对圆锥曲线焦点三角形角平分线的一个性质的再推广

圆锥曲线焦点三角形角平分线的性质在各种试题中常常出现,引起大家的关注.本文结合近期几位同仁的工作,对其中内角平分线与切线的关系做了整理,并推广到所有圆锥曲线中.一、推广后的三个定理及其证明问题(2011年北大保送生考试题)点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F1、F2为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F1PF2.证明见文[1].此结论可以表述为:定理1点P为双曲线上任一点,F1、F2为双曲线的两焦点,则双曲线在P点处的切线与∠F1PF2的平分线重合.     

椭圆和双曲线切线的一个性质

笔者发现椭圆和双曲线切线的一个新性质 ,并由此得到椭圆和双曲线切线的一种新颖作法 .定理 1　设 P为椭圆 x2a2 + y2b2 =1上任一点 ,过原点 O作焦半径 PF1的平行线交椭圆在 P点处的切线于 T,则 | OT| =a,且 TF2 ⊥PT.图 1　　　　　图 2证明　如图 1所示 ,延长 F1P,F2 T交于点 E,由 PF1∥ OT知 T为 EF2 的中点 ,故| ET| =| TF2 | ,由椭圆切线的几何性质 [1] 知∠ 1 =∠ 2 ,于是有∠ 3=∠ 2 ,在△ PEF2 中 ,PT为角平分线 .∴　 | PF2 || PE| =| F2 T|| ET| =1故 | PF2 | =| PE| .由此易知△ PF2 T≌△ PET,故 TF2 ⊥P…     

离心率的几个三角形式及其应用

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线问题中以各种参变量的形式出现．本文仅介绍参变量是三角函数的几个表达形式，并举例它们在解题中的作用，供读者参考性质1设P是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（2＞b＞0）上的一点，F1、F2是左、右焦点，若∠PF1F2＝a，∠PF2F1＝β，则证明在△PF1F2中，由正弦定理和等比定理得推论设P是双曲线b2x2－a2y2＝a2b2（2＞0，b＞0）上一点，F1、F2是左、右焦点，若∠PF1F2＝a，∠PF2F1＝β，则（1）当点P在双曲线的右支上时，（2）当点P在双曲线的左支上时，证明方法与椭圆…     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

2014年高考湖北理科第9题的解法及结论推广

2014年高考湖北理科第9题：已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π/3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）。     

例谈离心率范围

离心率作为描述圆锥曲线的重要参量,在解析几何中尤显重要,在历年的高考中几乎每年都出现.求离心率的范围必须结合圆锥曲线的性质、不等式、函数等知识,要求离心率范围就必须建立不等关系,通过什么途径呢?本文就几种常规求法通过例题展现给读者. 例1 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.     

一道椭圆离心率问题的探讨与研究

问题 设F１、F２是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝120°,则椭圆离心率e的范围是___．     

例析圆锥曲线离心率范围问题的求解

离心率是圆锥曲线的一个重要性质 .椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据 ,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据 ,而抛物线离心率为特殊值 .圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同 ,而确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的类型 .高考试题对离心率的求值多次相继出现 ,受其启发 ,本文现对圆锥曲线离心率变化范围进行探究 ,对常见相关习题进行归纳 .1　由曲线图形的性质求离心率的范围从曲线的方程和性质 ,结合图形特定形状 ,求解离心率的范围 .例 1　过双曲线x2a2 - y2b2 =1　 (a >0 ,b>0 )的右焦点 F作双曲…     

选择题和填空题中圆锥曲线的离心率问题

<正>离心率是描述圆锥曲线形状特征重要的量,椭圆的离心率描述椭圆"扁平"程度,双曲线的离心率描述双曲线的开口大小,在高考中高频考查求椭圆、双曲线的离心率问题.圆锥曲线离心率问题涉及定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及向量、三角函     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

数学问题解答

2013年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2111 设椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,焦点为F1和F2离心率e=√5-1/2,P为椭圆上异于其顶点的任意一点,∠F1PF2的平分线与直线B1B2相交于点M,经过点M且平行于F1F2的直线与PF1,PF2的延长线分别相交于点E1,E2,求证:E1E2=A1A2.     

如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．     

椭圆切线的几个性质及作法

引理　设F为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为L ,作一直线交圆锥曲线于A ,P两点 ,交L于M ,则FM平分△AFP的∠AFP的外角 .(证明见文 [1 ])(图 1 )定理 1　设F为椭圆焦点 ,其相应准线为L ,椭圆上一点A处的切线交L于N ,则∠AFN =90°.(图 2 )证明　如图 1 ,设AF延长线交椭圆于A′ ,当P与A重合时 ,APM成为切线AN(图 2 ) ,∠PFA′成为平角AFA′ ,由引理知FM平分∠PFA′(即∠AFA′) ,所以∠AFN =90° .由证明过程知 ,NA′也是椭圆的切线 ,从而得推论　椭圆焦点弦两端点处的两条切线的交点在椭圆的准线上 .(图 2 )定理 2　设F1 ,F…     

巧求轨迹一例

问题：F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从某一焦点引FIQFZ的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线解1如图1建立直角坐标系，则双曲线方程为＜一头一1（。＞0，b＞0），过F；作／F；PF’，的平分线的垂线，垂足为P，延长QFZ交直线FIP于M设P（x，y），则M（ZC＋C，Zy），由双曲线定义知IF。MI—Za，即整理得x‘＋y‘＝a‘P点轨迹为以O点为圆。心，a为半径的一个国解2如图2，取QFI的龙点T，连结PT，由于W是直角三角形斜边上的中线，以及Po平分LF；oF。，所以P…     

巧用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程

在解析几何教学中 ,求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一 ,而椭圆曲线的两种定义又是研究圆锥曲线各种性质的基本出发点 ,如果在求动点的轨迹方程中充分利用圆锥曲线定义 ,常常会达到言简意明、异曲同工的效果 .下面就其运用作一些举例介绍 ,以飨读者 .1　运用第一定义求动点轨迹方程例 1　如图 1,已知椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,点P为其上一点 ,F1,F2 为椭圆的焦点 ,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2 关于l的对称点为Q ,F2 Q交l于R ,当P在椭圆上运动时 ,求动点R的轨迹方程 .解　∵l为∠F1PF2 的外角平分线 ,且F2 ,Q两点关于l…     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题：题目 点P是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，b〉0）和圆C2：x^2＋y^2==a^2＋b^2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为____.     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题:题目点P是双曲线C1:ax22-yb22=1(a>0,b>0)和圆C2:x2 y2=a2 b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为.本题主要考查双曲线和圆的有关基础知识,由题中条件可知,圆是以双曲线的焦距为直径的,则∠     

例说求圆锥曲线离心率范围的思考方法

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线问题中以参变量的形式出现，确定它的取值范围，就是根据问题给出的条件，建立起几个有关字母的不等式，通过解不等式达到解决问题的目的，下面介绍确定曲线离心率的几种思考方法．1利用圆锥曲线的定义例1设P是椭圆头十头一1（a＞b＞0）上一点，且LFIPFZ—90“，其中FI，FZ是椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的范围解由椭圆的定义得IPF；l＋IPF。l—Za，MF．PF、＝QO”IPFI，IPFZI是方程uC勺一0的两个根，因此有故所求离心率范围是。gIJ2已知双曲线焦点为…     

求圆锥曲线离心率的常用方法探究

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,是描述曲线形状的重要参数.椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要参数,双曲线的离心率是描述双曲线"张口"大小的一个重要参数,而抛物线的离心率是特征值1,圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.离心率问题已成为各类测试的考查热点,备受高考命题者的青睐,考查的题型主要以离心率的大小和范围问题为主.求离心率的关键是找出一个与参数a、b、c、e有关的等式或不等式.如何根据题中的条件,选择恰当的方法呢?现举几例.     

一道联赛试题的简证与联想

2011年全国初中数学联赛第二试(C卷)第二题是:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N,如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.