二倍角正弦、宗弦、正切公式的几何解释

注：①由计算△MCB面积得：1/2×1×1×sin（π-2α）=1/2×（cosα＋cosα）×sinα→sin2α=2sinα·cosα．     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

一道三角题的直接证明

题目:已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 　　此题一般是结合三角函数单调性用反证法加以证明,笔者给出一个比较简单的直接证明.……     

中学数学中似是而非的几个问题

例1.已知α、β都是第一象限角,并且α>β,试问:sinα>sinβ一定成立吗? 解:因为正弦函数在第一象限内是增函数,并且α>β,所以,sinα>sinβ一定成立。我们知道,正弦函数在每一个闭区间〔-π/2+2kπ,π/2+2kπ〕(k∈Z)上都是增函数,因此,也可以说正弦函数在每一个开区间(2kπ,π/2+2kπ)(k∈Z)内都是增函数;但却不可以说正弦函数在第一象限内是增函数。     

课外练习

高一年级1.设,求x=2002π/20003时的函数值.(深圳市蛇口中学(518067) 王远征)2.已知α,β∈(0,π/2),且sin(α β)=2sinα,则     

On harmonic K-quasiconformal mappings associated with asymmetric vertical strips

In this paper,we discuss the sense-preserving univalent harmonic mappings from the unit disk D onto asymmetrical vertical strips Ω_α={ω:α-π/2sinαR(ω)α/2sinα},π/2≤απSuch results as analytic representation formula,coefficient estimates,distortion theorem and area theorem are derived.     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

构造函数巧证不等式题两例

例1在△ABC中三内角分别为α,β,γ,求证：sinα sinβ sinγ≤(33~(1/2))/2．证明在△ABC中有α β γ=π,要证的不等式可化为(sinα sinβ sinγ)/3≤(3~(1/2))/2=sinπ/3,即证(sinα sinβ sinγ)/3≤sin(α β γ)/3．构造函数y= sinx(0＜x＜π)其图像如图所示．     

一道三角函数问题的多种解法

<正>近日,笔者在课堂与学生交流时发现一道三角函数问题,该题题设简单,思路开阔,引起笔者极大的兴趣.现给出笔者与学生交流的五种解法,供同学们参考.题目已知函数f(x)=2sin(2x+π/4),若f(α/2)=-6/5(0<α<π),求cos2α的值.解法1因为f(α/2)=2sin(α+π/4)=-6/5     

三角函数值的增解问题

本文就二角函数值的求解问题中的两个增解问题进行分析与讨论．例1已知sinα-sinβ=-2/3①cosα-cosβ=2/3②且α,β∈(0,π/2),试求tan(α-β)的值,错解由①~2 ②~2并整理得cos(α-β)=5/9．又∵α,β∈(0,π/2),∴-π/2＜α-β＜π/2．∴sin(α-β)=±(1-(5/9)~2)~(1/2) =±(2(14)~(1/2))/9,∴tan(α-β)=±(2(14)~(1/2))/5．分析以上解题过程似乎推理严谨,无懈可击,但只要细致观察则可发现：条件sinα- sinβ=-2/3中隐含了“α＜β”。增解忽略了α＜β     

再谈一道三角题的证明

题目 已知:α,β∈0,π/2,且sinα+β=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 此题是1983年第17届前苏数学竞赛十年级试题,比较常见的方法是应用三角函数单调性用反证法证明,文[1]想到此题一个比较简单的直接证明,文[2]又给出了一个更加简洁的直接证明,最近,笔者通过构造法得到此题的又一个直接证明.     

谈一个优美不等式的“姊妹”式

文[1]给出了如下一个优美不等式若0<α<β<2π,则sinβ/sinα<β/α相似文献   

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

第三章 两角和与差的三角函数

§1 基本公式要点:七种基本公式及公式的变形与逆用。例1 求证2sin(π/4 α)sin(π/4-α)=cos2α。分析:本题虽可将左式用和角公式或积化和差公式化简得到右式,但都比较繁,若注意     

一道竞赛题的简解

题目已知α为锐角,求证:1/sinα+3^1/3/cosα≥8.此题为2010年第五届联盟杯数学竞赛第9题,所给的参考答案技巧性较强.另文[1]构设背景使抽象的数学问题具体化,但解题过程过于曲折繁琐.本题可以借助函数的思想,化繁为简.解析令f（α）=1/sinα+3（1/3）/cosα（0<α<π/2）,     

简单明快又一解

本刊1992。2《优化解题过程的方法》给出的一些解题方法,确实多富精巧解法,给人以启迪。该文例3 已知:α、β∈(-π/2,π/2), 求证:|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。夏季刊文:如果f(x)=1g(1-x)/(1 x), 则f(a) f (b)=f((a b)/(1 ab))成立。 (*) 构造函数,由f(sinα) f(sinβ) =1g (1-sinα)/(1 sinα) 1g(1-sinβ)/(1 sinβ)=… =f(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)确定|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。巧则巧矣,但“联想到”(高中《代数》第一册P_(70))的“习题”*,这条“蹊径”未免有点偏狭。笔者下面提供一种解法,方法比原解法更     

一道联考题的多角度思考

题目 （2006年高三第6次全国大联考（湖北专用）第19题）设0〈α〈π，0〈β〈π，α=（cosa，sina），b=（1-cosβ，sinβ），且a&;#183;b=3/2-cosβ。     

三角函数与反三角函数

1 已知12sinα=5cosα,求α角的六个三角函数值。 2 α是锐角,在单位圆中,用三角函数线证明:(1)sinα cosα>1;(2)tgα ctgα≥2;(3)sinα<α0的解集。 5 求使等式(ctg~(2α)-cos~(2α)~(1/2)=sina-cscα成立的α的范围。 6 已知函数f(x)=3sin(kπ/7 π/4),其中k≠0,如果要使x经历任意两个整数之间时,函数都至少有一个最大值和最小值,求最小的正整数k之值。     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献