课本为基础 变式是灵魂——一道课本例题的变式应用

<正>对于教材基本题目的探索和应用对提高学生应用知识解决问题起到重要作用.下面就从一道课本问题的灵活应用谈谈它的探索过程.1.题目如图1,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF,BE与DF之间有怎样的关系?请     

一道中考题的“进化”——“相似三角形的复习”

中考题(2010山东东营-24)如图1,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长; (2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于.x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

更多探索 更多精彩——对一道中考题的再拓广

2009年山东临沂中考题:如图1,已知正方形ABCD,E是BC的中点,CG为∠C的外角平分线,AE⊥EF,(1)求证:AE=EF.(2)若把E是BC的中点换成E是BC边上或BC延长线上的任一点,问AE=EF还成立吗?证明之.     

一道竞赛题的多种解法

<正>例题(第七届世界少年数学团体锦标赛)正方形ABCD中,点E、F分别在边AB,BC上,且AE∶EB=1∶2,BF∶FC=1∶2,AF分别与DE,DB相交于点G,H;若AG=6,求GH.方法1简析在Rt△ADE中,由三角形的面积公式,可求得正方形的边AB的长,进而可得GH的长.解设AE=a,则由     

勾股定理变式在中考中的应用

著名的古希腊数学家欧几里得在其巨著《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明,证法如下: 如图1,分别以Rt△BC的直角边AB、AC及斜边BC为边向外作正方形ABFG、正方形ACKH和正方形BCED,连结CF、AD,作AL上DE分别交BC、DE于点M、L. 显然,四边形BDLM和四边形MLEC都是矩形,△ABD(S=)△FBC,∴S△ABD=S△FBC, 而S矩形BDLM=2S△ABD,S正方形ABFG=2S△FBC, ∴S矩形肋LM=S正方形ABFG.同理有S矩形MLEC=S正方形ACHK, ∴S正方形ABFG+S正方形ACHK=S矩形BDLM+S矩形MLEC=S正方形BCED,即AB2 +AC2=BC2.     

对“到三角形各边距离相等的点”探究——一道课本例题的五个追问

<正>引例(课本例题)如图1,△ABC的角平分线BM、CN交于点P,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别为点D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.追问1在三角形内部到三边距离相等的点有一个,在三角形外部有到三边(所在直线)距离相等的点吗?     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

一道证明线段相等的经典几何题

题目 (2010年无锡市初中毕业升学考试第26题) (1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP平分线上一点,若∠AMN=90°,求证:AM=MN.     

一道课外习题的多种证法和说明

<正>《中学生数学》2020年8月下(初中版)课外练习初二年级第3题:问题呈现已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于点M,点D在BC上,且AC=CD=DB,AD与CM交于点E.求证:2AE=ED.本题看似繁复,实则简单.它是一直角边为另一直角边2倍的直角三角形,在正方形问题中经常出现,只不过把它从正方形分离出来,变化为直角三角形的问题.     

创设情境引导思考的一则案例

教学片断这是“实数与向量的乘法”新授课 .当我讲授了实数与向量乘法的定义及运算律之后 ,在黑板上给出了以下问题 :如图 ,在△ABD中 ,F是AB的中点 ,C是BD延长线上的点 ,且BC =2BD ,设AD =a→,BC =b→ .教师 :请用a→,b→表示CA .这道例题是笔者在教材例题的基础上稍作修改而来的 ,由于问题比较简单 ,大多数学生思考片刻后便找到了答案 .教师 :请一位同学讲述一下该如何解决这个问题 .学生 1 :CA =CD +DA=12 CB +DA =- 12 BC -AD =- 12 b→-a→.教师 :很好 .学生 1发现所求向量CA与已知向量AD组成了△ACD ,因此根据向量加…     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

一道中考题的再探究

<正>1.题目如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH的面积的最小值.这是2015年江苏省泰州市中考数学试卷中的第25题,韦海关老师在文[1]里给出深入的探究和详尽的解答,并在文章最后一段说:"此题的命制,来源于课本,又高于课本,给广     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

正方形一特性之探究

正方形是我们生活中常见的图形,在数学中可称为完美的四边形,具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.下面通过例题对正方形所特有的另一性质进行剖析、整理.例1如图1,边长为a的正方形AB-CD中,若∠1+∠2=45°,则有∠3=4,∠5=     

对一道课本例题的学习研究

课本例题一般是编者通过精心编拟而设置的 ,具有代表性、典型性和启发性 ,因而在学习中 ,我们要善于研究它们 ,做到举一反三 .本文试以一例说明 ,供同学们参考 .全日制普通高级中学教科书 (实验修订本 (必修 ) )数学第二册 (上 )第 130页例 2是如下例题 .图 1　例题图例题　如图 1,直线 y=x - 2与抛物线 y2 =2x相交于A ,B两点 ,O是坐标原点 ,求证∠AOB =90° .(以下称问题 )如图 1,此问题涉及抛物线的弦对其顶点张角的问题 ,课本是用纯解析几何知识解决的 ,下面我们用平面向量的有关知识来研究 .1　问题的别解证明　设A(x1,y1) ,B(x2 ,y…     

一组例题的变式教学

浙教版数学第三册《线段中垂线的性质定理》一节,教材配有如下两个例题:例1如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,E、F分别是BC、AB上的点,且AE是CF的中垂线,求证:∠1=∠2.图1例2如图2,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的中垂线分别交AB、AC于D、E,求证:AE=2CE.为实现学生的学习方式从接受式向活动式、从模仿向探索的转变,教师从课堂单一的知识传授者向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的转变,在教学中,笔者把这一组例题改编成一个数学实验题.以下是这一组例题的教学片断.师:同学们,我们一起来体验一下线段中垂线性质…     

一道有趣的高考数学试题的延伸与拓展

2012年高考数学全国卷(大纲版)的文理科选择题第12题,非常有趣,试题如下:文科12题:正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=1/3,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()     

一道中考题的多种解法

如图.P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB. (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD. (2)设AP=x,△PBE的面     

数学问题解答

20 0 4年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 96　已知M ,N是正方形ABCD的边BC ,DC延长线上的点 .求证 :正方形ABCD的面积与三角形CMN的面积相等的充要条件是∠MAN =45°.(中南大学附属铁道中学　李一麟　 410 0 0 4)解 　如图 ,以点B为原点 ,BC为横轴 ,BA为纵轴建立直角坐标系 .设正方形的边长为 1 .∠DAM =α ,点A( 0 ,1 ) ,M(cotα ,0 ) .若∠MAN =45°,则N 1 ,1 -tan( π4 α) ,｜CM｜ =cotα- 1 ,｜CN｜=tan( π4 α) - 1 .S MCN =12 (cotα- 1 ) [tan( π4 α) - 1 ]=12 ( 1 -tanαtanα ) 2tanα1 -tanα=1 …