有心圆锥曲线的一类轨迹问题

有心圆锥曲线的一类轨迹问题刘康宁（西安市西光中学）请看下面几个问题：问题１　已知直线ｙ＝ｘ＋ｍ和椭圆ｘ２＋２ｙ２＋４ｙ－１＝０交于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是这条直线上的点，且｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜２，求当ｍ变化时点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（《数学通讯》...     

对一道高考题的探究

对一道高考题的探究李兴无（广东深圳宝安西乡中学５１８１０２）１９９５年高考数学试题理科最后一道题为：已知椭圆ｘ２２４＋ｙ２１６＝１，直线ｌ：ｘ１２＋ｙ８＝１，Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足：｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当...     

直线方程x_0x y_0y=r~2的几何意义

我们知道：若已知圆的方程是ｘ２＋ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）的切线方程为：ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２（高中平面解析几何课本Ｐ６４例３）．由此,不难得出下面命题１亦成立．命题１若点Ｍ（ｘ０,ｙ０）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上,则直线方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ...     

新题征展(18)

Ａ　题组新编 １．已知ｆ（ｘ）＝　满足ｆ（０）＋ｆ（４）＝Ｆ（ａ＋３）,（１）求ａ的值;（２）当ｆ～（－１）（２Ｘ）＋１＞ｋｆ～（－１）（ｘ）恒成立时,求ｋ的取值范国;（３）若三个互不相等的正数ｍ、ｎ、ｔ成等比数列,问ｆ（ｍ）、ｆ（ｎ）、ｆ（ｔ）能否成等差数列？ ２．设双曲线　　＝１（ａ＞０,ｂ＞０）的 右顶点为Ａ,Ｐ是双曲线上的一个动点（异于顶点）,从Ａ引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 ＯＰ分别交于Ｑ和Ｒ两点,则 （１）｜ＯＱ｜、｜ＯＰ｜、｜ＯＲ｜成＿数列; （２）｜ＯＱ｜＋ ｜ＯＲ｜—２｜ＯＰ｜…     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）文［１］介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质．图１性质１如图１，经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＱ，则｜ＯＰ｜２＝...     

椭圆三条平行弦的一组有趣性质

椭圆焦点弦、中心弦、顶点弦是很重要的几何量．为此,本文介绍在它们平行时的一组有趣性质及其应用,供读者参考．定理如图,ＡＢ是经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦,ＭＮ是焦点弦,ＯＰ是半中心弦,若ＡＢ∥ＯＰ∥ＭＮ,且它们的倾斜...     

怎样应用切点弦方程解题

我们知道,如果Ｐ（ｘ０,ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的任一点,则过Ｐ点的该椭圆的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．如果Ｐ点不在椭圆上,那么方程ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１表示什么呢？这正是本文要介绍的切点弦方程．１　切点弦方程的概念在圆锥曲线外一点引圆锥曲线的两条切线,过这两切点的弦称为圆锥曲线的切点弦．在解析几何中,切点弦方程的巧妙推导给解题引进了一种新的方法．图１２　切点弦方程的推导设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１,过椭圆外一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）作这椭圆的切线,切点为Ａ、Ｂ,求过Ａ…     

函数单元测试题

一、选择题１设Ｍ、Ｐ是两个非空集合,定义Ｍ与Ｐ的差集为Ｍ－Ｐ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｍ且ｘＰ｝,则Ｍ－（Ｍ－Ｐ）等于（）．（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｍ∩Ｐ（Ｃ）Ｍ∪Ｐ（Ｄ）Ｍ２函数ｙ＝ｌｏｇ（２ｘ－１）３ｘ－２的定义域为（）．（Ａ）（２３,＋∞）（Ｂ）（１２,＋∞）（...     

圆的切线方程

圆的切线方程４３２１００湖北孝感楚环中学徐圣明《平面解析几何》中有结论：经过圆ｘ２＋ｙ２＝２’上一点Ｍ（ｘ０，ｙ０）的切线方程是ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．由此命题，我们联想到它的两个道命题：Ⅰ若点Ｐ（ｘ１，ｙ１）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上，则直线ｘ１ｘ＋ｙ１...     

95年高考第26题的推广

９５年高考第２６题的推广２５０００１山东省实验中学木生问题已知椭园，直线：Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当点Ｐ在ｌ上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．对问题的条件进行推广将椭圆推...     

“弦长”问题讲评课设计

“弦长”问题讲评课设计邱树林（山东省无棣一中２５１９００）在高三的一次综合测试中，我们给学生出了这样一道题（以下称试题Ａ）：已知椭圆长轴｜Ａ１Ａ２｜＝６，焦距｜Ｆ１Ｆ２｜，过左焦点Ｆ１作一直线交椭圆于Ｍ，Ｎ两点．设，求α的值，使｜ＭＮ｜等于椭圆短轴长...     

略谈用二次曲线定义灵活解题

在教学活动中我体会到，对定义理解得深刻方能在应用时事半功倍，掌握定义的本质属性是学好数学的关键，下面以二次曲线定义为例，从以下两方面略谈一下用定义灵活解题．１　理解定义实质使“繁”变“简”图１例１　试证：自等轴双曲线上任意一点至两焦点的距离之积，等于该点至双曲线中心的距离的平方．解　设Ｍ（ｘ，ｙ）是等轴双曲线上任意一点，由双曲线定义，有　｜｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜｜＝２ａ（）将（）两边平方整理得　｜ＭＦ２｜·｜ＭＦ１｜＝｜ＭＦ２｜２＋｜ＭＦ１｜２－４ａ２２＝（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２＋（ｘ－ｃ）２＋ｙ…     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

八、解析几何（二）１．若ｋ为小于零的常数,则方程ｘ２ｋ＋ｙ２１－ｋ＝１的曲线是（）（Ａ）焦点在ｙ轴上的椭圆．（Ｂ）焦点在ｙ轴上的双曲线．（Ｃ）焦点在ｘ轴上的椭圆．（Ｄ）焦点在ｘ轴上的双曲线．２．双曲线ｘ２－ｙ２＝１的离心率ｅ等于（）（Ａ）３．（Ｂ）２...     

双曲线的新性质

双曲线的新性质孔繁秋（福建厦门市禾山中学）１９８５年高考有这样一道试题：已知两点Ｐ（－２，２）、Ｑ（０，２）及直线ｌ：ｙ＝Ｘ．设长为的线段ＡＢ在ｌ上移动（如图），求直线ＰＡ、ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．所隶轨迹是双曲线１．Ｐ、Ｑ...     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

平均单叶函数的相邻系数

设ｆ（ｚ）＝ｚ＋Σａｎｚ＾ｎ为单位园｜ｚ｜＜１内解析且平均单叶，记其族为Ｍ又设｛ｆ（ｚ）／ｚ｝＾λ＝１＋Σ＾∞ｎ＝１Ｄｎ（λ），λ＞０，本文说明了：定理一 若ｆ∈Ｍ，λ＞０，则：Σ＾∞ｋ＝１｛｜｜Ｄｋ（λ）｜－｜Ｄｋ－１（λ）｜｜／ｄｋ（λ）｝＾２≤Ａｎ，ｎ＝２，３，…其中Ａ为绝对常数。ｄｋ（ｈ）＝ｈ（ｈ＋１）…（ｈ＋ｋ－１）／ｋ！当λ＝１／２，ｆ∈ｓ时为Ｉ．Ｖ．Ｍｉｌｍ所证明。定理二 若ｆ∈Ｍ并     

一个特殊等比数列

众所周知,若点Ｐ内分线段ＡＢ,使得｜ＡＰ｜／｜ＰＢ｜＝｜ＢＡ｜／｜ＡＰ｜则称这一分割为黄金分割,而｜ＡＰ｜／｜ＡＢ｜的值称为黄金分割比,我们用λ表示,λ＝（－１＋５）／２;著名数学家华罗庚推广的“优选法”,又称０．６１８法,其中０．６１８就是λ的近似值,显然,｜ＡＢ｜、｜ＡＰ｜、｜ＢＰ｜的值成等比数列,｜ＡＰ｜为｜ＢＰ｜和｜ＡＢ｜的比例中项,而｜ＡＰ｜＝λ｜ＡＢ｜,若设｜ＡＢ｜＝１,则｜ＡＰ｜＝λ;由上启示,我们得到一个特殊等比数列｛ａｎ｝：它的首项为ａ１,公比为λ＝（５－１）／２．这个特殊等比…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０７１已知点Ｑ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上任意一点，Ｆ１，Ｆ２是椭圆的两个焦点，ＰＱ是△Ｆ１ＱＦ２的外角平分线，Ｆ１Ｐ⊥ＰＱ，求点Ｐ的轨迹．解如图所示，延长Ｆ２Ｑ与Ｆ１Ｐ相...     

轨迹方程中的定点转化法

轨迹方程中的定点转化法１１６６００大连开发区第一中学邹楼海引例Ａ、Ｂ为抛物线ｙ２＝ｘ上的两个动点，且ＯＡ⊥ＯＢ，求原点Ｏ在ＡＢ上的射影Ｍ点的轨迹方程．分析设Ｍ（ｘ，ｙ），为了使点Ｍ与ＯＭ⊥ＡＢ及ＯＡ⊥ＯＢ联系在一起，再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ...