、Q;,、。号丫。号、:(2。号。合。告)(2。号‘号)了。号+(2。哥。合。晋),十(2。号‘号)2。号丫…     

最大值与最小值相等

题:求函数,一(,一x) 不与,·。(。,,,的。值解法一令‘一二(l一x)·::。(。,1),.、‘。(。,专)‘ ;一‘,一, 淤。一‘万一六,’ 丫万一六“‘。,韵上为单调递增函“…,一:一等·解法二令‘一(卜Z)则,一‘ 令·…。(。,1),…‘。(。,专〕3l易证:,一‘十令在(0,1)上为单调递减函数·一 l7一‘十令在(0,专〕上为单调递减函数·“.,‘一丁本期“数学诡辩”揭底 纵观两解过程似乎无懈可击最小值,谁是谁非呢?,等既是般大值又是”法二正确,解法一中因石一六在‘〔(。,专〕时为负数,平方后单调性改变·最大值与最小值相等@朱根顺$山西新绛中学 …     

略谈命题的“强”与“弱”

。,,冬净。‘,故最小锄:,. 显然,如此得到的是一个不宜的.奈您(爪管证得的不等式是成立的),这是自子忽视了不等式中等号成立的条件所致.值的正确答案是别.这一错解,事客上,尺小仅是;证1’一个与真命题不等价的校“弱”既命题,把(1十的下界元盆百寻丈究了。 、矛尹佗人一‘ + 口工 了‘、 吸、/甲三﹄.乡 + 曰上 了‘、 、、了,沐﹄a先看一卜简单的例子.〔问题〕已知a.石,c为正变量.且满足口十石十。二1.求(1+幼( C;,冬)(;,粤)的最小值. r‘事生中有如下的解答:1*去Za+b+e ‘3备‘夕‘归: ‘.同样,1:卜鱼立丛兰;1* 件右华三赵二三兰‘亡三式…     

幂函数、指数函数、对数函数

一、选择题(正确答案唯一) 。、。,,、劣 1既.__.,1、一_ ‘·已知‘闭代士全,则了一,(护等于().(、)华(B)粤 1—22—1(C)公一1公 12.已知函数约 ,1._f二 l—,十1、(o)f粤一l 11_I 、丁一1/ :十3劣2一9二丁一一丁,夕2=.飞尸一万一二一二二 :一4护子‘:z一7劣 12 (A)ACB(B)A〕B(C)A~B; (D)以上答案都不对 3.若f(z)一(。一1)护十Zmx 3为偶函数,则f(:)在(一5,一2)上(). (A)是增函数(B)是减函数 (C)有增有减(D)不能确定增减性 1 .1,,一___*_今·夕~.一一了十一下产日9但属士达l司 又‘1的值域分别为A、B,则() ·28· ‘09专了’o号了(A…     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

上期课外练习解答

高一年级夕一Zeos了一3sin了一瓜(一雀5 in二+ \丫IJ一甲不了sin(二+创,丁云cos了其中,an。一号·当:最大时,5 in‘二十,,一‘,二+,一借…t·nZ一(晋一。)一。一普·2.’:j(川~tanx中,x铸k二+要(k ez), 乙 且f(一川-一j(劝. tano=tan(2+3一5), tanZ十tan3+tan(一5)=tanZ·tan3·tan(一5), tans=tanZ+tan3+tanZ·tan3·tans.3.奇函数f(劝,二任(一二,0)U(0,+二). 又f(x)在(o,+二)上为减函数, f(x)在(一oo,0)上为减函数. f(3)一O二f(一3)-一f(3)一0. f(川<。的解集为{川一33}. N={m】f[g(夕)〕3}.…     

不等关系帮助解题(续完)

例8设·次多项式p(幻=已一才一,+勺犷一,+一十c.一衬一矿坛+b有.个正根,求这些根· 解设P(幻的:个根为幻,勺,”‘·, 则::,::,…,‘>0, 由韦达定理知:工:十介+…+‘=l :一忿,…劣一:十::公:…劣。+…十劣,::一二. 二(一l)一:二二兰全 a b 艺盆.公.‘一劣。=L一l)’— a 从而会+女+一+会一 (::十孔+.二+动(上十上十…+与一。: 了l考忿子. 但(一+一+…+二)(告+会+一+士,》一且等号成立当且仅当‘:=‘,=”‘~:’.少故:,二::二·一:.= 注人为地构造出符合某个已知不等式形式的等式,再利用已知不等式中等号成立的条件导出相等.这种手法技巧性强,…