等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

关于数列{2~n}

易知等比数列{2~n}前n项的和为S_n=a_(n+1)-2。对于这个关系式,我们有三点联想。 (一)简便求和。若a_5=32,则S_4=30。 (二)判定由关系式a_(n+1)=rS_n+S给出的数列是否为等比数列。事实上a_(n+1)=rS_n+S (1) a~n=rS_(n-1)+S (2) (1)-(2)得a_(n+1)-a_n=r(s_n-S_(n-1))=ra_n a_(n+1)/a_n=r+ 因此,r≠-1,a_1=S,{a_n}为等比数列。 (三)等比数列前n项和公式的新法推导。     

对一道数学题的质疑

前不久,某地区高中毕业班统考数学试题(理科)第七题为已知数列{a_n},其前n项和为S_n(n∈N), (1)若S_n=1+pa_n(-1相似文献   

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

递归数列

一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

数列中a_n与S_n的关系及其应用

<正>数列的通项a_n与数列的前n项和S_n之间有如下关系:a_n={S_1(n=1),S_n-S_(n-1)(n≥2).根据这一关系式,如果已知数列的前n项和公式S_n或S_n与a_n之间的某种关系式,我们就可求出数列的通项公式,进而解决所求问题,举例说明.例1已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3+2n,求数列{a_n}的通项公式.简析此题已知数列{a_n}的前n项和公式,     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

一道课本习题的推广

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3．5第7题．已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列．笔者通过探究,得到如下推广结论推广1已知数列{a_n}成等比数列,S_n是其前     

运用S_n=An~2+Bn解决问题

<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An²+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An²+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An²+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax²+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值.     

一道高考数列题的解法探究

<正>在2015年高考数学试题中,有7道数列试题就是"差比型"(等差数列和等比数列的乘积构成的新数列)数列的求和,本文试图从解法的角度来探究.一、试题展示(2015年高考湖北,理18)设等差数列{a_n}的公差为d,前n项和为S_n,等比数列{b_n}的公比为q.已知b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_(10)=100.(Ⅰ)求数列{a_n},{b_n}的通项公式;     

k阶差等比数列

现行高中代数课本有数列{a_n},它满足下列公式: a_1=b a_(n 1)=qa_n d (q≠1) 它是等差、等比数列的自然推广,可叫做一阶差等比数列。这数列的进一步推广很有趣。如数列{a_n)的项差(a_(n 1)-a_n)称为它的一阶差数列,{a_(n 1)-a_n}的一阶差数列称为{a_n}的二阶差数列,可类似定义k阶差数列(为方便,称{a_n)为它自己的零阶差数列)。如果数列{a_n}的k-1阶差数列不是等比数列,而k阶差数列为等比数列,则称{a_n}为k阶差等比数列。本文拟推导这种数列的通项公     

两类特殊数列求和的问题

<正>高考题和模拟题中常常遇到下面两各类型的数列求和问题:类型一若数列{a_n}是等差数列,求数列{|a_n|}的前n项和;类型二已知数列a_n={f(n),n为奇数,g(n),n为偶数,或者a_n=(-1)ⁿf(n),求数列{a_n}的前n项和;为表示方便,假设S_n=a_1+a_2+…+a_n.这两种类型的数列求和问题,常常会成为学生的"拦路虎",得分率非常不理想,现结合几道典型例题来总结这种类型的解题策略!     

浅谈等差数列的几何意义及其应用

在等差数列{a_2}中,a_n=a_1+(n-1)d和S_n=na_1+1/2n(n-1)d即a_2=dn+(a_1-d)……(1)和S_n=1/2dn~2+(a_1-1/2d)n……(2)分别是特殊的一次函数和二次函数。(1)式的图象是直线y=dx+(a_1-d)上一系列的点(1,a_1),(2,a_2),…,(n,a_n),…,的集合,(2)式的图象是抛物线y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x上的一系列的点(1,S_1),(2,S_2),…,(n,S_n),…,的集合。根据上面的这种几何意义,对于等差数列,我们可以得到下面的一些关系。     

综合题新编选登

题133设数列{a_n}满足a_(n 1) a_n= mk~n,m,k为常数且m≠0,k≠0,±1.(Ⅰ)求{a_n}的通项公式.(Ⅱ)求{a_n}为等比数列的充要条件.解(Ⅰ)a_(n 1)/(-1)~(n 1)=a_n/(-1)~n-m(-k)~n,于是     

一类线性循环数列的通项公式

定义:若数列{a_n}满足循环方程 a_n=C_1a_(n-1) C_2a_(n-2) ¨ C_ka_(n-k)其中n=k_1,k 2,…;C_k0,就称数列{a_n}是一个k阶线性循环数列。方程     

一道高考题的再推广

2006年江苏高考第21题:设数列{a_n},{b_n},{c_c}满足:b_n=a_n-a_(n 2),c_n=a_n 2a_(n 1) 3a_(n 2)(n=1,2,3,…),证明{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且b_n≤b_(n 1)(n =1,2,3,…).     

2021年北京高考数学第21题的推广和变式北大核心

1试题回顾例1(2021年北京高考数学第21题)设p为实数,若无穷数列{a_(n)}同时满足如下三个性质,则称{a_(n)}为R_(p)数列:①a_(1)+p≥0且a_(2)+p=0;②a_(4n-1)相似文献   

一道传统数列题的再思考

<正>听老师说下面的数列题十几年前就有了,老师沿用原先的方法给我们讲解了题目,但经过我的不懈努力,还用特征方程根的方法解决了此题,特此记录下来:题目设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5^an,5an,5^bn,5bn,5^an+1成等比数列,lgb_n,lga_(n+1),lgb_(n+1)成等差数列,且a_1=1,b_1=2,a_2=3,求通项公式a_n和b_n.解法1(传统方法)