集合与一一对应(續)

§4. 对应与一一对应由上面討論可見,一一对应是一个很重要的概念,它在數学中有許多的用处。下面我們就詳細討論一下这个概念: 我們先从一个更廣义的概念“对应”談起,它在數学中佔有更重要的地位。很多人都学过“函數”这个概念,見过一些函數的例子,例如:f(x)=x~2+1,g(x)=sin x等等。我們回想一下函數的定义,在实數範圍內,它是这样說的: 如果有一个法則Ф,根据这个法則我們对每一个实數x,都能得出一个确定的实數y与它相应,我們就把这个法則叫做(定义在实數集上的)一个(取实數值的)函數,与x相应的y記作Ф(x),称为x在函數f下的值。例如f(x)=x~2+1这个函數是表示如下的法則f:“(給出实數x後)算出:x的平方,再加1(得到与x相应的f(x))。”在g(x)=sin x時,我們的法則g叙述起     

論数学归納(續)

§3.任意归納模型中的加法和乘法正如我們前面所指出,由定理1推出在每个Peano模型中存在唯一的加法运算[即对于所有x,y ∈N滿足条件(5.1)和(5.2)的二元运算f]。事实上我們更有定理2.在每个归納模型中有唯一的加法运算。这个定理的証明不能在定理1的基础上作出,因为正象我們在§2中指出的,后者并不对于一切归納模型为真。我們采用如下的引理来代替它: 引理。若为任意归納模型,則对于每个x∈N在N上存在着唯一的一元运算hx,使得条件(3.1)和(3.2)对于所有y∈N为真。 証.首先我們指出,对于任何x∈N最多只能存在一个运算hx滿足条件(3.1)和(3.2)。事实上,我們假定h_x和h′_x为滿足这些条件的两个运算且設G为N的这样的子集使得y∈G当且仅当hxy=h′_(xy)。显然,O∈G,因为h_xO=x=h′_xO。此外,集合G对于S为     

从一道开放题的变式再来理解函数的概念

对于函数的概念,苏教版必修数学1是站在集合观点上给出的,一般地,设A,B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f（x）,x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．     

趣说函数

函数是一种特殊的映射,当A,B是非空的数的集合时,映射f:A→B就叫做从A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.解析式y=f(x)表示,对于集合A中的任意一个x,在对应法则f的作用下,即可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方式和途径,是联系x与y的纽带,从而是函数的核心.f可用一个或多个解析式来表示,也可以用数表或图象等其他方式表示.原象集合A叫函数f(x)的定义域,象集合C叫函数f(x)的值域,很明显C B.“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点,有不少的同学直到高三也不能深刻理解这一概念.原因在于这一概念的抽象性,如果把“函数”与我们…     

中学數学中函數概念的引導

十九世紀的數学已經把函數的概念从解析式子这个桎梏之中解放了出來(指实变函數),並且提出了“对应性”,这說明当時已初步具有了現代一般的函數概念,首先提出这个概念的,是俄罗斯數学家罗巴切夫斯基,1834年時,關於函數概念,他寫过下面的話:“这个一般的概念要求:若有一个數,它隨着x的每一个值而確定,又随着x而逐漸变化,那麼这个數就称为函數。函数的意义,可以用解析式子表達,也可以用条件來表達;我們可籍这式子或条件來試驗所有的數目而选擇適合的數目;最後,由相依關係可能找出,也可能找不出。”經过三年(在1837年)这个概念由列仁-吉瑞荷通过函數定义的形式表示出來,这函數定义一直保留到現在:“y是变量x在區間a≤x≤b上的函數,如果这个區間上每一个x值对应着一个確定的y值;至於这种对应關係是怎样確定     

集合学习中要注意的几个问题

集合是我们进入高中学习数学首先接触的重要数学概念之一,也是中学数学中最基本、运用最多的概念和数学工具之一.学好它,很有必要.本文介绍学习集合时必须注意的几个问题.1.正确区分点集与数集集合是由元素构成的,认清集合元素是表示点还是数对于处理集合之间的关系及进一步认识集合都非常重要.例1设集合A={x|y=x2-1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则下列关系中不正确的一个是()(A)A∩C=.(B)B∩C=.(C)B A.(D)A∪B=C.分析集合A是数集,是二次函数y=x2-1的自变量组成的集合,易知A=R;集合B也是数集,是二次函数函数值组成的集合,易知B…     

复合函数的反函数

文[1]论证了在特定条件下函数y=f(x a)的反函数是y=f-1(x)-a,文[2]进一步推理出两函数y=f(ax b)与y=1af-1(x)-ba的图象关于直线y=x对称.顺势顿悟,本文来探索更一般的相关结论.定理1　如果内层函数u=g(x)使集合A到集合B上的映射既是单射*又是满射**,外层函数y=f(u)使集合B到集合     

具正規核的積分方程

<正> §1.引言 凡合條件即是說凡合條件kk[x,y]=kk[x,y](1.1)的核k(x,y)叫做正規核(normal kernel).這種核顯然包括實對稱核、實畸對稱核、艾氏核及畸艾氏核等為特例。在本文中,我們將討論具此種核之積分方程之性質及解法尤其是關於此種核之特值及奇值(即希米特(E.Schmidt)的特值)之性質     

定和与定积的簡单性貭及其实际应用

最近,我们訪問了几个工厂,在逗留工厂期間,我們曾经不止一次地過到一些工人同志向我們提出有关合理下料和元件的切削問題,經我們研究确定,这些问题中的絕大部分都可用两个量或三个量的定和与定积的简单性质得到解决,而这些性质又可以直接由初中代数里的乘法公式推得,因此容易为大多数工人同志所接受,而对中学生来說也是容易理解的。一、二个正量的定和与定积的性質 設x与y是任意的两个正量,則(x~(1/2)-y~(1/2))~2不会是負的,即 (x~(1/2)-y~(1/2))~2≥0,其中等式仅当x=y。时成立,由此,我們有 x-2xy~(1/2) y≥0,x y≥2xy~(1/2),或x y/2≥cy~(1/2)。(1)如此,假定量x与y变化,但其和x y=A保持定量,則由(1)易知其乘积xy总小于或等于一个定量(A/2)~2,而仅当x=y时,始有xy=(A/2)~2,因此,我們有結論:     

多值函数与复变函数

<正> 函数的特点在于单值。所谓由集合X到集合Y的函数是指,在X与Y的元素之间建立了一个多一对应,使得对于X中任一值X在Y中有且只有一值y与之对应(但不同的x可以对应于相同的y),如果同一的x可以对应于不同的y,人们便不使用函数的名词而使用对应(多多对应)或关系了。因此严格说来,函数应只限于单值函数,不应有多值函数。     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。     

与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数,S={x 1,…,x n}为一个n元正整数集合.称S为gcd-封闭的, 如果对于任意1 i,j n,均有(x i,x j)∈S.以 ={y 1,…,y m}表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合. 设(f(x i,x j))表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最大公因子(x i,x j)处的值. 设(f[x i,x j])表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最小公倍数[x i.xj]处的值. 本文证明了: (i) 如果f∈C s ={f:(f*μ)(d)>0, x∈S,d|x},这里f*μ表示f与μ的Dirichlet乘积,μ表示M bius函数,那么 并且(1)取等号当且仅当S=;(ii)如果f为乘法函数,并且 ∈Cs,那么 并且(2)取等号当且仅当S= .不等式(1)和(2)分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果.     

Fuzzy BCK—代数

在集合论中关于差的运算及在命题演算中关于→的运算均具有以下性质: 1) (x*y)*(x*z)≤(z*y); 2) x*(x*y)≤y; 3) x≤x, 4) 0≤x; 5) 若x≤y,y≤x则x=y; 6) x≤y x*y=0. 在集合论中,“*”表示两个集合之差的运算,“≤”表示两个集合之间的包含“(?)”关系,“0”表示空集,“=”表示两个集合相等.在命题演算中,“*”表示两个命题之间的     

集合的概念与运算

集合是数学中的重要概念之一,在中学数学竞赛中,许多本质上属于代数、几何、数论、组合的问题都可以用集合的观点和方法来解决,局部与整体的观点是其思想实质.一般地,某些指定的对象集中在一起就成为一个集合,集合中的每个对象叫做这个集合的元素.常用描述法表示集合,S={x|x具有性质P}表示所有具有性质P的对象组成的集合S.集合的运算中,除了交、并运算外,还有补运算和差运算.对于A、B两个集合,由所有属于A但不属于B的元素构成的集合称为A关于B的差集,记作A\B,即A\B={x|x∈A,且x B}关于集合的运算满足如下关系式:(1)交换律:A∩B=B∩A…     

分段函数的复合函数

复合函数是高等数学中一个重要概念,在微分和积分学里都要用到它.所谓复合函数,是这样定义的:如果函数f(u)的定义域是F, 而函数u=g(x)的定义域是G,值域为U(?)F,那么对于G内每一个X,经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个y.即y经过中间变量.u而成为x的函数.这个函数称为复合函数,并记为y=f[g(x)].     

集合学习中的四点注意

一、注意集合中的元素是什么集合中的元素的表现形式是多种多样的,可以是实数x,有序实数对(x,y),三角形等等.弄清集合中的元素是什么,是掌握集合概念的基本要求,是进行集合运算的前提.     

2008年高考模拟试题(四)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 　　1.已知函数y=f(x),x∈[a,b],那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)|x=2}中所含元素的个数是 ( )……     

论一一对应的判定法

高一课本定义了一一对应:设A、B是两个集合,f是从集合A到集合B的单值对应,如果对于集合A的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中的每一个元素都有原象,这个单值对应就叫做从A到B的一一对应。并在此基础上定义了反函数。因此,欲求已知函数y=f(x)的反函数,必须事先判定函数y=f(x)的定义域与值域之间的单值对应y=f(x)是不是一一对应。若是一一对应,则其反函数存在,且可根据书上的方法求出;若不是一一对应,则其反函数不存在,须对定义域给予适当的限制,使之与值域之间构成一一对应,从而     

函数与不等式——高三代数、三角综合复习

§1.函数1.函数与反函数:若对于自变量 x 每一个在允许范围内的确定值,另一个变量 y 有确定的值和它对应,则变量 y 叫做自变量 x 的函数,表成 y=f(x).这关系式中若以 y 为自变量,则变量 x 是 y 的函数,表成 x=f(y),叫做y=f(x)的反函数.     

哪些函数的反函数等于它本身?

哪些函数y=f(x)的反函数y=f~(-1)(x)等于它本身?对手这个有趣的问题我们最常见的例子是