Hall effects on the oscillatory MHD flow through porous medium in a rotating fluid

Taking Hall currents into account the unsteady magnetohydrodynamical flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating frame of reference is theoretically investigated when a strong magnetic field is imposed in a plane which makes an angle a with the normal to the plate. The influence of Hall currents on the velocity and temperature distribution are shown graphically for various values of .

---

Hall-Effekte in oszillierender magnetohydrodynamischer Strömung durch ein poröses Medium in einer rotierenden Flüssigkeit

Zusammenfassung Bei der Betrachtung von Hallströmen wird die unstetige magnetohydrodynamische Strömung durch ein poröses Medium, begrenzt durch eine unendlich lange senkrechte Fläche in einem rotierenden Rahmen, für den Fall theoretisch untersucht, daß ein starkes magnetisches Feld in einer Ebene, die den Winkel a mit der normalen auf die Fläche einschließt, angelegt wird. Der Einfluß der Hallströme auf die Geschwindigkeit und die Temperaturverteilung wird für verschiedene Werte von graphisch dargestellt. Wärme- und Stofflibertragung 23 (1988)

     

Effects of Hall current and wall temperature oscillation on convective flow in a rotating fluid through porous medium

The combined effects of Hall current and plate temperature oscillation on the hydromagnetic free convective flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating fluid are discussed. The suction velocity perpendicular to the limiting surface is constant and the temperature of the limiting surface fluctuates with time about a non-zero constant mean. The expressions for the velocity and temperature fields are derived, and the effects of various parameters on the velocity and shear-stress are determined.

---

Einflüsse von Hallstrom und Wandtemperaturschwingungen auf die Konvektionsströmung in einem rotierenden Fluid durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Hier werden alle Einflüsse von Hallstrom und Plattentemperaturschwingungen auf eine hydromagnetische freie Konvektionsströmung durch ein poröses Medium analysiert. Das Medium wird von einer unendlichen, vertikalen Begrenzungsoberfläche in einem rotierenden Fluid eingeschränkt. Die Ansauggeschwindigkeit senkrecht zur Begrenzungsoberfläche bleibt konstant. Die Temperatur der Begrenzungsoberfläche schwankt mit der Zeit um einen konstanten, von Null verschiedenen Wert. Aussagen über die Geschwindigkeit und die Temperaturfelder werden hieraus abgeleitet und die Geschwindigkeit und Scherbeanspruchung bestimmt.

     

Influence of step discontinuity in porous plate temperature in free convection with transpiration

A simple finite difference scheme is used to solve the second order, simultaneous, non-linear partial differential equations with a nonhomogeneous boundary condition, to study the influence of a step discontinuity in the surface temperature on heat transfer from a vertical porous plate in free convection with uniform transpiration. The numerical procedure is described in detail and results are presented forPr =0.72 in the blowing parameter range, - 1.5 < ©₁ < 1.5, for non-dimensional temperature range of 0.25 to 2.0.When the downstream section is cooler than the upstream section, an equilibrium point is defined, which moves towards the discontinuity on suction and away from it on blowing. The readjustment of the boundary layer is slow, causing the recovery length to be considerable.

---

Einfluß einer stufenweisen Temperaturänderung in einer porösen Platte mit freier Konvektion und Verdunstung

Zusammenfassung Es wurde ein einfaches Finite-Differenzen-Verfahren verwendet, um ein System gekoppelter, nicht-linearer, partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht-homogenen Randbedingungen zu lösen und den Einfluß einer stufenförmigen Diskontinuität in der Oberflächentemperatur einer vertikalen, porösen Platte auf den Wärmeübergang bei freier Konvektion mit gleichmäßiger Verdunstung zu studieren. Das numerische Verfahren wird im Detail beschrieben und Ergebnisse werden fürPr=0,72, sowie für einen Anblasparameter zwischen –1,5 und +1,5 und für eine dimensionslose Temperatur von 0,25 bis 2, 0 mitgeteilt.Wenn der stromabwärts gelegene Abschnitt kälter ist als der Bereich stromaufwärts, kann ein Gleichgewichtspunkt definiert werden, der sich bei Saugzug in Richtung der Diskontinuität bewegt und von ihr weg beim Anblasen. Das Wiederausbilden der Grenzschicht erfolgt langsam und verursacht eine erhebliche Einstell-Länge.

     

Composite heat transfer in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate

Heat transfer by simultaneous radiation and convection in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate is determined by solving momentum and energy equations. The problem is investigated for two different cases, viz., presence of porous medium and absence of porous medium. In the presence of porous medium both variable and constant porosity situations are studied. Similarity solutions are obtained for an isothermal and impermeable wall. The Kozeny-Blake expression connecting porosity and permeability is incorporated in the analysis for unified treatment. A parameter survey is made to study the effect of optical thickness, porous parameter, albedo scattering and ratio of conduction to radiation using Runge-Kutta-Gill method. The heating and cooling cases are considered for variable porosity situation. The results show that both convective and radiative components decrease with increase in porous parameter, and the inhomogeneity of the medium enhances heat transfer rate. The increase in optical thickness leads to decrease in both convective and radiative fluxes. For a particular value of wall emissivity ( _w =0.5932116) the radiative flux is reduced to zero.

---

Kombinierter Wärmeübergang in einem durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzten Medium variabler Porosität

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei gleichzeitigem Einfluß von Strahlung und Konvektion in einem Medium variabler Porosität, das durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzt ist, wird durch Lösung der Impuls- und Energiegleichung bestimmt (den Sonderfall, daß nur Fluid, aber kein poröses Medium vorliegt, eingeschlossen). Im allgemeinen Fall — mit porösem Medium — wird sowohl variable, wie auch konstante Porosität unterstellt. Für die isotherme und stoffundurchlässige Wand existieren Ähnlichkeitslösungen. Um eine einheitliche mathematische Behandlung zu ermöglichen, wird die (Porosität und Permeabilität verknüpfende) Beziehung nach Kozeny-Blake eingeführt. Eine Parameterstudie, durchgeführt unter Verwendung der Runge-Kutta-Gill-Methode, zeigt den Einfluß der optischen Dicke, des Porositätsparameters, der Albedo-Streuung und des Verhältnises von Leitung zu Strahlung. Die Fälle Heizung und Kühlung wurden bei variabler Porosität untersucht. Aus den Ergebnissen geht hervor, daß die Konvektions- und Strahlungsanteile mit zunehmenden Porositätsparameter abnehmen und daß der Wärmeübergang durch Inhomogenität des Mediums verbessert wird. Zunehmende optische Dicke verusacht eine Abnahme sowohl des Konvektions- wie des Strahlungsflusses. Beim Wert _w =0.5932116 des Wandemissionsverhältnisses fällt der Strahlungsfluß auf Null ab.

     

A film model for free convection over a vertical porous plate with blowing or suction

A film model is described for free convective heat transfer and friction in the presence of wall suction or injection. The analysis yields a thermal correction factor, which appears to be the classical (Ackermann) expression, and a novel friction correction factor, derived here for the first time. Both correction factors are applied to free convection along a vertical flat porous plate for values of the Prandtl number of 0.73, 1 and 7. Subsequently, the film theory predictions are compared with the numerical and asymptotic results of a boundary layer analysis, performed by previous investigators. On the basis of this comparison, a modified correction factor is proposed which correlates excellently with the results of the boundary layer analyses.

---

Ein Filmmodell für freie Konvektion an einer senkrechten porösen Platte mit Ausblasung und Absaugung

Zusammenfassung Es wird ein Filmmodell beschrieben, das für freie Konvektion den Wärmeübergang und den Reibungsbeiwert bei Wandaus- oder -einblasung zu bestimmen gestattet. Die Untersuchung liefert einen thermischen Korrekturfaktor, der mit der klassischen Ackermann-Korrektur übereinstimmt und einen neuen, hier erstmalig abgeleiteten Korrekturfaktor für den Reibungsbeiwert. Beide Korrekturfaktoren werden zur Ermittlung der freien Konvektionsströmung entlang einer senkrechten, ebenen, porösen Platte herangezogen (für Prandtl-Zahlen: 0,73-1-7). Anschließend erfolgt ein Vergleich der Voraussagen nach der Filmtheorie mit den numerisch aus einer asymptotischen Grenzschichtanalyse erhaltenen Ergebnissen früherer Autoren. Aus diesem Vergleich resultiert ein modifizierter Korrekturfaktor für den Reibungsbeiwert, der eine ausgezeichnete Korrelation mit den Ergebnissen nach der Grenzschichttheorie liefert.

     

Magnetic effects on the flow with a great magnetic reynolds number by the presence free convection and mass transfer

An analysis of the effects of a magnetic field on the flow past an infinite plate by the presence free-convection and mass transfer is considered when the magnetic Reynolds number of the flow is not small. The influence of magnetic parameterM on the velocity and the skin-friction is discussed with the help of graphs, when the plate is being cooled by the free convection currents.

---

Magnetische Einflüsse auf eine Strömung mit großen magnetischen Reynolds-Zahlen unter Anwesenheit freier Konvektion und Stoffübertragung

Zusammenfassung Es werden die Einflüsse eines magnetischen Feldes auf die Strömung an einer unendlichen Platte mit freier Konvektion und Stofftransport analysiert, wobei die magnetische Reynolds-Zahl der Strömung nicht klein ist. Diskutiert wird der Einfluß des magnetischen ParametersM auf die Geschwindigkeit und die Oberflächenreibung mit Hilfe graphischer Methoden, wobei die Platte durch die freie Konvektion gekühlt wird.

     

Beiträge zur Berechnung von Kaplanturbinen

Zusammenfassung Es wird angegeben, wie eine aus Leitrad, Übergangsraum, Laufrad und Saugrohr bestehende Kaplanturbine mittels 2-dimensionaler Methoden ausgelegt werden kann, wobei die Verträglichkeit der Strömungsfelder von zwei aufeinanderfolgenden Bauteilen und die kavitationssicherste Druckverteilung auf der Saugseite des Laufradflügels besonders berücksichtigt wird.Zur Berechnung des Verlaufes vom Gesamtstrom Q über der Drehzahl n wird auf der Grundlage 2-dimensionalen Potentialströmung durch ein Profilgitter für die Teilturbine eine tabellierte, geschlossene Näherungslösung der c _m(u)-Linie angegeben.Weiter werden geschlossene Näherungslösungen mitgeteilt für die Form eines Flügelskeletts im Gitterverband von dünnen Profilen bei konstantem saugseitigen Druck, für die Geschwindigkeitsverteilung hinter dem Leitrad und hinter dem Laufrad bei wirbelbehafteter Strömung, für das 3-dimensionale Geschwindigkeitsfeld der Restflügel bei räumlicher Flügelanordnung und für den Stromlinienverlauf sowie den Verlust infolge Drehung des Laufrades.In Anlehnung an die angeführte Berechnungsmethode wird eine Modellturbine von 350 mm Laufraddurchmesser und etwa 13 PS mittlerer Leistung gebaut und auf dem Prüfstand des Hydraulischen Instituts der TH München durchgemessen. Das Wirkungsgradoptimum des Rades von _h0,87 weicht geringfügig von den Entwurfsdaten ab. Der gemessene Verlauf des Gesamtstromes Q über der Drehzahl n weicht etwa 5% von der für die mittlere Teilturbine berechneten Kennlinie ab.     

Elementare Theorie der Schwingungsfestigkeit

Zusammenfassung Für den Schwingungsvorgang, den eine periodische, eingeprägte Kraft in einem zähen Werkstoff hervorruft, wird eine Bewegungsgleichung aufgestellt, die eine durch Wegfall des Trägheitsgliedes verkürzte Form der für den einfachen Schwinger geltenden Gleichung ist. Diese Gleichung besitzt, abgesehen von einem mit t abklingenden Teil, ein periodisches Integral, das als eine gegen die eingeprägte Kraft in der Phase verzögerte harmonische Schwingung aufzufassen ist. Durch diese Phasenverschiebung, die gerade von der Dämpfung des Werkstoffes herrührt, entsteht ein energieverzehrender Schwingungsvorgang. Die zu Aufrechterhaltung dieses Vorganges erforderliche Arbeit wird zur Ableitung der Wöhlerkurve verwendet, und stellt in bemerkenswerter Weise deren wesentlichen Verlauf dar. Die zu dem Schwingungsvorgang gehörige Hysteresiskurve ist eine Ellipse, deren Konstruktion angegeben wird. Die Untersuchung ermöglicht Erweiterungen verschiedener Art, u. a. auf mehrachsige Spannungs- und Schwingungszustände und auf andere Formen des Ansatzes für die innere Reibung des Werkstoffes.     

Stability of miscible fluid displacement in a porous medium

Summary The stability of miscible fluid displacement through porous media has been investigated when concentration induced density and viscosity gradients are present. The dependence of Rayleigh's number on the horizontal planform of cellular motion is established and it is shown that the Rayleigh and wave numbers interact in a nonlinear fashion and hence have to be treated as two independent parameters in the analysis of stability process.Übersicht Untersucht wird die Stabilität der Bewegung mischbarer Flüssigkeiten durch ein poröses Medium bei konzentrationsbedingten Dichte- und Viskositätsgradienten. Der Zusammenhang zwischen der Rayleigh-Zahl und der horizontalen Planheit der Zellbewegung wird aufgezeigt und nachgewiesen, daß die Rayleigh-und Wellenzahlen sich nichtlinear beeinflussen und folglich als zwei unabhängige Parameter der Stabilitäts-analyse zu betrachten sind.

---

Stabilität der verschiebung mischbarer flüssigkeiten in einem porösen medium

     

Zur Verformung von Stoffen mit veränderlichen Stoff-Parametern

Zusammenfassung Es ist aus vielen Beobachtungen bekannt, daß technisch wichtige Materialien ein Verhalten zeigen, welches analytisch durch Lösung der Stoffgleichungen nicht beschrieben werden kann, wenn das Stoffgesetz unter Verwendung von Parametern konstanten Betrages gebildet wird. Die einfachste Erscheinung dieser Art kann durch das im verformungsfreien Zustand eintretende Stocken eines viskoplastischen Stoffes veranschaulicht werden. Die Thixotropie eines Stoffes wurde ursprünglich als jene Eigenschaft definiert, der zufolge in einem Stoff nach vorausgegangener Verformung allgemeiner Art eine Verminderung des Verhältnisses von Scherspannung zu Schergeschwindigkeit eintritt. In Erweiterung dieses ursprünglichen Begriffes werden gegenwärtig vielfach Werkstoffe als thixotrop angesprochen, wenn die analytische Beschreibung ihres Verformungszustandes ganz allgemein die Verwendung veränderlicher Stoffparameter verlangt.Entsprechend der usprünglichen Bedeutung der Thixotropie werden die Verformungsvorgänge beschrieben, die der Wirkung einer vorausgegangenen Verformung auf die Grenzscherspannung anBinghamschen Materialien Rechnung tragen. Bei Berücksichtigung der Abhängigkeit dieser kritischen Scherspannung von den vorausgegangenem Ruhe oder Verformungszustand können die notwendigen Stoffgleichungen aufgestellt und physikalisch begründet werden. Ein Vergleich mit bekanntenMeßergebnissen erlaubt, die für die analytische Behandlung notwendigen Stoffkennzahlen zu bestimmen.Neben thixotropem Verhalten im ursprünglichen Sinn zeigen viele Stoffe eine Abhängigkeit ihrer Eigenschaften von Druck und Temperatur. Diese Einflüsse können in das Stoffgesetz dadurch aufgenommen werden, daß man den Stoffparameter, der die Zähigkeit beschreibt, als Funktion der Temperatur und des mittleren Normaldrucks ansetzt und zur Beschreibung des Vorgangs eine Aussage über die Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie hinzuzieht. Mit den so gewonnenen Gleichungen wird ein einfaches Beispiel, nämlich das Fließen einer Schicht konstanter Dicke auf einer geneigten Ebene unter der Wirkung der Schwerkraft, behandelt. Für die sich hierbei ergebende nichtlineare Differentialgleichung für die Temperaturverteilung werden durch Näherungsverfahren gewonnene Lösungskurven angegeben, aus denen sich der Bewegungszustand ermitteln läßt.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 11.–13. Mai 1964 in Berlin-Dahlem.     

Der Wärmeaustausch zwischen Ölschicht und Metallflächen in einem Gleitlager unter Berücksichtigung der Veränderlichkeit der Ölviskosität

Zusammenfassung Der Einfluß des Wärmeaustausches zwischen Öl und Lagerflächen auf die Temperatur- und Druckverteilung in der Ölschicht wird untersucht. Ein Minimalsatz der Lagerreibung wird aufgestellt. Mit ihm, der Energiegleichung und dem Temperatur-Druck-Viskositätsgesetz wird ein Gleichungssystem für die Gleitlagerberechnung formuliert, wie es bis jetzt im Schrifttum noch nicht bekannt ist. Dieses Gleichungssystem mit den gegebenen Randbedingungen charakterisiert den mathematischen Ansatz des Problems eindeutig. Ein Lösungsverfahren zur Lösung dieses nichtlinearen und inhomogenen Gleichungssystems zur Bestimmung des Druckes, der Temperatur und der Viskosität an jeder Stelle des Schmierfilms wird angegeben. Es zeigt sich, daß die Tragfähigkeit einerseits durch nahezu konstanten Verlauf der Temperatur in der Schale, andererseits durch Erhöhung der Wärmeübergangszahlen erheblich gesteigert werden kann.Ein Vergleich mit den Temperaturmessungen von Radermacher zeigt den Unterschied zwischen der örtlichen Schalentemperatur und der örtlichen Schmierschichttemperatur.Die Rechnungen für den adiabatischen Fall lassen erkennen, daß die Ähnlichkeitsgesetze im Lager nicht mehr gelten, wenn die Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und Druck berücksichtigt wird.Auszug aus der Dissertation des Verfassers: Das konstant belastete zylindrische Gleitlager unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und Druck an der T. H. Karlsruhe 1962: Referent: Prof. Dr.-Ing. K. Kollmann; Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. K. Nesselmann und Prof. Dr.-Ing. J. Zierep. Insbesondere Herrn Prof. Kollmann danke ich herzlich für die Anregung und großzügige Förderung der Arbeit.     

An integral method for free convection from a vertical heated surface in a thermally stratified porous medium

The Kárman-Pohlhausen integral procedure was exploited to solve the problem of free convection from a vertical heated surface imbedded in a thermally stratified porous medium. Upon considering the Darcy law, the energy integral relation, and the auxiliary relation associated with the curvature of the temperature profile at the wall, a closed-form expression for the Nusselt number was reduced for the case where the distributions of the wall temperature and ambient temperature vary according to power-functions of distance. Results on an isothermal plate are found to be in close agreement with those from the exact solution. Effects of the thermal stratification on local heat transfer rates are also discussed.

---

Freie Konvektion von einer beheizten, vertikalen Fläche in der thermischen Schichtung eines porösen Mediums

Zusammenfassung Die Kárman-Pohlhausen-Integration wurde angewandt, um das Problem der freien Konvektion von einer vertikalen Fläche, die in ein thermisch geschichtetes poröses Medium eingebettet ist, zu lösen. Unter Hinzuziehung des Darcyschen Gesetzes der integralen Energiebeziehung und einer Hilfsbeziehung, die mit der Krümmung des Temperaturprofiles an der Wand zusammenhing, wurde eine geschlossene Form für die Nusselt-Zahl gefunden, jeweils bezogen auf den Fall, wenn die Verteilung der Wandtemperatur und der Umgebungstemperatur entsprechend eines Exponentialansatzes mit dem Abstand abnimmt. Ergebnisse, die für eine isotherme Platte mit dieser Methode berechnet wurden, sind in guter Übereinstimmung mit denen der exakten Lösung. Es werden auch Einflüsse der thermischen Schichtung auf den örtlichen Wärmeübergang diskutiert.

---

Nomenclature A, B, C, D shape factors - f profile function - g acceleration due to gravity - K permeability - m parameter associated with thermal stratification - n power-law exponent of the wall temperature - Nux local Nusselt number - Pr Prandtl number - Rax local Rayleigh number - T temperature - u, v velocity components inx andy directions - x, y boundary layer coordinates Greek symbols shape parameter - \ coefficient of thermal expansion - boundary layer thickness - similarity variable     

Conduction and convection heat transfer in composite solar collector systems with porous absorber

Steady natural convection and conduction heat transfer has been studied in composite solar collector systems. The system consists of a glazing, a porous layer and a massive wall installed in a room. The heat transfer in this system is studied by assuming the glazing and the vertical bounding wall isothermal at different temperatures, two horizontal bounding walls adiabatic and porous layer without vents. The aspect ratioA was from 0.1 to 1.0 but the detailed study was carried out withA=1. The thickness of the porous wallF _p varied from 1/3 to 1, while the solid wall thickness was kept constant. The conductivity ratio of porous layer was from 10^–2 to 10²,Ra from 10³ to 10⁷. The results are presented in terms of thermal parameters as function ofRa and non-dimensional geometrical parameters. The isotherms and stream lines within the system are produced.

---

Wärmetransport infolge Leitung und Konvektion durch ein zusammengesetztes Solarkollektor-System mit porösem Absorber

Zusammenfassung Die Untersuchung bezieht sich auf den stationären Wärmetransport infolge natürlicher Konvektion und Leitung in zusammengesetzten Solarkollektor-Systemen. Ein solches System besteht aus einer Verglasung, einer porösen Schicht und der massiven Außenwand eines Raumes. Der Wärmetransport in diesem System wird unter der Annahme ermittelt, daß sich die Verglasung und die Hinterwand auf verschiedenen konstant Temperaturen befinden, Boden und Decke des Raumes adiabat sind und daß die poröse Schicht luftundurchlässig ist. Das VerhältnisA (Höhe zu Tiefe des Raumes) variierte von 0,1 bis 1,0, wobei die eingehenderen Untersuchungen fürA=1,0 erfolgten. Die bezogene DichteF _p der porösen Schicht bewegte sich von 1/3 bis 1, die Dicke der Außenwand blieb konstant. Das Wärmeleitfähigkeitsverhältnis bezüglich der porösen Schicht lag im Bereich 10^–2 bis 10² und die Rayleigh-ZahlRa reichte von 10³ bis 10⁷. In der Ergebnisdokumentation sind die thermischen Parameter als Funktionen vonRa und den Geometrieverhältnissen wiedergegeben. Stromlinien und Isothermen im Inneren des Systems wurden generiert und dargestellt.

     

Effects of large suction in natural convection boundary layer on a horizontal plate

The natural convection boundary layer on a horizontal plate with suction is investigated. The similar solutions of the boundary layer equations require suction to vary as a power law. The similarity equations have been integrated for various values of suction parameter and Prandtl number =0.72 and 6.8. For non-similar flow situation, a large suction approximation has been developed using the asymptotic approach. It is shown that large suction approximation is surprisingly good even for moderate values of suction parameter.

---

Einflüsse großer Wirkung auf die Grenzschicht bei freier Konvektion an einer horizontalen Platte

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht bei freier Konvektion auf einer horizontalen Platte unter Saugwirkung untersucht. Die Ähnlichkeitslösungen der Grenzschichtgleichungen machen es erforderlich, die Saugwirkung in Form eines Exponentialansatzes zu variieren. Die Ähnlichkeitsgleichungen wurden für verschiedene Werte des Saugparameters und für Prandtl-Zahlen zwischen 0,72 und 6,8 integriert. Für nicht-ähnliche Strömungszustände wurde eine Lösung für die Saugwirkung auf der Basis der asymptotischen Näherung entwickelt. Es wird gezeigt, daß die Näherungslösung für große Saugwirkung auch erstaunlich gute Ergebnisse für geringe Werte von Saug-Parametern liefert.

     

Ein neues Verfahren zur Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen bei Berücksichtigung der Torsion zweiter Art

Zusammenfassung Einer genauen Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen ist die Torsion zweiter Art zugrunde zu legen. Für je drei aufeinanderfolgende Drehmomente läßt sich eine Rekursionsformel angeben, welche sich von derjenigen bei der Torsion erster Art dadurch unterscheidet, daß alle drei Koeffizienten der Momente ein mit der Eigenkreisfrequenz behaftetes Glied enthalten. Im Fall einer homogenen Maschine vereinfacht sich diese Rekursionsformel auf eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten; ihre Lösung führt auf einfache trigonometrische Ausdrücke. Insbesondere lassen sich im rein homogenen Fall die Eigenfrequenzen streng und in geschlossener Form angeben. Ferner werden die praktisch wichtigen Fälle einer homogenen Maschine mit einer oder zwei Zusatzdrehmassen eingehend behandelt; allerdings müssen dabei die Eigenwerte aus im allgemeinen nicht explizit lösbaren transzendenten Gleichungen bestimmt werden, wobei zu beachten ist, daß auch komplexe Eigenwerte möglich sind. Es zeigt sich weiterhin, daß die einem komplexen Eigenwert entsprechende Frequenz (theoretisch) imaginär werden kann; dieser Fall dürfte jedoch in der Praxis kaum eintreten, da, wie man durch eine genauere Untersuchung erkennt, hierzu die Einflußzahlen der Nebentorsion die Größenordnung derjenigen der Haupttorsion erreichen müßten. Für die behandelten Schwingungssysteme werden außerdem Formeln zur Ermittlung der Momenten- und Drehwinkelverhältnisse abgeleitet. Als Beispiel wird abschließend eine Vierzylindermaschine mit Schwungrad vollständig durchgerechnet.Die Verfasser sind Herrn Prof. Grammel für die Anregung zu dieser Arbeit sehr zu Dank verbunden.     

Schwingungen mit Akustischen Frequenzen in Niederdruck-Quecksilberentladungen

Zusammenfassung Die in Niederdruck-Quecksilberentladungen auftretenden hoch- und niederfrequenten Schwingungen werden besprochen. Der Zusammenhang, der zwischen den beiden Arten von Schwingungen besteht, wird erläutert und unter gewissen Annahme eine Erklärung dafür gegeben. Es wurden spezielle Untersuchungen in bezug auf die Existenz und die Ursache der niederfrequenten Schwingungen durchgeführt, deren Resultate angegeben und diskutiert werden.Der Verfasser möchte an dieser Stelle Professor Dr M. J. O. Strutt für Seine wertvolle Mitarbeit während den Untersuchungen den besten Dank aussprechen. Die obige Arbeit wurde durch einen Beitrag von Seiten der schweizerischen Bundesstelle zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung durch Arbeitsbeschaffungskredite ermöglicht. Der Verfasser möchte auch hierfür Seinen Dank aussprechen.     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Die Bestimmung des Torsionsmoduls mittels freier und erzwungener Torsionsschwingungen in Abhängigkeit von der Proben-Vorspannung und der geometrischen Gestalt des Prüflings

Zusammenfassung Bei der zur Bestimmung des Torsionsmoduls aus erzwungenen Schwingungen an rechteckförmigen Stahlsaiten beobachteten wir eine sehr starke Abhängigkeit dieser Werte von der ProbenvorspannungP _v . Weiterhin zeigte sich experimentell, daß diese Abhängigkeit um so stärker in Erscheinung tritt, je größer das Verhältnis von Probenbreite zu -dicke ist.In diesem Bericht wird gezeigt, daß dieser Befund durch ein beim Torsionsversuch auftretendes Zusatzdrehmoment zu deuten ist; dieses ist durch eine Dehnungsverteilung innerhalb des Prüflings bedingt, die ihrerseits dadurch entsteht, daß bei der Tordierung die Prüflings-Fasern um so stärker gedehnt werden, je weiter sie vom Drehpunkt entfernt sind.Experimentell zeigte sich bei Stahlsaiten, daß dieser Effekt bei kreisförmigen Querschnittsflächen weniger ausgeprägt ist. Für rechteckförmige Prüflinge ergab sich ein kritisches Seitenverhältnis von ca. 20. Oberhalb dieser Grenze wurde ein Vorspannungseinfluß beobachtet, der sich während des Versuches in einer Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der Probenvorspannung bemerkbar macht.

---

Summary The determination of the rigid modulus of rectangular steel-strings out of the measurements of forced vibrations shows a strong dependence of this value on the prestress. This dependence increases with the increasing ratio of probe-width to probe-thickness.It is shown, that a torsionalstrain results in a stressdistribution which leads to an additional moment of rotation. This additional moment should be taken into account if the width/thickness-ratio exceeds a value of 20.

---

---

Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Darmstadt am 8. Juni 1971.     

Über die Verwendung symbolischer Methoden in der Mechanik

Zusammenfassung Die mathematischen Grundlagen der Heavisideschen Operatorrechnung werden im Anschluß an die Arbeiten vonWagner undBromwich erläutert, und an einigen Beispielen wird gezeigt, wie Operatorausdrücke durch Integrale in der komplexen Ebene gedeutet werden können. Mehrere Beispiele aus der Dynamik der Saiten und Balken dienen dazu, die Vielseitigkeit der Heavisideschen Methode zu zeigen und verschiedene Entwicklungsarten zu erklären, die Heaviside selbst ohne tiefere Begründung gebraucht hat. — Es wird auf eine naheliegende Abart der Heavisideschen Operatorrechnung hingewiesen, welche besonders geeignet ist zur Behandlung von Aufgaben, bei denen ein Operator für eine Ortsveränderliche eingeführt werden soll. Schließlich wird der Zusammenhang eines vonH. Schmidt herrührenden Integrationsverfahrens mit der Operatorrechnung dargelegt.Die in der vorliegenden Arbeit gebrachten Beispiele wurden ausgewählt, um die wichtigsten Entwicklungen der Operatorrechnung zu zeigen; sie behandeln meist Aufgaben, die bereits auf anderem Wege gelöst wurden. In einer folgenden Veröffentlichung sollen die hier dargestellten Methoden zur Lösung bisher noch nicht behandelter Aufgaben der Mechanik verwendet werden.     

Extremum principles in the theory of plasticity for fluid-saturated porous media

Summary For ideal plastic deformed porous solids filled up with fluid, extremum principles are formulated: a minimum principle for the velocities and a maximum principle for the stresses. These principles enable to restrict the exact solution of boundary-value problems. This is shown in an example.

---

Extremalprinzipe innerhalb der Plastizitätstheorie für flüssigkeitsgesättigte, poröse Körper

Übersicht Für ideal plastisch deformierte poröse Körper, die mit Flüssigkeit gefüllt sind, werden Extremalaussagen formuliert: ein Minimalprinzip für die Geschwindigkeiten und ein Maximalprinzip für die Spannungen. Sie gestatten die Einschränkung der exakten Lösung eines Randwertproblems. Dies wird an einem Beispiel gezeigt.