椭圆两条平行弦的性质的推论及应用

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）文［１］介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质．图１性质１如图１，经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＱ，则｜ＯＰ｜２＝...     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

椭圆三条平行弦的一组有趣性质

椭圆焦点弦、中心弦、顶点弦是很重要的几何量．为此,本文介绍在它们平行时的一组有趣性质及其应用,供读者参考．定理如图,ＡＢ是经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦,ＭＮ是焦点弦,ＯＰ是半中心弦,若ＡＢ∥ＯＰ∥ＭＮ,且它们的倾斜...     

椭圆中与定长弦有关的三角形面积最大值探求

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论．定理　设ＡＢ为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上一条长为ｌ的弦,椭圆中心为Ｏ．则当２ｂ≤ｌ≤２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为１２ａｂ;当０＜ｌ＜２ｂ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ａｌ４ｂ４ｂ２－ｌ２;当２ａ＜ｌ＜２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ｂｌ４ａ４ａ２－ｌ２．为了证明定理,先给出两个引理．图１引理１　椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的弦ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２的弦Ａ′Ｂ′对应…     

抛物线的两条性质及其应用

抛物线的两条性质及其应用邓一先（江苏常熟市中学２１５５００）性质一如右图所示．ＡＢ是过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）轴上一点Ｍ（ａ，０）（ａ＞０）的弦，Ｎ为（－ａ，０）则ＡＮＭ＝／ＢＮＭ．证明设圳ｘｌ，ｙｉ），风ｘＺ，叫，显然有ｙｉ·。。。，。ｘ，，－...     

有心圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多性质，已为人们所熟悉，对其他性质的讨论仍然吸引着广大的数学爱好者．笔者在教学中发现圆锥曲线的又一性质，现把它介绍如下．定理１设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），两焦点为Ｆ１（－Ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０）．点Ｑ为椭圆上除顶点外的任意...     

椭圆长轴并非最长

椭圆长轴并非最长２７１４００山东省宁阳一中宁伟过点Ｐ（０，一２／亏）作椭圆会十头一１的弦，求此弦的最大值．解设椭圆上任一点Ｑ（Ｘ，ｙ）与Ｐ的距离为厂，求【ＰＱ的最大值，也即求厂的最大值．这表明对椭圆二十头一ｌ来说．它的弦＃非任轴具片．“诡辩”揭底：上...     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

怎样应用切点弦方程解题

我们知道,如果Ｐ（ｘ０,ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的任一点,则过Ｐ点的该椭圆的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．如果Ｐ点不在椭圆上,那么方程ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１表示什么呢？这正是本文要介绍的切点弦方程．１　切点弦方程的概念在圆锥曲线外一点引圆锥曲线的两条切线,过这两切点的弦称为圆锥曲线的切点弦．在解析几何中,切点弦方程的巧妙推导给解题引进了一种新的方法．图１２　切点弦方程的推导设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１,过椭圆外一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）作这椭圆的切线,切点为Ａ、Ｂ,求过Ａ…     

关于抛物线平行弦的一个有用性质

本文给出关于抛物线平行弦的一个有用性质,并用其解决几个代数问题,以飨读者． 性质 抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴．     

椭圆中动弦过定点或有定向的问题

椭圆中动弦过定点或有定向的问题张雪霖（上海宝山区顾村中学２０１９０７）在椭圆中满足某些条件的动弦必过定点或有定向，它们反映了椭圆深刻的几何性质，本文探讨有关这方面的问题，并给出若干结论．定理１椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２的动弦ＢＣ对椭圆上的一点Ａ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０７１已知点Ｑ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上任意一点，Ｆ１，Ｆ２是椭圆的两个焦点，ＰＱ是△Ｆ１ＱＦ２的外角平分线，Ｆ１Ｐ⊥ＰＱ，求点Ｐ的轨迹．解如图所示，延长Ｆ２Ｑ与Ｆ１Ｐ相...     

第八届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

第八届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案一、选择题（满分４２分，每小题答对６分，不答给１分，容错、缺考均得０分）１．已知Ｐ一条，Ｑ一输，那么Ｐ、Ｑ的大小关系是答［Ｂｊ（Ａ）Ｐ＞Ｑ（Ｂ）Ｐ—Ｑ（Ｃ）ＰＭＱ（Ｄ）无法确定２．甲用１０００元人民币购买...     

圆锥曲线的直角弦性质再探

圆锥曲线的直角弦性质再探沈帼英（浙江慈溪市浒山中学）文［１］给出了圆锥曲线直角弦的定义：自圆锥曲线Ｃ上一点Ｐ０，引两条互相垂直的弦Ｐ０Ｐ１、Ｐ０Ｐ２，则称弦Ｐ１Ｐ２为点Ｐ０的直角弦，简称直角弦．并给出三个命题：命题１设Ｐ０（ｘ０，ｙ０）为椭圆ｂ２ｘ２...     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

椭圆与离心率相关的几类最值

离心率是椭圆的一个重要几何量．它不仅揭示了椭圆的圆扁程序，而且反映了椭圆的许多性质．下面讨论与离心率相关的椭圆的几类最值．一、过顶点的弦长的最值命题１过椭圆短轴顶点引椭圆的弦，当离心率ｅ∈（０，２２］时，弦长的最大值是２ｂ，当ｅ∈［２２，１）时，弦长...     

椭圆、双曲线的切线与圆的关系

图１是高中《平面解析几何》参数方程一章中一例题的图形，我们发现：如果过Ａ，Ｂ两点分别作大圆和小圆的切线，交ｘ轴于Ｐ，Ｐ１，交ｙ轴于Ｑ，Ｑ１，则Ｐ，Ｍ，Ｑ１三点共线，且为椭圆的切线．于是得到下面两个命题．图２命题１过圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２上一点Ａ（ｘ１，ｙ...     

双曲线的新性质

双曲线的新性质孔繁秋（福建厦门市禾山中学）１９８５年高考有这样一道试题：已知两点Ｐ（－２，２）、Ｑ（０，２）及直线ｌ：ｙ＝Ｘ．设长为的线段ＡＢ在ｌ上移动（如图），求直线ＰＡ、ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．所隶轨迹是双曲线１．Ｐ、Ｑ...     

对一道课本习题的探究

对一道课本习题的探究赵振洪（山东省高青县第一中学２５６３００）《平面解析几何》（必修）总复习参考题１０：“已知椭圆方程是，求椭圆内接正方形的面积．”如果严谨地解这道题，必须用：定理１椭圆（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴Ｘ＝０和ｙ＝０．定理２椭圆（ａ＞...