二次曲线直径方程新的推导方法

二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这二次曲线的直径。关于二次曲线直径方程有传统的推导方法。这种方法是将动弦的参数方程代入二次曲线的方程,得到关于x的二次方程,由根与系数的关系,消去参数,得到二次曲线直径的方程。本文介绍一种新的推导方法,此方法比传统方法有更多的优越性。先从一个简单的例子谈起。求椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的斜率为k的弦的中点轨迹。设椭圆斜率为k的弦的中点为P(x,y),端点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),于是有方程组     

中点弦方程变换公式

过二次曲线内一点P作弦AB,点A、B为弦的两位端点,若P为AB的中点,则称线段AB为此二次曲线内关于点P的中点弦．经笔者思考,得到了一个有关中点弦所在直线方程的一个性质(不妨称为中点弦方程变换公式)．     

欧氏群与二次曲线方程的化简

讨论欧氏群E(2)在二次曲线方程化简理论中的应用.在此背景下,给出二次方程化简的方法;讨论了二次曲线方程的若干性质.     

有心二次曲线的直径式方程

我们知道：若A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的直径两端点,则圆c的直径式方程为(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0.由此我们是否可自然地提出如下一个问题：若AB为椭圆或双曲线的直径,即线段AB为过有心二次曲线的中心的弦,那么曲线的直径式方程是否存在？又是什么形式？     

谈无中心型二次曲线方程的化简

数学通讯一九八九年第九期发表了《也谈二次曲线的化简问题》,该文通过圆锥曲线的直径方程给出了中心型曲线 u(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+F=0化简的一种方法。本文将利用二次曲线的对称     

二次曲线定斜率k的切线方程

我们熟知的二次曲线和定斜率k的切线方程有如下对应关系: 椭圆双曲线抛物线求二次曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹,可利用之,以抛物线为例,写出斜率为k,-1/k的两切线方程 y=kx p/2k (1) y=-x/k P/2(-1/k) (2)联立消参得x=-p/2(准线)。用同样的方法,对椭圆有方程x~2 y~2=a~2 b~2,对双曲线有方程x~2 y~2=a~2-b~2(a≥b)。换用另一种方法,即“转参”方法,仍可较简     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献   

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

二次曲线方程的分类与化简

通过对二次曲线方程配方变形,利用直线与二次曲线相交时参数t的几何意义,以及仿射变换的性质,得到了二次曲线方程分类与化简的一种新方法,从而解决了二次曲线方程通过坐标系的平移、旋转进行分类、化简运算复杂,通过不变量进行化简,无法画出图形的具体位置等问题.     

二次曲线的极坐标方程与标准直角坐标方程互化的一种简单方法

在十年制统编教材高中第二册中,我们知道二次曲线统一的极坐标方程是:ρ=ep/(1-ecosθ)(1)其中p是焦点是准线的距离,即焦距。e是二次曲线的离心率,当e<1时,曲线为椭圆,当e>1时,曲线为双曲线;当e=1时,曲线为抛物线。把二次曲线的极坐标方程(1)化成标准直角坐标方的程一般方法是: 由(1)得:ρ-eρcosθ=ep,ρ=ex+ep ∴ρ~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2, ∴x~2+y~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2 ∴(1-e~2)x~2+y~2-2e~2px-e~2p~2=0 (2) (1)当e=1时,方程(2)变成;     

以二次曲线的弦为直径的圆方程在解题中的应用

在解析几何中有些问题涉及到以二次曲线的弦为直径的圆方程 ,若用求圆心和半径的方法来解 ,一般较为麻烦 .这里介绍一种较简单的解法 .先来看一个结论 :若直线l与二次曲线C有两个交点A ,B ,则将直线l与二次曲线C的方程联立 ,分别消去y和x ,所得的关于x和y的两个一元二次方程 (让二次项系数相等 )相加即得以AB为直径的圆方程 .应用上述结论的思路解决二次曲线中有关问题是比较方便的 .下面举几个例子介绍有关问题的这种解题模式 .例 1　设过坐标原点的直线l与抛物线C :y2=4(x - 1 )交于A ,B两点 ,且以AB为直径的圆恰好经过抛物线C的焦点…     

方程x~2/m y~2/n=1

由于椭圆和双曲线都是有心二次曲线,决定了它们是统一物的两个方面。根据这样的指导思想,我们利用方程x~2/m y~2/n=1(m、n为参变数,且m·n≠0)来研究椭圆和双曲线的某些特性,此外在解答习题上有很多好处,统一了某些公式,而且也有助于进一步了解有心二次曲线的共性的一面。     

“椭圆及其标准方程”的教学设计

正一、数学分析"椭圆及其标准方程"是继圆的学习之后运用"曲线和方程"理论解决具体的二次曲线的又一实例.学生对"曲线与方程"的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在"圆的方程"一节中     

二次曲面的构造式方程

本文根据二次曲面的中心点坐标、主轴方向、半轴长这几个几何参数直接构造曲面方程,并称之为二次曲面的构造式方程．     

广义 Liénard 方程的整体渐近性态

我们研究如下的广义 Liénard 方程的整体渐近性态(?)+f(x)(?)+g(x)=e(t),或等价地,(?)其中,f(x),g(x)是实数轴上的连续函数,e(t)为正半轴上的连续函数.     

直线方程f(2x0-x,2y0-y)=f(x,y)的几何意义

文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0　 ( * )定理 1　设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明　在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一…     

一种新的二次曲线系方程及其应用

确定一个二次曲线：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０一般需五个独立条件,因此,经过四点的二次曲线一般情况下有无数条,它们组成一个二次曲线系;本文以定理形式介绍一种新的二次曲线系,并举例说明其应用,并以此引伸出一种新的解题方法;１．定理的证明定理　若直线ＡＢ的方程为Ｆ１（ｘ,ｙ）＝０;直线ＢＣ的方程为Ｆ２（ｘ,ｙ）＝０;直线ＣＤ的方程为Ｆ３（ｘ,ｙ）＝０;直线ＤＡ的方程为Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０;则方程Ｆ１（ｘ,ｙ）·Ｆ３（ｘ,ｙ）＋λＦ２（ｘ,ｙ）·Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０表示过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的…     

配方法求一般二次曲线标准方程

本文介绍待定常数配方法求一般二次曲线标准方程 .只须方程组和点到直线的距离等基础知识 ,不仅方法简明 ,理论上也易为中学生接受 ,是中学解析几何教学改革的一个可行方案 .设一般二次曲线方程为　φ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ　 Ｅｙ Ｆ =0 (1 )当Ｂ =0时 φ(ｘ ,ｙ)可配方 ,故本文专论Ｂ≠ 0 ,并设Ａ≥ 0 ,记△ =Ｂ2 - 4ＡＣ .1　二次函数的配方定理 1　当Δ =0时 ,可恒等变形 ,使φ(ｘ ,ｙ) =(Ａｘ Ｃｙ ｈ1) 2 ｑ(- Ｃｘ　 Ａｙ ｈ2 ) ｒ (2 )证　因Δ =0 ,Ｂ≠ 0 ,Ａ≥ 0 ,必有Ａ >0 ,Ｃ >0 .展开 (2 )式右边与 (1…     

也谈二次曲线划分平面区域问题

在许多初等数学问题中,特别是在中学数学竞赛的某些试题中,常常涉及二元一次和二元二次不等式(组)的问题,而在解决这类问题时,常借助于几何图形的直观。但是在有心二次曲线划分平面区域的问题上,过去有人曾产生过错觉,认为由“规范方程f(x,y)= 0的有心二次曲线划分平面区域时,在含中心的区域内恒有f(x,y)<0,在不含中心的区域内恒有f(x,y)>O”,可简单地推知一般方程的有心二次曲线划分平面区域时也有完全相同的结论。如上海教育出版社1980年出版在全国发行的《中学数学竞赛辅导讲座》一书第70页在小结一般二次曲线划分平面区域时作了如下的结论:     

二次曲线方程的化简与坐标变换

中学教材的二次曲线部分增添了坐标轴旋转的内容。坐标轴的平移与旋转的主要作用之一,就是为了将二次曲线的一般方程化为最简方程。现就有关内容作些补充与说明,便于学习这一段教材时参考,弄懂在化简过程时如何作和为什么要这样作。一、有关二次曲线的三个命题