谈谈圆锥曲线的几个定值

圆锥曲线有许多丰富、有趣的性质 ,是高中各类考试考查的重点内容 ,本文对其中的几个定值问题加以总结 .1　焦点弦性质圆锥曲线过焦点的弦被焦点分成长为ｍ ,ｎ的两部分 ,则 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程ρ= ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.可设ｍ =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,ｎ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓ(θ+π)所以 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.2　定点弦性质抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的动弦ＡＢ恒过定点Ｍ(2ｐ,0 )的充要条件是ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1 .证明　充分性 .若ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1设弦ＯＡ的方程为ｙ=ｋｘ,①则弦ＯＢ的方程为ｙ=-1ｋｘ ,②由抛物线方程…     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 6分 )1 .与已知点P的距离为 2 .5cm的所有点组成的平面图形是 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a =5 ,b =1 2 ,那么sinA = ,cosA =.3 .角平分线是的点的集合 .4.已知cosA =32 ,且∠B =90° -∠A ,则sinB =.5 .若圆的一条弦长为 1 2cm ,其弦心距等于 8cm ,则该圆的半径等于 .6.∠AOB的两边分⊙O为 1∶5两部分 ,则劣弦AB所对的圆周角等于度 .7.化简 :tan5 3°·tan48°·tan45°·tan3 7°·tan42°=.8.计算 :(sin45° -1 ) 2 +|1-tan60°|=.9.如图 1 ,⊙O的两条弦AB ,CD交于点P ,已知AP =2cm ,BP=6c…     

双曲线的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中 ,笔者发现了双曲线的一个有趣性质———一种曲线到自身的变换 .定理　给定双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,Ｐ1 是Ｃ上不在顶点的任一点 ,Ｐ1 Ｐ2 是Ｃ的垂直于ｙ轴的弦 ,Ｍ1 (Ｏ ,-ｂ) ,Ｍ2 (Ｏ ,ｂ)是Ｃ虚轴的两个端点 ,则直线Ｐ1 Ｍ1 与Ｐ2 Ｍ2 的交点Ｐ仍在Ｃ上 .证明　设Ｐ1 (ｕ ,ｖ) (ｖ≠ 0 ) ,则Ｐ2 (-ｕ ,ｖ) .直线Ｍ1 Ｐ1 :ｙ ｂ=ｂ ｖｕ ｘ①直线Ｍ2 Ｐ2 :ｙ-ｂ=ｂ-ｖｕ ｘ②由① ,②解得ｕ=ｂｘｙ ,ｖ=ｂ2ｙ.因Ｐ1 点在Ｃ上 ,故ｂ2 ｕ2 -ａ2 ｖ2 -ａ2 ｂ2 =0 .所以ｂ2 ·ｂ2 ｘ2ｙ2 -ａ2 …     

从两圆的交点弦到等幂线

这是教材上的一道习题: 求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0①和3x~2 3y~2 2x y=0②交点的直线方程。启蒙阶段,可先解交点,后求直线方程: 由①×3-②,可得7x-4y=0③又由①、②联立解之得:x_1=0,y_1=0;x_2=-4/13,y=-7/13。由此得所求的直线方程:7x-4y=0 ④比较③、④,发现由③到④是条回路,于是回头研究式③为所求的道理;若(x_1、y_1)、(x_2、y_2)是两曲线的交点,则应同时满足①、②两式,从而满足③式。即方程③表示的直线过两曲线的交点,又因这样的直线只有一条,故直线③为所求。     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

一道习题结论的推广

在人教版高二解析几何《基础训练》上有这样一道题 :设Ｆ1 、Ｆ2 为双曲线ｘ24 - ｙ2 =1的两个焦点 ,点Ｐ在双曲线上 ,∠Ｆ1 ＰＦ2 =90° ,求△Ｆ1 ＰＦ2 的面积 .解　由ａ =2 ,ｂ =1,ｃ= 5,∠Ｆ1 ＰＦ2 =90°,得　 ||ＰＦ1 |- |ＰＦ2 ||=4①　　 |ＰＦ1 |2 +|ＰＦ2 |2 =2 0②将①式两边同时平方得|ＰＦ1 |2 +|ＰＦ2 |2 - 2 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=16③将②式代入③式得2 0 - 2 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=16 ,即　 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=2 .所以△Ｆ1 ＰＦ2 的面积为 1　 ( =ｂ2 ) .推广　设Ｆ1 、Ｆ2 为双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两个焦点 ,点Ｐ在双…     

察柏尔定理及其在三角中的应用

察柏尔(chapple)定理叙述如下: 若△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,两圆的圆心距为d,则有d~2=R~2-2Rγ。证明:如图1, 连结OI并延长交外接圆于K、L。连CI并延长交外接圆于M,由相交弦定理得:KI·IL=CI·IM,又∵KI·IL=(R+d)·(R-d)=k~2-d~2,∴CI·IM=R~2-d~2 ①下面将全力以赴地寻找CI、IM与R、r的关系,为此作IP⊥BC交BC于P,则IP=r·而得CI=IP/(sin∠ICP)=r/(sin(C/2)) ②连BI,BM,在△BIM中如能证得IM=BM,则问题就会迎刃而解。因为在△CBM中能利用     

关于两直线垂直的证明

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1.利用垂直的定义来证例 1　已知 :如图 1,在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ⊥ＣＤ ,分别在ＡＢ ,ＣＤ上取点Ｅ ,Ｆ ,使ＡＥ =ＣＦ .过Ｅ作弦ＣＮ ,过Ｆ作弦ＢＭ ,两弦相交于点Ｈ .求证 :ＣＮ⊥ＢＭ .分析 :欲证ＣＮ⊥ＢＭ ,只需证∠ＣＨＦ =90° ,即只需证∠ＨＥＢ +…     

椭圆与一对特殊直径有关的若干性质

我们把经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.给定椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)(以下的椭圆E均指此椭圆),以A(2/2a,22b)和C(-2/2a,2/2b)为端点的两直径(其所在直线分别为l1:bx-ay=0、l2:bx+ay=0,以下的直线l1、l2均指此两直线)为一对特殊的直径,本文给出E与l1、l2有关的若干性质.性质1给定椭圆E,两条定直径AB、CD所     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

二次曲线的直径方程及其应用

从平面几何知识知道,圆中垂直于弦的直径必过此弦的中点,反之,圆中任意一条弦的中点,必在垂直于此弦的直径上,而且,与已知弦平行的一组弦的中点,都在这条直径上。于是,我们这样定义圆的直径: 定义1 圆中一组平行弦的中点所在的直线(诸平行弦中点轨迹),叫做这组平行弦所确定的直径。(括号内的叙述是狭义的) 定理1 圆x~2+y~2=R~2的直径方程可表示为 x+ky=0,其中k为诸平行弦的共同斜率。证明设诸平行弦中的任意一条弦的方程为 y=kx+b,其中b是参数。又设它与圆     

初三几何第二学期期中自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .圆和圆的位置关系有五种情况 :① ;②;③ ;④ ;⑤ .2 .设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ .①两圆外离 ｄ ;②两圆 ｄ =Ｒ +ｒ;③两圆相交 ｄ ;④两圆 ｄ =Ｒ -ｒ;⑤两圆内含 ｄ .3 .相交两圆的重要性质是 .4 .已知两圆外离 ,那么它们的公切线有条 ,两条外公切线的长 ,两条内公切线的长 .5.若两圆只有两条公切线 ,则两圆的位置关系是.6.的多边形叫正多边形 ,正多边形都是对称图形 .7.正ｎ边形的每个内角为 ,中心角为.8.任何正多边形都有一个圆和一个圆 ,这两个圆是圆 ,这个圆的…     

求代数式最大（最小）值的基本原理

在高三复习课中 ,学生对以下例 1的解法提出疑问 .　图 1　例 1图例 1　 (1997年全国高考理科第 (2 5)题 )设圆满足 :①截 ｙ轴所得弦长为 2 ,②被ｘ轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3∶1,在满足①②的所有圆中 ,求圆心到直线ｌ:ｘ- 2 ｙ =0的距离最小的圆的方程 .解　如图 1,设圆心为Ｃ(ａ ,ｂ) ,半径为Ｒ ,由条件①可得ａ2 12 =Ｒ2 ,由条件②得∠ＡＣＢ =90° ,得Ｒ2 =2ｂ2 ,两式消去Ｒ ,得2ｂ2 -ａ2 =1(1)设圆心Ｃ到直线ｌ:ｘ - 2 ｙ =0的距离为ｄ ,则ｄ=|ａ - 2ｂ|12 2 2 =55|ａ - 2ｂ| (2 )问题变为求ｄ取到最小值时ａ ,ｂ的值 .将 (…     

综合题新编选登

题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …     

圆中的“最长”与“最短”

一、过圆内一点(非圆心)的弦中,直径最长,垂直于直径的弦最短如图1,P为⊙O内一点,直径CD经过点P,弦AB是经过P的任意一条弦,则CD>AB. 连结OA、OB,在△AOB中,OA OB>AB,∵OA=OB=OC=OD,∴OC OD>AB,即CD>AB.这也就说明了过⊙O内一点P的弦中,直径最长.     

椭圆的一个有趣性质及应用

性质　椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1　性质证明用图证明　如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2　推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论　…     

关于简单多面体的一个命题

我们生活在一个立体的世界 ,任何构成这个世界的元素都是立体的 .因此 ,为了形象地认识这个世界 ,我们就不可避免地要研究这些立体的性质 .比如 :命题　如果从一个简单多面体上的任一顶点所引出的棱数相等 .设此多面体所有的面中 ,ｎ边形 (ｎ≥ 3 )个数为Ｓｎ;每个顶点引出的棱数α(α≥ 3 ) ,则有 :4α +∑ｎｋ=3 [(α -2 )ｋ -2α]·Ｓｋ=0 ( )下面我们来证明这个命题 .证明　设多面体顶点个数为ｖ ,棱数为ｅ,面数为ｆ,则由欧拉定理　ｖ -ｅ +ｆ=2①每个顶点引出α条棱 ,共引出ｖ·α条 ,但计算时每条棱均重复一次 ,故　棱数ｅ=α2 ·ｖ②…     

数学娱乐圈——三角函数中的口诀

在学生清楚知识的来龙去脉的基础上 ,教师若能及时引导学生 ,用简单明了的语言编成口诀 ,对帮助学生记忆会起到良好的效果 .图　 11)三角函数在四个象限的符号 .(只记正值所在的象限 )口诀 :一全正 ,二正弦三两切 ,四余弦2 )诱导公式 .①不变名的 :ｋπ±α(ｋ∈Ｚ) .口诀 :函数名不变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(π α) =-ｓｉｎα .②变名的 :π2 ±α ,3π2 ±α .口诀 :函数名改变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(32 π α) =-ｃｏｓα .③以上两组可合并为 :ｋ·π2 ±α (ｋ∈Ｚ) .口诀 :奇变偶不变 ,符号看象限 .(ｋ的奇偶 )3)三角函数式化…