Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

Unsteady compressible second-order boundary layers at the stagnation point of two-dimensional and axisymmetric bodies

The unsteady laminar compressible boundary-layer flow over two-dimensional and axisymmetric bodies at the stagnation point with mass transfer has been studied for all second-order boundary layer effects when the basic potential flow admits self-similarity. The solutions for the governing equations are obtained by using an implicit finite-difference scheme. Computations have been carried out for different values of the parameters characterizing the unsteadiness in the free stream velocity, wall temperature, mass transfer rate and variable gas properties. The results are found to be strongly affected by the unsteadiness in the free stream velocity. For large injection rates the second-order boundary layer effects may prevail over the first-order boundary layer, but reverse is true for suction. The wall temperature and the variation of the density-viscosity product across the boundary layer appreciably change the skin-friction and heat-transfer rates due to second-order boundary-layer effects.

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Instationäre kompressible Grenzschichten 2. Ordnung am Staupunkt von zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern

Zusammenfassung Es wurde die instationäre, laminare, kompressible Grenzschichtströmung über einen zweidimensionalen achsensymmetrischen Körper am Staupunkt mit Stoffübergang für alle Grenzschichteffekte 2. Ordnung studiert, wenn die Potentialströmung in sich selbst ähnlich ist. Die Lösung für die grundlegenden Gleichungen wurden unter Anwendung einer impliziten finiten Differenzenmethode erzielt. Es wurden Rechnungen für verschiedene Werte von Parametern durchgeführt, welche die Unstetigkeit in der Freistrahlgeschwindigkeit, die Wandtemperatur, den Stofftransport und die veränderlichen Zustandsgrößen des Gases charakterisieren. Dabei wurde festgestellt, daß die Ergebnisse stark von der Unstetigkeit in der Geschwindigkeit des Freistrahles beeinflußt werden. Für große Zuströmraten können die Effekte 2. Ordnung in der Grenzschicht über die der 1. Ordnung überwiegen, aber das Gegenteil gilt für Absaugung. Die Wandtemperatur und das Dichte-Viskositätsprodukt über die Grenzschicht ändern die Wandreibung und den Wärmeübergang merklich wegen der Grenzschichteffekte 2. Ordnung.

     

A unified treatment of mixed convection on a permeable horizontal plate

A problem of mixed convection on a horizontal plate is reconsidered assuming that the plate is subjected to a variable temperature or variable heat flux. The plate is considered permeable allowing blowing or suction of the fluid. The results of free and forced convection are obtained as special cases of this study of mixed convection. It is also shown that the results corresponding to prescribed temperature are related to those of prescribed surface heat flux by simple conversion formulae.

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Eine einheitliche Behandlung der Mischkonvektion bei einer durchlässigen horizontalen Platte

Zusammenfassung Ein Problem der Mischkonvektion bei einer horizontalen Platte ist in der Annahme erörtert worden, daß die Platte einer veränderlichen Temperatur und einem veränderlichen Wärmestrom ausgesetzt wird. Hierbei wurde die Platte als durchlässig für Einblasen und Absaugen des Fluids angenommen. Die Ergebnisse der freien und erzwungenen Konvektion wurden als Spezialfälle dieser Studie für Mischkonvektion erhalten. Es wird angezeigt, daß die Ergebnisse, welche die Temperatur beschreiben, mit denen die die Wandwärmestromdichte beschreiben, durch einfache Umrechnungsformeln in Verbindung gebracht werden können.

     

Magnetic effects on the flow with a great magnetic reynolds number by the presence free convection and mass transfer

An analysis of the effects of a magnetic field on the flow past an infinite plate by the presence free-convection and mass transfer is considered when the magnetic Reynolds number of the flow is not small. The influence of magnetic parameterM on the velocity and the skin-friction is discussed with the help of graphs, when the plate is being cooled by the free convection currents.

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Magnetische Einflüsse auf eine Strömung mit großen magnetischen Reynolds-Zahlen unter Anwesenheit freier Konvektion und Stoffübertragung

Zusammenfassung Es werden die Einflüsse eines magnetischen Feldes auf die Strömung an einer unendlichen Platte mit freier Konvektion und Stofftransport analysiert, wobei die magnetische Reynolds-Zahl der Strömung nicht klein ist. Diskutiert wird der Einfluß des magnetischen ParametersM auf die Geschwindigkeit und die Oberflächenreibung mit Hilfe graphischer Methoden, wobei die Platte durch die freie Konvektion gekühlt wird.

     

Higher order effects in natural convection flow over a uniform flux horizontal surface

Higher order boundary layer effects for natural convection flow over a horizontal plate prescribed with uniform heat flux is presented. Using the method of matched asymptotic expansions the three terms in inner and outer expansions have been obtained. It is shown that the contribution of the eigen functions to the three term inner expansions is identically zero.

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Einflüsse höherer Ordnung bei freier Konvektion über einer gleichmäßig beheizten horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Es werden Grenzschichteinflüsse höherer Ordnung auf die freie Konvektionsströmung über einer horizontalen Platte bei gleichmäßigem Wärmestrom dargestellt. Mit Hilfe der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen wurden die drei Terme der inneren und äußeren Entwicklung hergeleitet. Es wird gezeigt, daß der Beitrag der Eigenfunktionen zu den drei inneren Entwicklungen identisch Null ist.

     

Flow of a power law fluid in an annulus with porous walls

Summary The steady flow of a power law fluid in annuli with porous walls is investigated. The solution for the axial velocity component is obtained as a power series in terms of the cross flowReynolds number, the first term of the series giving the solution for the case of the solid wall annulus. The cross flow is restricted to be such that the rate of injection of fluid at one wall of the annulus is equal to the rate of suction at the other wall and also we have considered only very small values of the cross flow velocity. The velocity profiles are drawn for different values ofn and for different gaps and the results are discussed in detail. The behaviour of the average flux, in different eases is also discussed.

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Zusammenfassung Das stationäre Strömen einer dem Potenzgesetz gehorchenden Flüssigkeit in Ringkanälen mit porösen Wänden wird untersucht. Die Lösung für die axiale Geschwindigkeitskomponente ergibt sich als eine Potenzreihe in der Form derReynolds-Zahl für die Querströmung, wobei der erste Term der Reihe die Lösung für den Fall eines Ringkanals mit undurchlässiger Wand ergibt. Die Querströmung ist dadurch beschränkt, daß die Injektionsgeschwindigkeit der Flüssigkeit an der einen Wand des Kanals genau so groß ist wie die Absaugungsgeschwindigkeit an der anderen Wand. Ebenso werden nur sehr kleine Werte der Querströmungsgeschwindigkeit untersucht. Die Geschwindigkeitsprofile werden für verschiedene Werte vonn und für verschiedene Spaltweiten angegeben. Die Ergebnisse werden ausführlich diskutiert. Ebenso wird das Verhalten der mittleren Strömung für die verschiedenen Fälle diskutiert.

     

Nonlinear transient temperature field in a hexagon

Summary An approximate direct method for solving nonlinear transient heat conduction problem in the hexagon, based on Gauss' principle of least constraint is presented. The problem is reduced to the algebraic minimization of a quadratic form with respect to the physical components of the temporal and spatial changes of temperature field. For various values of specific heat and thermal conductivity temperature coefficients the comparison of approximate solutions with the numerical ones is performed and an agreement is found.

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Übersicht Es wird eine auf dem Gaußschen Prinzip des kleinsten Zwanges gegründete direkte Näherungsmethode für die Lösung nichtlinearer instationärer Wärmeleitungsprobleme dargestellt. Das Problem wird auf die algebraische Minimisation einer quadratischen Form bezüglich der physikalischen Parameter der Zeit- und Raumvariablen des Temperaturfeldes zurückgeführt. Die Lösung wird für verschiedene Werte der Temperaturkoeffizienten, der spezifischen Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit mit der numerischen Lösung verglichen, wobei eine gute Übereinstimmung erreicht wird.

     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Reversibles und irreversibles Fließen von Hochmolekularen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß zwischen der Platzwechseltheorie und der linearen phänomenologischen Relaxationstheorie für das plastisch-elastische Verhalten keine Widersprüche bestehen. Die Platzwechseltheorie führt zu nichtlinearen Beziehungen, und die bekannten Gleichungen ergeben sich, indem statt der hyperbolischen Beziehungen jeweils die ersten Näherungen verwendet werden. Fließvorgänge, die durch verminderte Entropie (Änderung der Verteilung auf die vorgegebenen möglichen Lagen) und durch molekulare Haftstellen gekennzeichnet sind und die nach Aufhören einer äußeren Beeinflussung wieder rückläufig verlaufen, sind von solchen, bei denen eine Änderung der molekularen Verteilung auf die im Mittel unverändert bleibenden möglichen Plätze nicht erfolgt, zu unterscheiden. Es empfiehlt sich, neben den Ortskurven den Verlauf von tan in Abhängigkeit von der Frequenz zu zeichnen, um nähere Auskunft über den zugrundeliegenden Fließmechanismus zu erhalten.     

Über eine Methode zur angenäherten Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen mit Anwendung auf die Berechnung der Durchbiegung bei der Knickung gerader Stäbe

Zusammenfassung Die aus der Störungsrechnung bekannte Methode der Entwicklung nach einem Parameter wird zur angenäherten Integration von nichtlinearen Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie angewendet; sie erweist sich für viele der hierher gehörigen Aufgaben, wie weiterhin auch für andere Gebiete der Mechanik gezeigt werden soll, als außerordentlich leistungsfähig. Die Methode ist, wie an einem Beispiel erläutert wird, in sinngemäßer Erweiterung auch auf Eigenwertprobleme übertragbar. Es handelt sich um ein Verfahren von großer Allgemeinheit, von dem für die Näherungslösung von Aufgaben dieser Art noch viel zu erwarten ist.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Heat transfer to non-Newtonian power-law fluid past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of heat transfer to the non-Newtonian power-law fluid flow past a continuously moving flat porous plate in presence of suction/injection with heat flux has been presented. We have obtained the solution using the method of successive approximations, starting with zero approximation. It has been observed that the results obtained forn=1 are in good agreement with the corresponding results for Newtonian fluid. For various values of flow indexn and the suction/injection parameter, temperature profiles and rate of heat transfer have been presented graphically. The effect of suction is to decrease in temperature and the rate of heat transfer, while reverse nature occurs for injection.

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Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden, die dem Potenz-Ansatz gehorchen, entlang einer stetig bewegten, flachen, porösen Platte mit Wärmestrom

Zusammenfassung Hier ist die Berechnung der Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden entlang einer sich stetig bewegenden, flachen Platte mit Wärmestrom dargestellt worden, bei der die Grenzschicht abgesaugt bzw. eingeblasen wird. Die Lösung erhielten die Verfasser mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation, beginnend mit der Nullapproximation. Es ist festgestellt worde, daß die erhaltenen Ergebnisse fürn=1 mit den Ergebnissen für Newton'sche Fluide übereinstimmen. Für verschiedene Werte des Strömungsindexesn und des Absaug-/Einblasparameters sind die Temperaturprofile und die Wärmeübertragungsraten graphisch dargestellt worden. Beim Absaugen ergibt sich eine Erniedrigung der Temperatur und der Wärmeübertragungsrate, während genau das Gegenteil beim Einblasen eintritt.

     

Influence of step discontinuity in porous plate temperature in free convection with transpiration

A simple finite difference scheme is used to solve the second order, simultaneous, non-linear partial differential equations with a nonhomogeneous boundary condition, to study the influence of a step discontinuity in the surface temperature on heat transfer from a vertical porous plate in free convection with uniform transpiration. The numerical procedure is described in detail and results are presented forPr =0.72 in the blowing parameter range, - 1.5 < ©₁ < 1.5, for non-dimensional temperature range of 0.25 to 2.0.When the downstream section is cooler than the upstream section, an equilibrium point is defined, which moves towards the discontinuity on suction and away from it on blowing. The readjustment of the boundary layer is slow, causing the recovery length to be considerable.

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Einfluß einer stufenweisen Temperaturänderung in einer porösen Platte mit freier Konvektion und Verdunstung

Zusammenfassung Es wurde ein einfaches Finite-Differenzen-Verfahren verwendet, um ein System gekoppelter, nicht-linearer, partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht-homogenen Randbedingungen zu lösen und den Einfluß einer stufenförmigen Diskontinuität in der Oberflächentemperatur einer vertikalen, porösen Platte auf den Wärmeübergang bei freier Konvektion mit gleichmäßiger Verdunstung zu studieren. Das numerische Verfahren wird im Detail beschrieben und Ergebnisse werden fürPr=0,72, sowie für einen Anblasparameter zwischen –1,5 und +1,5 und für eine dimensionslose Temperatur von 0,25 bis 2, 0 mitgeteilt.Wenn der stromabwärts gelegene Abschnitt kälter ist als der Bereich stromaufwärts, kann ein Gleichgewichtspunkt definiert werden, der sich bei Saugzug in Richtung der Diskontinuität bewegt und von ihr weg beim Anblasen. Das Wiederausbilden der Grenzschicht erfolgt langsam und verursacht eine erhebliche Einstell-Länge.

     

Hall effects on free convective flow and mass transfer through a porous medium

Summary A theoretical analysis of unsteady free convective and mass transfer flow through a porous medium bounded by an infinite vertical plate taking Hall effects into consideration is presented when a strong magnetic field is imposed in a direction which is perpendicular to the free stream and makes an angle to the vertical direction. The effect of Hall currents on the flows (primary and secondary) are studied for various values of.

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Halleffekte auf die Naturkonvektion und den Stofftransport durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Analyse der instationären Naturkonvektion und des Stoffüberganges durch ein poröses Medium vorgestellt, das durch eine unendliche vertikale Platte begrenzt ist und in dem Halleffekte, aufgebracht durch ein starkes magnetisches Feld rechtwinklig zur Strömung der freien Konvektion und unter einem bestimmten Winkel zur Vertikalen, zu berücksichtigen sind. Der Einfluß der Hallströme auf die Konvektion (primär und sekundär) wird für verschiedene Werte des Winkels zur Vertikalen studiert.

     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Eine neue,allgemeine Näherungslösung für den Wärme- und Stoffaustausch in laminaren Mehrstoffgrenzschichten an der längs angeströmten,ebenen Platte

Zusammenfassung Für den Wärme- und Stoffaustausch in laminaren Mehrstoffgrenzschichten über einer längs angeströmten, ebenen Platte stehen als Näherungslösungen für beliebige wandnormale Massenströme nur die exakte Filmtheorie von Krishna und die Näherungslösung der reibungsfreien Strömung zur Verfügung. Es wird in einem Vergleich mit Ergebnissen des beschreibenden Differentialgleichungssystems gezeigt, daß beide Näherungen die Austauschvorgänge nicht befriedigend beschreiben können. Unter der Annahme eines linear ansteigenden Strömungsprofils wird eine neue NäherungslÖsung mit eigenen Korrelationen für den Geschwindigkeitsgradienten aufgestellt. Für Mehrstoffsysteme mit beliebigen wandnormalen Massenströmen gibt diese neue Näherungslösung die Ergebnisse des Differentialgleichungssystems bei konstanten Stoffwerten im System vorzüglich wieder. Der Einfluß konzentrations-und temperaturabhängiger Stoffwerte kann durch Einsetzen geeigneter Referenzwerte in die neue Näherunglösung ebenfalls befriedigend erfaßt werden. Für die Referenzwertbestimmung werden Methoden mitgeteilt.

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A new general approximate solution for the heat and mass transfer in laminar multicomponent boundary layers of the flate plate

The heat and mass transfer between a laminar multicomponent boundary layer and a flat plate with arbitrary injection and suction through the plate surface can be approximately described by the exact film theory of Krishna and by a theory based on a frictionless current only. A comparison shows that the results of these approximate solutions can differ significantly from numerical results calculated from the full set of differential equations for this problem. A new approximate solution based on a linear increasing velocity profile is introduced with its own correlation for the velocity gradient. This new approximate solution reproduces the results of the differential equations for constant fluid properties extremly well. The variation of the properties with respect to temperature and concentration can be accounted by the use of suitable reference properties. For the estimation of these reference properties methods are presented.

     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Über die Festigkeit von Kreiszylinderschalen mit nicht-achsensymmetrischer Belastung

Zusammenfassung Mit vorliegender Abhandlung kann das Problem der Kreiszylinderschale mit beliebiger kontinuierlicher Belastung, abgesehen von Knickbetrachtungen, als vollständig gelöst gelten. Neben der genauen Lösung geben die in Tabelle 3 zusammengestellten Formeln un Verein mit den Gleichungen für die Schale ohne Biegungswiderstand ein Mittel an die Hand, schnell und für die Praxis fast stets genau genug den Spannungszustand zu ermitteln. Längere Untersuchungen zeigen, daß die Nachgiebigkeit der Versteifungsringe bei achsensymmetrischer Belastung günstig, bei nicht achsensymmetrischer Belastung jedoch in mehr oder weniger hohem Grade ungünstig wirkt, je nachdem sich die Spantschwerlinie innerhalb oder außerhalb der Mittelfläche des Zylinders befindet. Es ist ratsam, Rohre und Kessel auf nicht zu schmaler Basis zu lagern. Bei Zylinderschalen großen Durchmessers wird man, wo es sich konstruktiv vertreten läßt, die Versteifungsringe außerhalb des umschlossenen Raumes anordnen.Zur vollständigen Beurteilung der durch Spante versteiften Zylinderschale ist noch die Kenntnis ihrer Knicksicherheit erforderlich. Die Lösung hat v. Mises gegeben 1. In einer noch unveröffentlichten Arbeit ist auch der Einfluß des Druckes auf die Zylinderböden untersucht. Ebendort beurteilt derselbe Verfasser die Knicksicherheit bei Berücksichtigung einer nicht-achsensymmetrischen Belastung. Forschungen über den kritischen Druck in einem begrenzten Schalenteil sind m. W. noch nicht veröffentlicht. J. Geckeler hat jedoch auf der Tagung der Gesellschaft für angewandte Mathematik und Mechanik anläßlich der Werkstoffschau in Berlin 1927 Mitteilung von theoretischen Untersuchungen über die Knicksicherheit beliebiger Schalen gemacht, die durch Versuche bestätigt sind.Karlsruher Dissertation. Referent: Prof. K. v. Sanden, Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Th. Pöschl.     

Strömung durch Schlitz- und Lochblenden bei kleinen Reynolds-Zahlen

Zusammenfassung Bei der Strömung durch Schlitz- und Lochblenden ist für sehr kleine Reynoldsche Zahlen (R < 2, wobei R auf die Schlitzbreite bzw. den Lochdurchmesser bezogen wird) der Druckfall proportional der durchfließenden Menge. Erst bei größeren Reynoldsschen. Zahlen bildet sich eine quadratische Abhängigkeit heraus. Für das ebenen Problem und den Grenzfall R=0 wird eine exakte Lösung der Navier-Stokesschen Differentialgleichungen mit auf der Ein- und Ausströmseite symmetrischen Stromlinien hergeleitet und eine Formel für den Druckabfall aufgestellt. Für endliche Reynoldssche Zahlen existieren nur Näherungslösungen, die lediglich eine Abschätzung des Druckverlaufes in Abhängigkeit von der Reynoldsschen. Zahl liefern. Auf der Ausströmseite löst sich die Strömung etwa bei R > ² ab und bildet einen laminaren Strahl. Ähnliche Verhältnisse gelten auch für die Lochblende. Auch hier wird für den Fall R=0 eine Lösung abgeleitet, die aber nur näherungsweise gültig ist. Der rechnerisch ermittelte Wert für den Druckabfall bei sehr kleiner Reynoldsscher Zahl liegt etwa 25% unter dem von Johannsen (1930) gemessenen Wert. Der Unterschied ist vermutlich auf die endliche Dicke und konische Öffnung der Lochblende bei den genannten Versuchen zurückzuführen.Vorgetragen auf der Gamm-Tagung Aachen 1953.     

Die Grundgleichungen für den Verbund bei Stahlbeton-Rechteckplatten

Zusammenfassung Das Problem des Plattenverbundes läßt sich, nachdem man bei der Darstellung der maßgebenden Beziehungen weitgehend in Analogie zur Theorie elastischer orthotroper Platten vorgeht, letztlich auf ein System dreier simultaner Integro-Differentialgleichungen für die Mittelflächenverschiebungen zurückführen, die man für konstante Steifigkeiten mit Hilfe von Produktansätzen lösen kann. Im allgemeinen Falle der veränderlichen Bewehrung wird eine exakte Lösung kaum noch zu erreichen sein. Man kann in solchen Fällen nach der Methode Sattler mit Hilfe angenommener Zeitabhängigkeiten die Gleichungen zunächst einmal auf reine, nur Ableitungen nach x und y enthaltende Differentialgleichungen zurückführen, für die dann z. B. im Sinne des Rifzschen Verfahrens eine Näherungslösung aufzufinden wäre.Abschließend sei noch bemerkt, daß mit der gelungenen Darstellung des Zusammenhanges zwischen den (i. a. zeitabhängigen) Schnittlasten und den Plattenverzerrungen nunmehr auch im Rahmen der Loveschen Näherung der Schalenverbund allgemein untersucht werden kann. Durch geeignete Einführung der Vorspannstahlquerschnitte in die ideellen Gesamtquerschnittswerte kann man auch das Problem der vorgespannten Flächentragwerke erfassen.