关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

对于在中学講授数理邏輯的初步意見

目前,随着全国范围內轰轰烈烈的技术革命文化革命广泛深入的发展,我国数学界也在进一步开展羣众性的大搞数学联系实际以及关于数学教学彻底改革的討論及試驗。在中学数学向現代化方向改革的討論中,不少同志提出应該在中学讲授一些数理邏輯基本知識;作者也同意这样的意見,为了参加討論,現在談一些不成熱的看法,难免有片面或錯誤之处,希望得到批評。一、数理邏輯的主要內容数理邏輯这門科学,就其原来的内容說,是用数学方法来帮助研究某些較初級的思維过程中的規律性。应該說明,絕不是任何思維規律的研究都适于引用数学方法;数理邏輯的研究对象,主要是一些形式邏輯中的規律,特别是数学論証中的思維規律。研究的途径是将这些思維的进行作数学的抽象和描述,使之符号     

谈谈数学中的判断

培养学生的邏輯思維能力,是数学教学目的之一。而概念明确、判断恰当、推理合乎邏輯则是培养邏輯思維的基本要求。本文拟就如何加强学生判断能力的培养,提出几点粗浅意見。判断是对事物有所肯定或否定的一种思維形式。数学判断,则主要是对空間形状及数量关系有所肯定或否定的思維。数学中,处处离不开判断。数学概念、公理、定理、公式、性质、法則,一般都用判断表达。判断与概念和推理紧密联系;判断由概念組成;概念用判断揭露。判断是組成推理的要素;而好多数学判断则必須經过推理才能获得。因而,在数学教学中培养学生恰当地进行判断的能力,不仅对培养学生邏輯思維有重要意义,而且,也是学好数学知識不可缺少的重要前提。     

关于反証法在中学代数教学中的一些运用

在中学数学中,某些理論若用直接証明,便会太复杂,使学生不易掌握;另外,有时学生还不具备用来証明理論的一些知識,使理論不能得到应有的邏輯上的承认。在这种情况下,若用反証法来讲解是很有成效的,可以达到讲透教材的目的;可以給学生解答一些比較困难的問題。現在举几个例題說明如下: 例1.当我們讲高中代数第七章內“§94对数的定义”时,教材中写着“……我们可以証明(証明很繁,这里省略不讲),一定有唯一的值x=b能够使 2~b=5. 这里所說的“証明很繁”,指的是直接証明很繁,但是我們如果用反証法可証明如下,中学生接受起来并不觉得困难。 証.假设当x=b及x=b′时,都能使2~x=5成立,即2~b=5,2~(b′)=5。     

关于不等式的証明

在代数“不等式”一章中,不等式的証明是个难点。証明方法多种多样,往往因題而异,缺少一定的途径。但是,如果能牢固地掌握不等式的性貭,认識基本不等式的特点,认真地审題;并且运用比較、分析和綜合等推理方法,进行思考探索,也不难找到証題的途径。目前,学生的邏輯推理能力很差。因此,抓住这单元的数材,培养学生仔細审題和认真思考,进一步培养学生的邏輯推理能力,就显得十分必要。 (一) 引导学生认識基本不等式的特点掌握証題的一般方法学生对不等式的証明,往往停留在模仿范例,做些类似的推理。遇有外形略异的題目,就束手无策。究其原因不外是:(1)教师对于常用的不等式的特点沒有透彻地讲解。学生在証題时,不能根据需要选择应用已知的不等式,进行推理論証。(2)教师对于一般的推理方法,沒有使学生很好地掌握。因此,学生在証题时,就不会运用严謹的推理方法,逐步地进行探索和論証。因此,教师在教学中,应該注意解决由于上述原因     

关于中学几何教学中的几个問题

(一) 最近我們有机会訪問了北京的几个中学,了解了一些数学教学的情况,接触到了一些問題,感到在中学几何教学的实践过程中,以及教师对几何教学的看法上有下列的一些情况:一是认为十二年制的几何教材是脫离实际的,因而需要加强几何材料与实际的联系。为此,注意了几何概念的实际引入,并且加强它的实际应用的內容,但是在实践过程中个別教师却或参或少地忽视了理論,忽祝了把实际問題上升为科学的概念的必要性,忽視了邏輯推理的重要性,忽視了几何教学在培养学生的邏輯思维能力方面的作用;二是知道提高几何的理論水平是重要的。但是在教学中不敢要求学生,怕在理論上、推理上严格要求学生就是維护“旧框框”;三是认为理論与实际的結合是重要的,在教学中也敢于要求学生,但不太明确应該要求到什么程度。总之,在最近期间教师们还是比較注意了加强理論与实际的結合,但是在对理論与推理的要求方面却反映了不要、不敢、不明确的三种情况。这些問題的討論涉     

对于教初中平面几何较复杂作圖題的点滴体会

解几何作圖題,不仅可以使学生將已学过的理論知識得到应用与巩固的机会,而且对于培养学生分析推理的邏輯思維能力、空間想像力的發展及技能技巧的訓練也將起着很大的作用?浅醵诳佳Я曌鲌D題,特别是比較复杂的作圖題的时候,总感到不習慣,觉得步驟繁杂,懂得而說不来等困难。因此我們对于这部分教材的教学,应該加以特別重視,否则也     

数学思維中的归納与类比

翻开一般的数学課本,就会看到:定义—定理—証明—推論,最多再举几个例,或者在定义前面有个小敍,说明一下理論发展的簡略情景。但要問,这个定理是怎么发現的?数学家怎样找到了証明?証明的过程为什么必須是这样的?如此等等数学家們真实的思維过程在写书时都被抽掉了。在一般的数学文献中,这样做也许是必要的,但在数学教科书与数学教学中,注意适当地发掘这种思維过程就显得很重要了,它将对培养初学者的数学能力起很好的作用。近来讀到一本书:“数学与似然推理”(原书是英文,有俄文譯本),是数学家波利亚(Polya)根据自己数学研究和教学的經驗写成的。这本书的主要目的在于肯定地回答諸如“在通常的自然科学中所应用的归納、类比、观察、实驗、概括等方法在严謹的科学,例如数学     

談几何証題

在中学几何教学中,为了使学生能够理解和掌握所学的概念、定理、公式等基本知識,使之获得熟练的技能技巧和解决实际問題能力以及不断地发展思維与邏輯推理能力,适当地配备一定数量和一定貭量的习題,完全是有必要的。学生常常反映对証明題不知道应該怎样着手去思考,虽然他們也觉得初步理解了几何中有关定义、定理等基本知識,但是怎样才能运用这些知識去发現解題的途径,总认为有时茫然,思路不广,把握不大。据平常了解,原因在于我們留給学生的习題,从要求方面的内容居多,而对于在处理一个証題     

初三学生几何論証推理中的若干特征

(一)研究的目的论証推理是初中学生証明几何题时最常用的一种逻辑思维形式。学生对其中一些规则能否自觉地掌握和他们的証题质量有着密切的联系。作者认为,研讨初中学生証明几何题时推理的特征,对于发展他们这方面的逻辑思维能力,提高几何的教学质量,有着重要的理论和实践意义。本文研究的目的,是学习运用毛主席指示的“外因通过內因而起作用”的原理,结合学生的內外条件,根据一定的资料,研究我国十五、六岁左右的初三学生在几何论証推理中的特征,探讨优、中、差三类学生在此     

关于Leray的一个定理

<正> 这理所謂Leray定理,是指在适当条件下,一个空間与它的一个复盖的神經复合形有相同的同調羣而言.Leray的原証(以及Borel,Cartan,Serre等在各种变化形式的証明),奠基于他的Converture理論(亦或用及束論与譜叙列論).本文将按照Eilenberg-Steenrod的体系給出另一証明.我們的証明虽只适用于有限复盖,但易于推广到基本羣的情形,而巳知方法則不适用.我們也同样討論丁关于同伦羣与同伦型的情形.     

解析几何中的若干类特殊曲面

在解析几何里,曲面是看作适合某种条件的动点的軌迹,据此論点可以証明曲线依某种規律移动必可产生曲面(見§1)。按前者所建立的曲面方程的方法,叫做直譯几何条件法,而后者則謂消参数法。前法理論較簡进行容易,而后者則理論較难但用处较多。本文拟对后者作扼要的論述,并以此观点建立三类直紋曲面(柱面、錐面和劈錐曲面)以及迴轉曲面的方程。一般书中所論,則仅为此处的特例。     

初等数学中的定义和証明

在学习数学的过程中,如果能自覺地运用正确的思維形式,那末对于透澈理解与牢固掌握数学的基础知识和提高应用数学方法解决实际問題的技能都将获得显著效果。因此在数学教学中,教师不但应当自觉地运用正确的思維形式,而且必須通过数学內在的逻輯因素,有意識地向学生介紹邏輯方法。下面就通过初等数学的內容对定义和証明作簡略的論述。 給数学概念下定义,通常是采用“种属定义”。所谓“种属定义”,是指通过揭露邻近的种和属差来給概念下定义,即首先找出被下定义的概念的邻近种,然后再找出它与同一种概念中其他概念的差别。“种属定义”的公式是     

数学归納法的教材研究与教法建議

从現行代数課本来看,数学归納法是由学习“第一项相同而第二項不同的若干个二项式的积”这一課題而引出的,而这一課題的目的又在于导出“二项式定理”这一重要內容;从以后的习題內容来看,我們又将这一証明方法用之于等差数列和等比数列的通項公式以及求和公式的証明,以后又将这一証明方法用之于其他多种类型的问題,如排列、組合、复数的若干性质,不等式的证明,恆等式的証明,在几何里又可以用之于尤拉公式——“f v=l 2”的証明,等等,总之,对于和自然数有关的命題,一般都可以应用数学归納法。因此,在中等数学的許多章节里,以及在高等数学学习中,数学归納法都是一个重要的推理工具,同时,数学归納法也是发展与培养学生的邏輯思維能力的很好题材。但是,历来中学生学习这一节內容时感到困难,不易掌握其精神实貭,或者不能熟练运用这一証明方法,这給中学生进一步学习高等数学带来不便。現在,我們根据自己几年来的教学实践,把有关这一节的教材研究和致法建議写出来供同志们教学中参考,并请指正。     

中学数学中无理数的引入

关于无理数的概念的引入,这一課題在中学数学教学中非常重要,因为綫段长度的概念、极限的概念都建立在实数概念的基础上。在中学里沒有必要向学生介紹无理数的严格的理論,任何这方面的企图都不会得到好的效果。在中学学习无理数的要求是 (1)給学生建立明确的有关无理数的概念; (2)使学生认識到有关无理数的概念在几何和代数方面的作用。为了保証学生对无理数的概念获得正确清楚的理解,1956-1957年度数学教学大綱的說明部分規定了无理数的引入的讲解程序的标准如下: (1)証明在有理数中沒有2~(1/2);     

間接証法及其邏輯根据

間接証明(或通常所說的反証法)在数学的推理过程中常会遇到,初学者往往不容易掌握。本期发表吳开朗同志的“間接証法及其邏輯根据”一文,对于想弄清楚間接証法的讀者来說将会有些帮助。     

命題演算和某些邏輯推断方法的根据

在过去两千年的时期內,邏輯被应用来发展数学,但数学却没有被用来发展邏輯。仅仅在19世紀数学才开始渗透到邏輯中去,并产生了巨大的效果。由于应用数学方法于形式邏輯的問題,結果出現了一个新的科学部门——数理邏輯(或譯数学邏輯,下同——譯者注)。数学学科的演繹体系提出研究它們的邏輯結构,查明在这个体系中应用的邏輯方法的問題。邏輯推断方法的理論的研究即是数理邏輯的对象。在本文中只討論数理邏輯的最簡单的部分——命題演算。     

在师范算术“数的整除性”一章的教学中应注意些什么?

(一)教学目的 (1)使学生牢固地系統地掌握关于数的整除性理論的一些基础知識和相应的技能技巧,为以后学習分数理論做好准备。 (2)通过整除性理論的教学,以培养学生的分析、綜合、此較和判断等邏輯推理能力。 (二)教材系統 师范学校二年上期算术課程的教学內容有三部分:Ⅰ.量的度量,Ⅱ.数的整除性,Ⅲ.分数(講到分数的加減法为止)。我們知道,分数理     

关于佈置作業这一环节的运用

数学通报編者在1957年第3期第一篇文章中指出:“習作在教学过程中起着很大的作用,它可以帮助正确地明了概念,更透徹地了解理論,更有效地获得技能和熟練技巧,还可以發展邏輯思維,培养独立工作能力。”教学大綱也曾經强調“应当特別注意組織学生关于数学的課內和課外的独立作業”。因而进一步做好学生作業这一环节就具有重要的現实意义。現在我就这一环节的运用,談談我个人的点滴体会。     

演繹和归納在初等数学中的作用

推理是用以从一个或几个已知判断获得新判断的邏輯方法。因此,推理这个认识形式和其他的思維形式一样,也可以作为获得知識的工具和手段。推理有直接推理和間接推理,而間接推理主要又有演繹推理和归納推理。演繹推理是从一般到特殊的推理,而归納推理恰相反,它是从特殊到一般的推理。当然,还有从特殊到特殊的推理,例如类比推理。演繹推理和归納推理之間有密切联系,事实上,人們在认识客观事物的思維过程中,經常同时使用着演繹推理和归納推理。由于推理能使人們从已知的知識中获得新知識,因此在学习数学的过程中,如果能正确地运用推理这个从已有的判断获得結論的邏輯方法,那末对于深刻理解与掌握数学知識和提高应用数学方法解决实际問题的能力都将起显著作用。可惜目前在初等数学的教