Exact solutions of the unsteady two-dimensional Navier-Stokes equations

This paper studies the two-dimensional incompressible viscous flow in which the local vorticity is proportional to the stream function perturbed by a uniform stream. It was known by Taylor and Kovasznay that the Navier-Stokes equations for flow of this kind become linear. From the general solution to the linear equations for steady flow, we show that there exist only two types of steady flow of this kind: Kovasznay downstream flow of a two-dimensional grid and Lin and Tobak reversed flow about a flat plate with suction. In the unsteady flow case, new classes of exact analytical solutions are found which include Taylor vortex array solution as a special case. It is shown that these unsteady flows are, as viewed from a frame of reference moving with the undisturbed uniform stream, pseudo-steady in the sense that the flow pattern is steady but the magnitude of motion decays, or grows, exponentially in time. All these solutions are valid for any Reynolds number.

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Résumé Dans ce travail nous étudions l'écoulement plan d'un fluide visqueux incompressible dans lequel la rotation locale est proportioneile à la fonction de courant perturbée par un courant uniforme. Conformément aux travaux de Taylor et Kovasznay les équations de Navier-Stokes pour cet écoulement deviennent linéaires. Par conséquent nous utilisons la solution générale pour démontrer que seulement deux catégories d'écoulement stationnaire peuvent exister: l'écoulement de Kovasznay en aval d'une grille plane, et l'écoulement inversé de Lin et Tobak pour une plaque plane avec aspiration. Nous étudions aussi l'écoulement non stationnaire et nous découvrons des classes nouvelles de solutions exactes qui contiennent, en particulier, le réseau de tourbillons de Taylor. Enfin nous démontrons que ces écoulements sont pseudo-stationnaires dans un système de coordonnées en mouvement avec le courant uniforme non perturbé; ce qui signifie que l'amplitude de l'écoulement stationnaire croit ou décroit exponentiellment dans le temps. Toutes ces solutions sont valides pour tous les nombres de Reynolds.

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On leave from University of Waterloo, Ontario, Canada.     

Unsteady,laminar, incompressible flow through rectangular ducts

Résumé L'étude porte sur la théorie de lécoulement non permanent d'un fluide visqueux incompressible dans de canaux rectangulaires d'allongement divers, sous l'influence d'un gradient de pression arbitraire, dépendant du temps. Des solutions ont été obtenues dans 4 cas particuliers: 1. gradient de pression impulsif, 2. gradient de pression constant et établi brusquement, 3. gradient de pression en fonction harmonique du temps, 4. gradient de pression à une composante constante et une composante harmonique. On donne les répartitions de vitesse, les coefficients de frottement et la dissipation d'énergie par unité de longueur.

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This paper summarizes the second portion of the Ph. D. Thesis [1]²) byC. Fan.     

Combined finite element and spectral approximation of the Navier-Stokes equations

Summary We present a method for the numerical approximation of Navier-Stokes equations with one direction of periodicity. In this direction a Fourier pseudospectral method is used, in the two others a standard F.E.M. is applied. We prove optimal rate of convergence where the two parameters of discretization intervene independently.

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Approximation des équations de Navier-Stokes par une méthode éléments finis-spectrale Fourier

Resumé On présente une méthode d'approximation numérique des équations de Navier-Stokes possédant une direction de périodicité. Dans cette direction une méthode pseudospectrale basée sur des développements en série de Fourier est utilisée, dans les deux autres on applique une méthode d'éléments finis standard. On montre que la convergence est optimale et que les deux paramètres de discrétisation peuvent être choisis de façon indépendante.

     

Some general principles of dynamic instability of solid bodies

Résumé Ce travail représente une étude de l'équilibre des corps solides, avec un intérêt special accordé aux corps élastiques et à ceux de Voigt-Kelvin. Les efforts appliqués peuvent avoir des composants non conservatifs et gyroscopiques, quoique la dépendance explicite du temps soit exclue. Il est bien connu que, pour une catégorie de problèmes tellement large, l'établissement des conditions de la stabilité par les méthodes classiques de statique ou d'énergie n'est pas toujours applicable.Le traitement du problème essaie d'être assez compréhensif. En utilisant la méthode des vibrations modales on établie des critères généraux de stabilité sur la base d'une «énergie équivalente». Ces critères sont d'une telle généralité qu'ils contiennent, comme cas spéciaux, les critères publiés auparavant. En plus, de nouveaux principes ont été développés et démontrés à l'aide d'un exemple numérique.

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This work was supported by the National Science Foundation through Grant GK-368 to the University of Illinois at Chicago Circle.     

Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system

Summary We prove that, if the initial data has moments inv higher than three, then the solution of Vlasov-Poisson has also moments inv higher than three. We deduce from this different regularity results on the local density, the force field or the solution itself. Also we give a new uniqueness result, and new regularity results for solutions satisfying only the energy andL bounds. Our proofs are based on a new representation formula and logarithmic estimates for the force field.

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Résumé Nous montrons que, si la donnée initiale possède des moments env plus élevés que trois, alors la solution de l'Equation de Vlasov-Poisson a aussi des moments plus élevés que trois. Nous en déduisons différents résultats de régularité sur la densité locale, le champ de force ou la solution elle-même. Nous donnons également un nouveau résultat d'unicité et de nouveaux résultats de régularité pour les solutions vérifiant uniquement les estimations d'énergie et les bornesL . Nos démonstrations sont fondés sur une nouvelle formule de représentation et des estimées logarithmiques sur le champ de force.

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Oblatum 14-I-1991     

On sonic discontinuities in an ideal radiating gas

Following Elcrat the phenomena associated with the sonic discontinuities in an ideal radiating gas are studied here. The differential equations for growth and decay of these discontinuities are formulated. In order to integrate them in full generality they are transformed to an equation along the bicharacteristic curve in the characteristic manifold. The criterion for the decay or blow up of weak discontinuities has been given. Radiation contributes to the fast development of shock.

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Résumé Dans cet article il s'agit de l'étude des phénomènes associés aux discontinuités soniques dans un gaz parfait rayonnant. On formule les équations différentielles gouvernant la croissance et l'amortissement de ces discontinuités. Afin de pouvoir les intégrer en toute généralité, on les transforme en une équation sur la courbe bicaractéristique dans la variété caractéristique. On donne le critère d'amortissement ou d'éclatement des discontinuités faibles. Le rayonnement contribue au développement rapide du choc.

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This author is thankful to CSIR, India for financial assistance for this work.     

Aufbau von Schichtwechselplänen für Betriebe mit kontinuierlicher Arbeit

Zusammenfassung Mathematische Zusammenhänge für die Erstellung von Schichtwechselplänen. Berücksichtigung von Schichtzyklus und Schichtabfolge. Besondere Maßnahmen, die es ermöglichen, Schichtwechselpläne mit 45-stündiger Wochenarbeitszeit zu erzielen. Beispiele von Schichtwechselplänen für die 45-Stundenwoche.

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Summary Mathematical connections for putting up schedules concerning the change of working shifts. Consideration of shift cycles and succession of shifts. Special methods to make possible shift change schedules for a 45-hour-week. Examples of shift change schedules adjusted to the 45-hour-week.

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Résumé Rapports mathématiques pour les programmes d'alternance d'équipes. Considération de cycles d'équipes et de la rotation d'équipes. Méthodes particulières pour arriver à des programmes d'alternance d'équipes avec une durée de travail de 45 heures par semaine. Examples de programmes d'alternance d'équipe pour la semaine de travail de 45 heures.

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(unter besonderer Berücksichtigung von Problemen der 45-Stundenwoche)     

Sharp estimates of the energy for the solutions of some dissipative second order evolution equations

We establish precise estimates of the energy decay for certain second order dissipative problems concentrating our attention on the effect of the nonlinearity on the constants depending on the initial data in such estimates. In general, when damping terms are superlinear such constants turn out to be superlinear functions of the initial energy. We consider nonlinear terms growing either polynomially or exponentially and apply our results to some concrete partial and ordinary differential equations. In certain particular cases, the optimality of the obtained estimates is also proved.

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Résumé On établit des estimations très précises de la décroissance de l'énergie pour des solutions des problèmes dissipatifs de second ordre, en veillant a élucider la façon dont le terme non linéaire agit sur les constantes dépendant des données initiales qui apparaissent dans ces estimations. En général, pour des terms de frottement a croissance surlinéaire, ces constantes sont aussi des fonctions surlinéaires de l'énergie initiale. Nous considérons des nonlinearités à croissance polynômiale ou exponentielle, en appliquant les resultats obtenus a plusieurs exemples d'équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles. Dans certains cas particuliers, on montre également l'optimalité des estimations établies.

     

Gravity flow of coarse cohesionless granular materials in conical hoppers

This paper is concerned with the flow of cohesionless granular materials in conical hoppers. The granules are considered to be coarse such that the effects of interstitial fluid can be neglected. Two analytical approaches based upon the method of integral relations are presented. In the first the detailed variations of shear and normal stresses over the cross-section of the hopper are considered. The second is a very simple analysis which makes use of a mean normal stress averaged over the cross-section. The two analyses yield predictions for the flow rate which are almost identical. After the inclusion of an empirical correction factor to account for non-uniform exit velocity profiles and bulk density reductions near the outlet, the flow rate predictions and their variations with internal and wall friction angles and with hopper wall slope are found to agree well with experimental measurements.

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Résumé Cet article traite de l'écoulement de matières granuleuses sans cohésion dans des trémies coniques. On admet que les granules sont assez gros pour que les effets dûs au fluide intersistiel restent négligeables. 2 méthodes d'approche analytiques basées sur la méthode des relations intégrales sont présentées. La première considère en détail la distribution des contraintes normales et de cisaillement sur la section de la trémie. La seconde méthode est une simple analyse basée sur la moyenne des contraintes normales sur cette section. Les 2 analyses fournissent des prédictions presque identiques sur le taux d'écoulement. En introduisant un facteur de correction empirique pour tenir compte de la non-uniformité de profils de vitesses d'écoulement ainsi que de la réduction de densité à la sortie, l'analyse fournit des taux d'écoulement et leurs variations avec la friction interne, les angles de friction aux parois et l'inclinaison des parois de la trémie. Les résultants obtenus sont en accord avec des mesures expérimentales.

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On leave at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge.     

Spatial decay estimates for the heat equation via the maximum principle

Spatial decay estimates for the solution of the heat equation, similar to those obtained by other authors using energy inequalities, are established through use of the maximum principle.

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Résumé A l'aide du principe du maximum, on obtient des évaluations pour la décroissance spatiale des solutions de l'équation de la chaleur. Ces résultats ressemblent à ceux d'autres auteurs, qui utilisaient des inégalités pour l'énergie.

     

Une méthode numérique pour les problèmes d'équilibre de corps hyperélastiques compressibles en grandes déformations

Résumé Cet article applique les techniques de Lagrangien Augmenté à la résolution numérique des problèmes d'équilibre de corps hyperélastiques compressibles soumis à de grandes déformations. La méthode obtenue est illustrée par plusieurs exemples numériques.

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A numerical method for solving equilibrium problems of compressible hyperelastic bodies in large deformations

Summary This paper uses Augmented Lagrangian techniques for the numerical solution of equilibrium problems of compressible hyperelastic bodies subjected to large deformations. The resulting method is illustrated by several numerical examples.

     

Sur la convergence des méthodes d'éléments finis nonconformes pour des problèmes linéaires de coques minces

Résumé Dans cet article, nous étudions la convergence des méthodes d'éléments finis nonconformes pour l'approximation des problèmes de coques minces générales. Nous établissons des conditions suffisantes de convergence pour une large classe d'éléments finis, puis nous donnons des estimations de l'erreur sur les déplacements et les contraintes.

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On the convergence of nonconforming finite element method for linear thin shell problems

Summary In this paper, we study the convergence of nonconforming finite element method for the approximation of general thin shell problems. We give sufficient conditions of convergence for a large class of finite elements, then we estimate the error on the displacements and on the stresses.

     

On principle of stationary mutual complementary energy and its application to optimal structural design

Résumé Un principe d'énergie mutuelle, complémentaire et stationnaire est établi pour une poutre élastique sous l'influence de deux systèmes de charge. Grâce à ce principe d'énergie stationnaire, la condition nécessarire et suffisante pour une optimisation locale peut être dérivée pour les problèmes de construction de poutres statiquement indéterminées avec une flèche minimale, le poids total et les contraintes étant prescrits. La condition d'optimisation ainsi dérivée est appliquée au problème de flèche centrale minimale pour une poutre sandwich encastrée aux deux extrémités et soumise à l'action d'une charge uniformément répartie.

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This research was supported by the University of Notre Dame.     

On the frame-dependence of stress and heat flux in polar fluids

Summary A special theory of polar fluids is developed with a view to providing some insight into the questions of the frame-dependence of stress and heat flux, arising out of a recent paper by Müller (1).

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Résumé Le but de cet article est de développer une théorie spéciale des fluides à molécules polaires afin d'éclaircir deux questions soulevées dans un récent article de Muller (1), à savoir: le flux de chaleur et une possible relation de dépendance entre la tension et le système de coordonnées choisi.

     

General Weissenberg effect in free surface rheometry part II: Experiments

Summary This paper reports the results of an experimental investigation to determine the climbing constants of viscoelastic liquids in the rotating rod geometry with two layers of viscoelastic liquids and the results of an investigation which describes the effects of eccentricity on the free surface shape of a non-Newtonian liquid in motion between eccentric cylinders. The former set of results shows the rotating rod geometry with a layered medium of viscoelastic liquids may be used as a free surface viscometer yielding reliable and reproducible values for the sequentially determined climbing constants of those liquids. The latter set of results indicates that the concentric cylinder geometry is not a good free surface viscometer. Very small eccentricities generate large circumferential pressure gradients which overwhelm small normal stress effects. There is good agreement between experimental and second order predictions for small eccentricities and rotational speeds and fluids which display large normal stress effects.

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Résumé Cette étude présente les résultats d'une recherche expérimentale qui permet de déterminer les constantes d'élévation des liquides viscoélastiques dans la configuration de barre en révolution avec deux couches de liquides viscoélastiques et les résultats d'une recherche qui décrit l'effet de l'excentricité sur la forme de la surface libre d'un liquide non-Newtonien en mouvement stationnaire entre des cylindres excentriques. Le premier ensemble de résultats montre que la géometrie de barre en révolution avec plusieurs couches de liquides viscoélastiques superposées peut être utilisée comme viscomètre de surface libre produisant des valeurs sûres et reproductibles pour les constantes d'élévation successivement déterminées de ces liquides. Le second ensemble de résultats indique que la configuration de cylindres concentriques n'est pas un bon viscomètre de surface libre. De très petites excentricités produisent des vastes gradiants de pression circonférentielle de plus grande magnitude que les effets de contrainte normale submergeant ces derniers de cette manière. Il y a un bon accord entre les prédictions expérimentales-et celles de la théorie du second ordre pour de petites excentricités et vitesses rotationelles et des fluides qui montrent de grands effets de contrainte normale.

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Parts of this paper presented at the 9th Canadian Congress of Applied Mechanics, University of Saskatchewan, Saskatoon, Canada, May 29–June 3, 1983 and at the XVIth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, The Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark, August 19–25, 1984.     

La méthode de Kikuchi appliquée aux équations de von Karman

Resumé Le but de cet article est l'étude de l'approximation numérique des solutions non-triviales des équations de Von Karman pour le flambage d'une plaque mince encastrée. S'inspirant de la méthode de Kikuchi pour des problèmes quasi-linéaires du second ordre, on propose une méthode itérative d'éléments finis qui donne des approximations des solutions de norme «petite» qui bifurquent de la solution triviale au voisinage d'une valeur propre simple du problème linéarisé. On démontre la convergence et on obtient des estimations de l'erreur.

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Application of Kikuchi's method to the von Karman equations

Summary The aim of this article is to study the numerical approximation of non-trivial solutions of the Von Karman equations for the buckling of a thin elastic clamped plate. Following Kikuchi's method for second order quasilinear problems, we propose an iterative finite element method which produces approximations of non-trivial solutions of small norm which bifurcate from the trivial solution near simple eigenvalues of the linearised problem. The convergence is proved and error estimates are obtained.

     

Analyse du bruit neutronique du réacteur CROCUS

Résumé Une application de la théorie stochastique des réacteurs nucléaires a été faite à la détermination du temps de vie moyen des neutrons du réacteur à uranium légèrement enrichi et eau légère CROCUS. Cette grandeur a été obtenue par intercorrélation des signaux de bruit de deux chambres d'ionisation. On a également déterminé par la même méthode l'efficacité des chambres d'ionisation.

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Summary An application of stochastic reactor kinetics theory has been made to determine the mean neutron lifetime in the lightly enriched uranium, light water reactor CROCUS. This quantity was obtained by intercorrelation of noise signals from two ionisation chambers. The same method was also used to determine the efficiency of the ionisation chambers.

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Communication présentée à la session de printemps 1972 de la SSP à Berne.     

Eccentric rotating flows: Exact unsteady solutions of the Navier-Stokes equations

We present some exact solutions of the Navier-Stokes equations which describe the development of eccentric flows in a rotating fluid. In particular, it is seen how an eccentric solid body rotation behaviour can be developed.

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Resumé On décrit le développement de l'écoulement excentrique dans un liquide tournant quand il y a des axes différents. Des solutions exactes des équations de Navier et Stokes s'offrirent; une solution particulière représente l'écoulement excentrique d'une masse solide.

     

Automatic integration of a stiff system using ellipsoidal norm of the error-vector for error-control

The truncation error in the One-Step-Predictor-Corrector (OSPC) method of integrating a stiff system of Ordinary Differential Equations (ODE's) has been obtained. A new method of error-control for the purpose of automatic choice of stepsize has been developed. It is shown that if the error criterion is imposed on a suitable ellipsoidal norm of the vector of errors, the growth of global error is linear. Numerical tests show that this method of error-control leads to more accurate solutions than the conventional method which uses only a scalar error for controlling the time-step.

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Résumé On a déterminé l'erreur de troncature de la méthode basée sur la prédiction et la correction à un pas (OSPC) qui intègre un système rigide d'équations différentielles ordinaires (ODE's). Une nouvelle méthode de contrôle des erreurs a été établie afin que le choix de grandeur du pas se fasse automatiquement. On a démontré que la croissance de l'erreur globale est linéaire si le critère d'erreur est appliqué à une norme ellipsoidale appropriée du vecteur des erreurs. Des essais numériques démontrent que cette méthode de contrôle de l'erreur rend les solutions plus précises que la méthode conventionelle qui ne fait appel qu'à l'erreur scalaire afin de contrôler le pas d'intégration.

     

Étalement en couche mince d'un jet liquide cylindrique vertical sur un plan horizontal

Résumé Quand un jet liquide cylindrique vertical tombe sur une plaque plane horizontale, il s'étale en général sur celle-ci en un écoulement en film mince limité par un ressaut circulaire, au delà duquel, le film a une épaisseur plus grande. Une étude théorique est faite aussi bien en zone torrentielle qu'en zone fluviale et la position du ressaut est déterminée; ces résultats sont comparés aux courbes expérimentales et l'évolution du profil des vitesses est déterminée dans la zone fluviale par anémométrie laser.

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Conclusion Cette étude nous a permis de mettre en évidence une concordance acceptable entre le profil réel et le profil semi-parabolique des vitesses dans la zone fluviale dans le cas de nos conditions expérimentales [11]. D'autres conditions, ne permettant pas le renouvellement constant du liquide de la surface libre, auraient conduit certainement à un autre type de profil [12]. Par ailleurs le calcul théorique associé à ce profil nous a permis de prévoir la position du ressaut avec une précision acceptable. Enfin, la structure du ressaut relatif à ce type d'écoulement a pu être précisée.When a cylindrical vertical liquid jet falls on an horizontal flat plate it spreads out generally in a thin layer bounded by a circular hydraulic jump outside which the layer has a much greater depth. The theoretical study is done for the supercritical and subcritical flows and the hydraulic jump is located. The relations obtained are compared with experimental results and the evolution of the velocity profil is determined in the subcritical flow by laser anemometry.

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Cette recherche a fait l'objet d'un contrat ONRS (Organisme National de la Recherche Scientifique Algérien) No. 76 AA 01/1.