由“平方差公式”引发的联想与探究

<正>对于同学们来说,能否"从一个问题出发,进行联想与探究"是很重要的,这其中表现的是同学们发现问题、提出问题和解决问题的能力.我们学习乘法公式时首先学习的是平方差公式,学习了它以后,我们从平方差公式出发,如何进行联想与探究呢?一、联想平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.由此怎样联想呢?不能"乱想、瞎想".我们就它     

再谈由“平方差公式”引发的联想与思考

<正>联想是一种思维方式,联想是由此及彼的思考.在文[1]中,谈到了如何从平方差公式出发进行联想与探究,这里再谈由平方差公式引发的联想与探究.一、再联想在文[1]中,已谈到,从平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2左式可以联想到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4……;并得到它们的展开式的各项系数可排列成"杨     

学习乘法公式要注意“三性”

乘法公式有以下三个:(Ⅰ)平方差公式(a b)(a-b)=a2-b2;(Ⅱ)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab b2;(Ⅲ)立方和(差)公式 (a±b)(a2(?)ab b2)=a3±b3.     

乘法公式应用举例

乘法公式有平方差公式(a b)(a-b)= a~2-b~2、完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab b~2,在学习中应掌握以下三种乘法公式的用法．一、直接套用公式掌握公式的特征、认清公式中的两数,给“a”、“b”对号入座．例1计算(-2m 3n)(-2m-3n)．分析题目中具备-2m、3n的和与差的乘积形式,符合平方差公式,直接套用公式．     

巧用拼图游戏验证平方差公式

平方差公式是指两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.公式为a2-b2=(a-b)(a+b).利用拼图游戏来验证平方差公式增强了学习的趣味性,也给了公式的几何直观解释.文[1-2]给出四种构造方法,本文将再给出三种不同的构造方法,并结合文[1-2]中的两种     

平方差公式的应用

<正>平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,这个公式的特征是公式的一边为两个数的和与差的积,另一边为两个数的平方差.公式中的a、b可以是数,也可以是代数式,有些式子表面上看不能用公式,但通过适当变形就能用公式.可见,平方差公式的应用是很灵活的.因此,同学们要准确把握它的结构特征,大胆地去应用它.一、平方差公式在多项式计算中的应用在多项式计算中,我们遇到的式子往往不是平方差公式的形式,不能够直接应用平方差     

建立几何模型,巧记乘法公式

在乘法公式的学习中,对公式常常理解不到位,记忆不准确.如果从几何的角度出发,建立直观的、形象的几何模型,则便于理解和记忆.下面我们举例进行说明. 一、平方差公式 公式:(a b)(a-b)=a2-b2. 几何模型:长方形的面积. 构造过程:构造一个长为(a b)、宽为(a-b)的长方形(见图1),则其面积为S=(a b)(a-b).下面,我们将长方形沿虚线截取宽为b、长为(a-b)的一个小长方形,并将它补成如图2所示的图形.     

几个平方公式的有机统一

我们所熟悉的勾股定理、完全平方和 (差 )公式以及平方差公式等 ,都是中学数学的基本内容 .如果我们约定 ,三角形的某两条边可以重合 (共线 ) ,那么 ,这些平方公式都可以看作是余弦定理的特例 ,或者说 ,余弦定理可以把这些平方公式有机的统一起来 .所谓余弦定理 ,是指下面三个公式 :a2 =b2 +c2 -2bccosA (1)b2 =a2 +c2 -2accosB (2 )c2 =a2 +b2 -2abcosC (3 )其中A、B、C是△ABC的三个内角 ,a、b、c是这三个角所对应的边长 .特例 1当C =90°时 ,△ABC是一个直角三角形 .此时 ,cosC =cos90° =0 ,(3 )式变为c2 =a2 +b2 .这恰是著名的勾…     

利用“等号”成立条件解题举例

一、两个命题我们知道,对任意实数a、b,有(a-b)2≥0,当且仅当a=b时取等号.这里的当且仅当意指:若a=b,则(a-b)2=0及若(a-b)2=0,则a=b同时成立.将(a-b)2≥0利用完全平方差公式展开变形立得:     

公式运用“五注意”

公式是解题的重要依据,灵活巧妙地运用公式,可使问题迅速地得到解决.在运用公式时,请同学们注意以下几个方面.一、注意公式的广泛性应用公式要正确理解,掌握公式中字母具有的广泛意义,既可表示数,也可以表示式.如(a+b+c)(c-a-b)可变为-[(a+b)+c][(a+b)-c]使之符合平方差公式的结构特征.还要注意公式之间的异同,譬如在应用乘法公式时,要避免出现以下错误:(a+b)2=a2+b2;(a-b)2=a2-b2;(a-b)2=a2-2ab-b2等等.     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

乘法公式应用举例

<正>灵活地运用乘法公式,可起到快捷求解目的.因为公式中的字母a、b既可以表示数,也可以表示代数式,所以在实数的运算,代数式求值,分式的运算,因式分解以及根式的运算方面都有着广泛的应用.现举例说明如下.一、在实数运算方面的应用.利用完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2,平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2,可以     

有趣的正弦平方差公式

苏教版必修4第99页上有这样一道习题:"求证:sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β".这个公式形式优美,与平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的结构十分相似,体现了数学的形     

二数平方差公式的应用

二数平方差的公式,(a b)(a-b)=a~2-b~2,凡是有中等文化程度的人,都很熟悉,但利用平方差公式,来简化运算程序,达到速算的目的,具体到一些数字上,什么数可以利用,怎样来简化,不是每一个人都很清楚的。现在,我把研究多年和教学的实践结果,介绍于后,抛砖引玉,供大家参考。     

《平方差公式》学习指导

平方差公式是初中整式乘法中的一个重要内容 ,它是多项式乘法中的一种特例 ,是对多项式乘法的一个必要补充 ,同时还是以后学习因式分解的基础 .因此 ,对于如何学好平方差公式一直是学生想要解决的问题 .本人结合在教学中的体会 ,谈一下自己的看法 ,供同学们参考 .一、要了解平方差公式在整式乘法运算中的作用在我们进行多项式的乘法运算时 ,有时不需要用多项式乘法做 ,而是利用平方差公式直接得出结果 .如 :计算 ( 1) (x+y) (x -y) ;( 2 ) ( 2 0 0 + 1) ( 2 0 0 - 1) ,运用平方差公式得到的结果既快又准 .二、要理解平方差公式的代数含义和…     

数学一定要大量练习吗

七年级学生在学习整式一章中,对字母的意义、公式的结构缺乏理解深刻,运算时往往生搬硬套,机械模仿,常常出错.于是老师们运用巴甫洛夫学说,反复刺激,加大训练量,试图形成条件反射,达到熟练掌握的目的.这真是必须的吗?以下以平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2为例,阐述笔者的看法.     

对一道有趣不等式的深入探究

有这样一道吸引大家眼球的有趣不等式试题：问题1设正实数a,b,c满足abc=1,求证：a2＋1（1/2）＋b2＋1（1/2）＋c2＋1（1/2）≤2（1/2）（a＋b＋c）1本刊文[1]通过构造函数f（x）=x2＋1（1/2）-2（1/2）x-2（1/2）2lnx（x〉0）,借助二阶导数和三元均值不等式给出一个证明.是否有更简单、更初等（即不用导数）的证明呢？笔者经过思考发现,借助平方差公式和二元均值不等式,最终可以获得一个简单、     

利用欧拉公式解方程(组)

<正>我们知道对于任意实数a,b,c,都有如下公式:a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a2-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a³+b3+b³+c3+c³=3abc.当我们解方程(组)时,经常会碰到有两项或三项立方加减或立方根加减的情况,都可充分运用欧拉公式求解.     

用向量坐标给出的三角形面积公式

利用高中数学新教材中的平面向量知识,我们可以用向量坐标给出一个求三角形面积的新公式. 在△ABC中,设CA=(a1,b1),CB=(a2,b2),则△ABC面积为S△=1/2|a1b2-a2b1|.     

巧用图形证明平方差公式

我们从《整式的乘除》这一篇中学习到了单项式乘单项式、多项式乘多项式、完全平方公式及平方差公式的解法.其中,前三个都用图形加以说明,唯独平方差公式没有用图形表示.经过研究发现平方差公式也可以用图形证明.今天,向大家介绍一下我们的研究成果.