证明反三角函数等式的若干方法

反三角函数式的证明,除了涉及许多三角函数的公式外,还要考虑角的范围。学生在证这类题目时,常感到棘手,缺乏证题的策略和方法。而高中课本没有专门介绍这类问题的证法,本文将介绍如下证明反三角函数等式的方法。一、同值同区间法这种方法分两个步骤,首先证明等式两边角的某一同名三角函数值相等,然后再证明等式两边的角在该三角函数的同一单调区间内,这是证明反三角函数恒等式最基本的方法。     

反三角函数恒等式证明的教学

恒等式的证明,大都由较繁杂的一端化到较简单的一端,或是两端都化到第三式。然而反三角函数恒等式的证明,不仅要证明等式两端所表示的角,在施行某种三角运算后其值相等;而且还须证明两端的角,同在所取三角函数的同一单     

关于反三角函数恒等式的证法

反三角函数桓等式大致分为三种类型,一是恒等式所涉及到的量是具体的;二是恒等式中含有变量x,三是与n有关的恒等式,本文就上述三种类型的反三角函数恒等式的证明方法作一概括。一、对于第一种类型的反三角函数恒等式,常用的方法是同值同区间法,除此以外,还可用公式法,复数法、构图法、方程法来证明。     

三角代换法则及其教学价值

一、问题提出的背景在三角形中有一个关于三角函数的代换法则:“对于△ABC的A、B、C的任意三角函数的恒等式,若将A、B、C换成对应的A/2、B/2、C/2,同时将该角三角函数换成它的余函数,则得到的新的等式仍是恒等式”     

反三角函数在题解中的应用

三角函数是周期函数,其反函数具有多值性。根据反函数的定义,三角函数在整个定义域内不存在反函数。事实上,三角函数在定义域(-∞,+∞)内有无穷多个单调区间。这就决定了由它的每个单调区间到其反函数的单值区间的一一对应也有无穷多个。为了研究方便,还考虑到实际应用的需要,我们通常只对其中的一个一一对应关系作深入考察,并借以推知各个单值区间上反三角函数的变化规律。为此,我们引进了反三角函数主值的概念。这个主值是符合下列条件的单值区间上的反三角函数:在整个定义城内反三角函数单调、连续且该单偵区间的绝对值最小(在同等条件下,取正值区间)。在此规定下,反三角函数的主值分别称为反正弦函数(y=arc sinx)、反余弦函数(y=arc cosx)、反正切函数(y=arc tgx)和反余切函数(y=arc ctgx)。它们的意义和主要性质可以表述如下:     

一类反三角不等式的解法

形如arcsinf(x)arccosg(x)、arcsin f(x)arctgg(x)、arctgf(x)arccosg(x)、arccosf(x)arctgy(x)、等形式的反三角不等式,因不等式的两边是异名的反三角函数,且它们的取值不一定在三角函数的同一单调区间内,因此不能简单地在不等式的两边取三角函     

用分离变量法解三角问题

在化简、求值、证明三角函数问题时,若已知和未知中涉及两个或多个变量,可设法使两变量分离于等式两端,再运用已知条件和三角函数的有关公式,代入已知或未知式子中,消去一个变量,从而使问题得以解决.这种解题的策略和方法,称为分离变量法,它的本质是消元法.     

三角教学中培养学生恆等变形能力的一些做法

学生在三角学习中,对于三角恆等变形常感无从入手,或者容易犯邏輯上的毛病。为了培养学生三角的恆等变形能力,我們采用了下面一些做法: 一.培养学生掌握一些証明等式的一般性的方法。例如: 1.三角恆等式若只含同角三角函数,則可以从变化函数入手。即尽量把等式中所含的三角函数都化为正弦和余弦,或全化为某一函数。当然应当向学生說明这种方式不一定是最簡单的。 2.若三角恆等式中含有不同角的三角函数,則宜从角的簡化入手,尽量化复角为单角或減少不同角,以便能使用某一公式去进行恆等变形。如求証:     

关于三个角θ,60°-θ,60°+θ的一组三角等式及其应用

本文先给出关于三个角θ,60°-θ,60°+θ的正弦、余弦、正切、余切三角函数值的一组等式,它们恰好分别对应一个一元三次方程,然后结合实例介绍这些结论在证明三角函数等式和求值中的应用.     

談三角函数的单調性的教学

三角函数(在相应区间内)的单调性,和三角函数的其他性质(奇偶性,有界性,周期性等)一样,是三角函数的基本性质之一,它也是学习反三角函数,解三角不等式,确定某些函数的定义域,绘制三角函数图象的理论根据。但学生对三角函数的单调性及相应的单调区间,往往理解的并不清楚。“正切是永远上升的”,“余切是永远下降的”这种不正确的说法,就是不理解正切(余切)的单调性的反映。事实上正切在整个定义域内是没有单调性可言的,比如:0°<45°<135°,tg0°tg135°,这对单调函数来说     

三角不等式问题

三角不等式问题主要包括两个方面 :三角不等式与三角最值 .它是与三角恒等式密切相关的 ,运用三角公式对式子进行恒等变形是处理三角不等式问题的重要方法 ,有时三角最值问题就是基于三角公式而得到解决的 .1　三角不等式三角不等式首先是不等式 ,因此 ,有关不等式的性质和证明方法在这里都用得上 (诸如配方、比较、放缩等 ) .但三角不等式又是一类特殊的不等式 ,它有自身的特点———含有三角函数 ,因而三角函数的许多性质 ,如三角函数的单调性、有界性、正负区间以及图象特征等就成为处理三角不等式问题的重要工具 .例 1　设 0 <α <π2 ,…     

谈反三角函数的教学

反三角函数是与三角函数密切相关的初等函数。因此,在初等数学的教学中有它一定的地位: 本节内容是在学生学习了三角函数及其性质、已知三角函数值求角以及映射、逆映射、函数及反函数的基础上进行研究的。本节的重点(也是难点)是反三角函数的概念。讲清概念的关键是确定三角函数的单调区间建立一个由定义域到值域的一一映射,其逆映射所确定的函数便可定义为反三角函数。在反正弦、反余弦、反正切及反余切函数的教学中,重点在讲解反正弦函数。因为这四个函数研究的方法上来看是完全一致的。下面从三个方面来谈谈教学中一些有关的问题,挂一漏万,缺点、错误在所难免,恳请同志们批评、指正: 一、抓住实质、讲清概念我们以讲反正弦函数的概念为例来谈谈这个问题。为了引进反正弦函数应该首先复习反函数的有关概     

关于三角函数单调区间的补充说明

对三角函数单调区间这部分内容的学习，初学的学生极易造成认识上的模糊和混乱．诸如“某三角函数在某象限内是增(减)函数”之说，便是一种常见的典型错误．例如，如果误为“正弦函数在第一象限内是增函数”，     

任意角的三角函数

1　考点简析三角函数的定义贯穿于与三角有关的各部分 ,并起着关键作用 .本节教与学应在基本概念和基础知识上下功夫 .考点要求有 :理解弧度的意义并能正确地进行弧度和角度的换算 ;掌握任意角的三角函数的定义 ,三角函数的符号 ,同角三角函数的关系式与诱导公式 ;能运用上述三角公式化简三角函数式 ,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式 .2　题型展评例 1　若α是第二角限的角 ,则 1) 2α、α2 是第几角限的角 ;2 )当 |ｃｏｓ α2 |=-ｃｏｓ α2 ,角 α2 属于 (　　 ) ;(Ａ)第一象限 .　　 (Ｂ)第二象限 .(Ｃ)第三象限 .　　 (Ｄ…     

三角不等式

用不等号连接的含有三角函数的式子简称为三角不等式.在我国高中数学竞赛中,关于三角不等式的问题有三类,一是三角不等式的证明,二是解三角不等式,三是应用三角三不等式求最值.处理这三类问题,既要用到不等式的有关性质,又要熟练运用三角公式进行恒等变形,有时还要利用三角函数     

几何题的三角证法

<正>用三角法证几何题可以不添辅助线或少添辅助线,降低证明难度,同时又能开拓思路,从而提高证题能力.在初中用三角法证几何题是以直角三角形为基础,以锐角三角函数为主要手段,通过运算或用运算代替推理进行证明,它的证题步骤是:(1)选择或构造直角三角形;(2)设某角为α,用一些线段和α的三角函数表示其他的线段,建立起边角关系等式.     

求三角函数在单调区间上的反函数的简捷通法

教材中明确规定,乒角函数y一,inx,y=。osx,y二tgx,y=。tg大分别在单调区间〔丝_竺2’2,[0,二1,(一三_匹2’2)(0不)上的反函数依次用y=arcsinx,y二areeo:x,y~ar。etgx,y=arcctgx表示.。 对于三角函数在其它单调区间上的反函数,只要把其单调区间变换成O中的单调区间,即可求其反函数.如何变换?通常人们总是根据不等式性质,选择适当k二和x相加减.把原函数平移到。中的区间上.但这种变换难度大、运算繁杂,使人们望而却步、本文提出另一种变换法一一用移轴公式解三角函数在单调区间的反函数.这种方法难度小,步骤简捷,便于学生掌握. 观察分析O中函…     

两角和与差的三角函数

1.本单元重、难点分析本单元的重点是:两角和与差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式;运用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.本单元的难点有:余弦的和角公式的推导;各公式之间的异同及其内在联系;和角公式、差角公式、倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式的综合运用.通过公式的推导,了解各公式之间的内在联系,可以培养学生的逻辑推理能力;通过本节的学习,学生进一步了解符号与变元、集合与对应、数形结合、化归等基本数学思想在研究三角函数时所起的重要作用;在三角函数式的变化中,学…     

构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

角变换的两种方向

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中,常要根据函数名与角度的差异进行角度变换,若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角,而将待求的目标函数中的角称为目标角,则这两种角何时用哪个角表示另一个角在不同的题型中是