浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

解答与三角形折心有关的一个问题

记△ABC中x边上的中点为Gx,x∈{a,b,c}(a≥b≥c),Fx为a、b、c三边中除x边外的另两边所成折线长的中点.称Fx为相对于x边的折中点,线段FxGx为x边的折中线.文[1]证明了三角形的三条折中线共点(此点称为三角形的折心)以及折心的一些性质,且文[1]末提出了如下问题　设Fx是△ABC的折中点,Ix是x边对角的平分线与x边的交点,证明或否定:FaIa、FbIb、FcIc三线共点.笔者对此问题研究的结果是:对不等边三角形而言,以上三线不共点.证明　当a=b=c时,FaIa、FbIb、FcIc显然共点.下面对a≥b≥c(等号不同时成立)进行讨论.如图1,设FaIa与FbIb相交于…     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

巧用中线求三角形面积

<正>同学们都知道,三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形.如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积.一、直接运用,紧扣性质例1如图2,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且△ABC面积为4cm2,求阴影部分的面积.     

利用中线长公式证明三角形重心的一个性质

<正>三角形的重心有许多性质,比如重心是中线的一个三等分点,重心与三角形三顶点的连线把三角形的面积三等分等等.本文将在此基础上利用三角形的中线长公式证明重心的另一个重要性质.三角形的中线长公式:如图1,AD为△ABC的中线,则AD²=1/2AB2=1/2AB²+1/2AC2+1/2AC²-1/4     

遇到“中点”首先想到的

“中点”是几何题中经常出现的条件.在分析过程中,遇到“中点”我们首先想到的是: 一、遇到直角三角形斜边的中点,首先想到直角三角形斜边上的中线定理 例1 己知:如A图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD 是BC上的高,M是BC的中点,N是AC的中点. 求证:MD=MN. 证明连结DN.∵AD是BC上的高,N是AC的中点. ∴ DN=1/2AC=NC(直角三角形斜边上的中线定理),∴∠1=∠C.     

三角形中线的一个性质的妙用

在初中阶段 ,我们学习了许多关于三角形的性质 ,其中三角形中线性质 :在三角形中 ,三条中线交于一点 (这一点通常被称为三角形的重心 ) ,且重心把每一条中线分为从顶点到重心与从重心到中线所在边中点距离之比为 2∶1的两条线段 .这是人所共知的 .图 1然而 ,三角形中线的另一个性质 :(下称“中线模型”)“设ＡＤ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线 ,任作ＥＦ使ＥＦ∥ＢＣ ,分别交ＡＢ、ＡＤ、ＡＣ(或其延长线 )于Ｅ、Ｐ、Ｆ ,如图 1,那么 ,ＡＤ穿过ＥＦ的中点Ｐ ,即ＦＰ =ＰＥ .”却很少在课堂上应用 ,也未引起同学们的重视 .这个与中线相关的平分…     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

三角形覆盖问题的推广

在www.gzjzes.com的数学论坛中,讨论着这样的一条题,笔者见后,觉得很有启发,特整理证明讨论如下.题目:平面上有2004个不共线的点,每3个点都构成面积不大于1的三角形.求证:这2004个点可以被一个面积不大于4的三角形覆盖.证明选取构成所有三角形中面积最大的一个,记为△ABC,由条件可知S△ABC<1,依次过A,B,C作BC,AC,AB的平行线,三线交于D,E,F.下证明结论成立.图1如图1,运用反证法,假设2004个点中有一点G在△DEF外,(不妨设在边EF外,在边DE,DF外的情况类同),则有S△BCG>S△ABC,这与条件S△ABC为最大的三角形矛盾,所以假设不成立…     

欧拉线的一个性质

我们知道 ,在所有非等边三角形中 ,外心、重心、垂心在同一直线——欧拉线上 .本文给出欧拉线的一个性质 .图 1首先 ,设△ ABC为任一个不等边三角形 ,在直角坐标系中 ,将它的任意一边 (比如 AB边 )放置在 x轴上 ,AB边的中垂线与 y轴重合 ,如图 1 ,又设 AB边长为2 a,则有定理　△ ABC的欧拉线平行于 AB边的充要条件是第三个顶点C落在椭圆 x2a2 y23a2 =1上 (除去椭圆长、短轴两端的四个顶点 ) .证明　设△ ABC的 BC边中点为 M,外心为 U,重心为 S.则经过 U、S两点的直线为欧拉线 .如图 1 ,容易求得 M点坐标 ,从而求得U点、S点坐…     

一道联赛试题的几何解法

<正>2016年全国初中(初三)数学联赛二试中有这样一道几何题:题目如图1,在△ABC中,AB=8,AC=10.D为△ABC内一点,满足∠ADC=90°,∠ABD=∠ACD,设E为BC的中点,求DE的长.命题组提供参考答案的思路是如图2,作∠CAF=∠BAD,得到△ABD∽△ACF,利用相似三角形的对应线段成比例关系,得出BD与CF、DA与AF之间的数量关系,进而求出DF的长.比较△ADC与△ABH中三个角,可以得到:AF⊥BD.倍长△BDC的中线DE至G,通过证明三角形的     

三角形内外心连线的一个性质

平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一…     

2010年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边Bf的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.     

证明ab=bc的基本方法

在初中几何中 ,线段的比例式或者等积式的证明是常见的一种形式 .证明这类题一般可先把等积式化成比例式 ,然后选择适当的三角形并证明它们相似 ,有些则可通过有关比例线段定理等直接或间接地证明之 .一、化等积式为比例式 ,寻找可能相似的三角形例 1　如图 1,已知 :AD ,BE是△ABC的高 ,AD ,BE交于点F ,求证 :AF·FD =BF·FE .分析 :AF·FD =BF·FE FEFD= AFBF.从比例式的线段位置找出可能相似的两个三角形△AFE和△BFD ,通过∠FDB =∠FEA =90° ,∠ 1=∠ 2 ,可得△BFD∽△AFE .例 2　如图 2 ,AD是△ABC的高 ,AE…     

三角形的五心初谈(二)

<正>3伴随三角形用塞瓦定理不能直接证明三角形的外心,原因是对一般的三角形来说,三边的中垂线并不一定过三角形的顶点,因此不一定是塞瓦线,所以不适合应用塞瓦定理.下面的转化关系是很有趣的.如图12,△ABC的中点三角形为△A_1B_1C_1,中点三角形的三条高线共点H,就是△ABC三边的中垂线共点.     

关于三角形面积周长平分弦最大（小）值的探讨

1　问题△ ABC中 ,∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a、b、c,且 a相似文献   

形如(a~2)/(b~2)=c/d平几题的一种证法

大家都知道,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由此,对于证明形如a2/b2=c/d的平几题,我们可用凑相似三角形的方法分两步来处理:1°.找两个相似三角形△ABC和△A’B’C’,使a、b是它们的对应边,则有a2/b2=S△ABC/S△A’B’C’;     

从一道高考极限问题谈起

问题1(2006福建卷16)如图1,连接△ABC各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列的三角形趋向于一个点M,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是.对这一问题,如果我们将A,