数列应用题中的递推关系

以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型 ,要正确快速地求解这类问题 ,需要在理解题意的基础上 ,正确处理数列中的递推关系 .1　等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础 ,一个数列问题 ,若能转化成一个等差或等比数列问题 ,则可以利用等差、等比数列的有关性质求解 .例 1　流行性感冒 (简称流感 )是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病 .某市去年 1 1月份曾发生流感 ,据资料记载 ,1 1月 1日 ,该市新的流感病毒感染者有 2 0人 ,以后 ,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 5 0人 .由于该市医疗部门采取措施 ,使该种…     

解数列综合题的策略与方法

数列综合题往往涉及多个数列知识点 ,甚至与函数、不等式、平几、解几等其它数学分支的知识相融合 ,问题角度新颖 ,思维跨度大 ,需要灵活运用多种数学思想方法 .这里就这个问题求解时的宏观调控策略与方法略作探讨 .1　发现特征 ,合理化归有些数列 ,通过对关系式的适当变形 ,可以把它转化为等差、等比数列问题 ;或根据等差、等比数列的模型特征列出所求数列的系数待定式 ,进而求解 .例 1　已知 f ( x) =( x 2 ) 2 　 ( x≥ 0 ) ,数列 {an}中 ,a1=2 ,an>0 ,这数列前 n项和的 Sn( n∈ N)对所有大于 1的自然数都有 Sn =f ( Sn- 1) .1求数列…     

转化法求递推数列通项公式

求递推公式数列通项公式问题,是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题求解,通过变换递推关系,将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.     

递推法求数列通项的几种简单类型

在数列教学中引入等差数列和等比数列的线性递推式 ,可以为求数列的通项公式提供一些灵活多变的方法 .由递推法求数列的通项有一定的技巧 ,本文介绍通过递推式的变换转化成等差、等比数列求解的几种简单递推数列通项的求法 .1　 an+ 1=pan+q型 (其中 p,q为常数 )在此类型中 1当 p =1时是等差数列 ;2当 p≠ 0且 q =0时是等比数列 .在一般情况下 ( p≠ 1 ,q≠ 0 )可向这两种特殊情况转化 .注意到递推式是关于 an+ 1,an 的一次式 ,要想消去 q,可类似解析几何中的坐标平移变换 ,只须令 bn =an + k( k为任意常数 )代入递推式 ,给 k一个适当值即可…     

有关等差数列和等比数列的两个性质

近几年的高考试题中经常出现递推数列问题,学生面对此类问题时感觉难度很大.笔者介绍一种简便方法,通过构造等差、等比数列来解决这类问题.定理1若数列{an 1-kan}(k≠0且k≠1)是公差为d的等差数列,则{an 1-an dk-1}是公比为k的等比数列.证明∵{an 1-kan}是公差为d的等差数列,∴     

k阶差等比数列

现行高中代数课本有数列{a_n},它满足下列公式: a_1=b a_(n 1)=qa_n d (q≠1) 它是等差、等比数列的自然推广,可叫做一阶差等比数列。这数列的进一步推广很有趣。如数列{a_n)的项差(a_(n 1)-a_n)称为它的一阶差数列,{a_(n 1)-a_n}的一阶差数列称为{a_n}的二阶差数列,可类似定义k阶差数列(为方便,称{a_n)为它自己的零阶差数列)。如果数列{a_n}的k-1阶差数列不是等比数列,而k阶差数列为等比数列,则称{a_n}为k阶差等比数列。本文拟推导这种数列的通项公     

等差数列与等比数列

数列是数学竞赛的重要专题，等差数列与等比数列是数列中最简单、最基础、最常见、最重要的两种类型．在等差数列、等比数列的有关问题中，重要的数学思想方法有方程的思想、函数的思想、化归的思想，即列解关于五个基本量α1，d（或q），n，αn，Sn的方程、研究αn与Sn关于n的函数的性质、将某些非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列问题求解．     

竞赛中的数列问题

数列问题是中学数学的重要知识点,也是数学竞赛的热点之一．1．等差数列与等比数列等差数列与等比数列是两种最基本的数列,许多有关数列的问题常常可以转化为等差数列或等比数列的问题求解．     

高阶差等比数列的通项与前n项的和

通过对某一数列应用逐差法,使得若干阶差后得到一等比数列.该数列又称为高阶差等比数列.本文仅研究讨论高阶差等比数列的通项及前n项和的公式,并由该数列的特点得到规律性计算公式,从而解决了高阶差等比数列的通项及前n项求和问题.     

几种常见的递归数列

一个数列的连续项之间的关系叫递归关系.由递归关系确定的数列叫递归数列.中学教材中的等差、等比数列,是最基本、应用最广的递归数列.递归数列在高考试题中时有所见.本文主要介绍一阶递归数列:an 1=f(an)(有一个初始条件)及二阶递归数列:an 1=f(an,an-1)(有两个初始条件)中的简单类型.1.第一类:a1=aan 1=can d　型若c=1,则an 1=an d,显然{an}是首项为a、公差为d的等差数列;若d=0,c≠0,则an 1=can,显然{an}是首项为a、公比为c的等比数列;下面就一般情形予以研究.例1　已知数列{an}中,a1=3,an 1=2an 4,求这数列的通项.解　由an 1=2an 4,得an=…     

等比数列各项的符号规律

设数列 {an}是等比数列 ,首项为a1 ,公比为 q ,由它的通项公式an=a1 qn - 1 ,容易得到 :(1)若 q >0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的各项都是正数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的各项都是负数 .(2 )若 q <0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的奇数项都是正数 ,偶数项都是负数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的奇数项都是负数 ,偶数项都是正数 .综上还可得到 :在等比数列 {an}中 ,不管公比 q是正数还是负数 ,它的奇数项和偶数项的符号分别相同 .这表明 ,等比数列各项的符号构成具有一定的规律 ,这对于正确地求解等比数列的有关问题具有一定的指导意义 .然而 ,许多同学在…     

数表与数列问题的求解

数表问题历来是竞赛的热点.这类问题题型新颖,信息性强,往往与数列整合在一起,可以较好地考查学生的观察问题、处理数据、阅读理解、获取信息、归纳推理等能力.本文谈谈如何求解这类题的一些方法.1利用特殊数列沟通纵横联系数表中的横与列都可以看作数列.如果题目已知某项或某列是等差或等比数列,应沟通数表中各数的纵横联系,利用特殊数列的通项公式、求和公式等来求解.例1(南充市2004年高三模拟题)n2个正数排成n行n列(如表1),其中每行数都成等差数列,每列数都成等比数列,且所有公比相同.已知a24=1,a42=18,a43=136,求∑k=n1akk.a11a12a13a14…     

由数列的递推公式求通项的常用方法

由数列的递推公式求通项公式问题比较复杂,题型很多,方法很多,学生不易掌握.但常用的方法是利用待定系数、换元将递推数列问题转化为等差、等比数列问题来解决.一、递推公式是两项或三项线性关系的求法例1 已知数列{a_n}中,a_1=-1/2,且a_(n+1)=1/2a_(n+1),求 a_n.分析:此类型题,可有效地引入一个辅助未知数r,构成一个新的等比数列来解.     

等比数列的一个定理及其应用

本刊 1 999年第 1 1期文 [1 ]通过课本一道习题 ,探讨了递推数列问题的化归解法 ,充分挖掘了课本习题教学价值 .但本人发现应用本文给出等比数列的一个定理 ,可以使这类常见的由递推公式求通项公式的问题获得简捷、统一的解决 .定理　如果由数列 {ａｎ}的项构成的新数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ,则相应的数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .证　数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ａｎ 1-ｋａｎ=ｌ(ａｎ-ｋａｎ -1) ａｎ 1-ｌａｎ=ｋ(ａｎ-ｌａｎ -1) 数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .该…     

差比型数列前n项和的求解方法--裂项法

设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则不妨称数列{anbn}为差比型数列．教材给出了这类数列的前”项和的求法——错位相减法,通过错位相减,消除{bn}中的各项系数差异,转化为等比数列（中间的（n=1）项构成一个等比数列）求和问题．     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

一道高考题的背景

2000年高考数学卷(理科)第20题第1小题:已知数列{Cn},其中Cn=2n 3n,且数列{Cn 1-pCn}为等比数列,求常数p.此题的背景来源于这样一个简单的事实:对于数列{an},若{an 1-pan}是以q为公比的等比数列(p≠0,q≠0),且a2-pa1≠0,则{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.证明　∵　{an 1-pan}是公比为q的等比数列,∴　an 1-pan=q(an-pan-1),an 1-pan=qan-pqan-1.移项重组得　an 1-qan=p(an-qan-1),所以数列{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.用这个简单的事实来解此高考题简洁明了,而且能深入问题的本质.∵　{Cn 1-pCn}为等比数列,设其公比为q(q≠0),∴…     

差比型数列前n项和的求解方法——裂项法

设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则不妨称数列{anbn}为差比型数列.教材给出了这类数列的前n项和的求法———错位相减法,通过错位相减,消除{bn}中的各项系数差异,转化为等比数列(中间的(n-1)项构成     

差比数列求和的两种方法比较

<正>如果数列{a_n}是公差不为0的等差数列,{b_n}是公比不为1的等比数列,把数列{a_n·b_n}称为差比数列,差比数列求和常用乘q错位相减法,其实,用裂项相消法求和也是一种简便易行的方法.下面通过实例来说明两种求和方法,并对两种方法作比较,以利于学生更好地掌握和应用.     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…