三角形的伴内心及其性质

设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝…     

三角形某些“伴心“的性质

引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点,且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点,则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理,即可证明． 这样,Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如,若Ｐ为内心Ｉ,则Ｑ就是伴内心Ｉ′;若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ,则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”,Ｑ就叫做伴心,相应的△ＤＥＦ叫本心三角形,△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴…     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

两道赛题的联系、深化和推广

１两道联赛题 例 １ 给定一圆内接△ＡＢＣ,设 Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇分别是连结Ａ＇Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．求证：ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ经过△ＡＢＣ的内心． 这是全俄第五届（１９６５年）数学竞赛的一道试题［１］,现给一简明的证法如下． 证明 连结 Ａ＇Ｂ、ＢＣ＇,设Ｆ是ＢＣ与Ａ＇Ｃ＇的交点,如图１．Ａ＇Ｂ＝Ａ＇Ｉ．同理 Ｃ＇Ｂ＝Ｃ＇Ｉ, Ａ＇Ｃ是线段ＢＩ的中垂线． ＢＩ平分 Ｂ, ＢＩ是ＤＦ的垂直平分线, ＤＢＦＩ是菱形, ＤＩ//ＢＦ,即 ＤＩ//ＢＣ． 同理可证 ＩＥ//ＢＣ, 故 ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ过△ＡＢＣ的内…     

关于五边形的两个基本不等式的证明

设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ是平面上任意五点,若记△ＥＡＢ、△ＡＢＣ、△ＢＣＤ、△ＣＤＥ和△ＤＥＡ的面积分别为α、β、γ、δ、ε,则五边形ＡＢＣＤＥ的面积Ａ（此处不要与点Ａ混淆）满足Ｍｏｂｉｕｓ－Ｇａｕｓｓ公式Ａ２－（α＋β＋γ＋δ＋ε）Ａ＋（αβ＋βγ＋γδ＋δε＋εα）＝０．①文［１］中提到①式,顺便以此证明ｍｉｎ｛α,β,γ,δ,ε｝≤２Ａ５＋５≤ｍａｘ｛α,β,γ,δ,ε｝．②最后,又提出如下猜想：５αβγδε≤２Ａ５＋５≤１５（α２＋β２＋γ２＋δ２＋ε２）;③③式显然是②的加强,证明自然更…     

Fermat极值的代数证明

Ｆｅｒｍａｔ极值的代数证明简超（武汉铁路成人中专４３００１２）设△ＡＢＣ的每个内角均小于１２０°，点Ｆ为其Ｆｅｒｍａｔ点，记Ｌ＝ＦＡ＋ＦＢ＋ＦＣ，文［１］［２］用不同的方法推得一个早年得到的公式（见［３］的１２．５５）：Ｌ＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋...     

三角形内接正三角形存在定理

文［１］中给出了一个定理：任意三角形至少存在一个内接正三角形．该定理及说明都具有一定的局限性,本文用构造性方法来证明一个更一般的定理． 定理 任意三角形都存在无数多个内接正三角形． 证法１ 如图１,在△ＡＢＣ中,不妨在ＡＣ上任取一点Ｄ,连结 ＢＤ;以 ＢＤ为一边在点Ａ的异侧作正△ＤＢＥ,连结ＡＥ交ＢＣ于 Ｆ点,过 Ｆ点作 ＢＥ的平行线交 ＡＢ于 Ｍ点,过Ｆ点作ＤＥ的平行线交ＡＣ于Ｎ点．连结 ＭＮ,由文［１］可知△ＦＭＮ即为△ＡＢＣ的一个内接正三角形．由于Ｄ点位置不同,那么其对应的正△ＦＭＮ就不同,由此可知△…     

ESTIMATE FOR DISTANCE-COEFFICIENT OF MATRICES

ＥＳＴＩＭＡＴＥＦＯＲＤＩＳＴＡＮＣＥ┐ＣＯＥＦＦＩＣＩＥＮＴＯＦＭＡＴＲＩＣＥＳＬＵＦＡＮＧＹＡＮＡｂｓｔｒａｃｔ．ＭｏｔｉｖａｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓａｎｏｐｅｎｐｒｏｂｌｅｍｅｘｐｏｓｅｄｂｙＢ．Ｂｅａｕｚａｍｙ［１］．ＬｅｔＭｂｅａ...     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

关于三角形中一个不等式的证明

关于三角形中一个不等式的证明尹华焱（湘潭锰矿４１１２０２）文［１］给出了若干三角形三内角函数的不等式的加强，其中命题２是：在△ＡＢＣ中，ｃｓｃＡ２·ｃｓｃＢ２≥２２－２０ｒＲ①本文将指出文［１］对①的证明是错的，同时我们试图给出①式的一个证明．我们...     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

三角形重心的两条性质的推广

文［１］给出了三角形重心的几条性质,现将前两条性质推广到空间四面体中．性质１以四面体重心与顶点的连线段为棱可构成四面体,且该四面体的体积是原四面体体积的１４．证明如图１,设Ｇ是四面体Ｓ—ＡＢＣ的重心,Ｏ１、Ｏ２分别为△ＡＢＣ、△ＳＡＣ的重心,Ｄ为ＡＣ...     

涉及正等角中心与内心的一个不等式

涉及正等角中心与内心的一个不等式周甫林（江苏省盐城师范专科学校２２４００１）在△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上分别向外作正三角形ＢＡ′Ｃ，ＣＢ′Ａ，ＡＣ′Ｂ，则ＡＡ′，ＢＢ′，ＣＣ′共点于Ｆ（见［１，Ｐ１０７］）．设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上任意一点，则当...     

一平几命题的又一新证法

命题在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．此命题是沈文选先生在文［１］中给出的一个结果,宿先生在文［２］中给出了平几证法,但证法中用到了弦角公式．受...     

有关费马点一个和式的下界问题

设Ｐ是△ＡＢＣ的费马点，记Ｐ点到△ＡＢＣ三个顶点距离之和为ｌ，关于ｌ的下界问题近来不少文章作了探讨．例如文［１］得出的结果是：ｌ＞ｓ，其中ｓ是△ＡＢＣ的半周长．本文得出一个更优的结果，首先引入：引理１［１］ｌ２＝０．５（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋２３△．引...     

第39届IMO-5的简证

题目　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,Ｋ、Ｌ、Ｍ分别为△ＡＢＣ的内切圆在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点,已知通过点Ｂ与ＭＫ平行的直线分别与直线ＬＭ及ＬＫ交于Ｒ、Ｓ两点,求证∠ＲＩＳ为锐角．证明　记△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ,∵　ＲＳ∥ＭＫ且△ＭＫＬ为切点三角形,故　∠ＲＳＫ＝∠ＭＫＬ＝∠ＬＭＡ,∴　Ｓ、Ｌ、Ｍ、Ｂ四点共圆．故　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＭ·ＲＬ．但Ｒ是圆Ｉ外一点,ＲＭ·ＲＬ＝ＲＩ２－ｒ２,∴　　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＩ２－ｒ２（１）同理可知　ＳＢ·ＳＲ＝ＳＩ２－ｒ２（２）由（１）、（２）有ＲＩ２＋ＳＩ２－２ｒ２＝ＲＳ…     

双曲线的直径三角形的一个性质

文［１］给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质：命题设△ＡＢＣ内接于椭圆Γ,且ＡＢ为Γ的直径,ｌ为ＡＢ的共轭直径所在的直线,ｌ分别交直线ＡＣ、ＢＣ于Ｅ和Ｆ,又Ｄ为ｌ上一点,则ＣＤ与Γ相切的充要条件是Ｄ为ＥＦ的中点．本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类...