两角和的正弦及余弦的几何解释

三角学中两角和的正弦公式及余弦公式为 sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ, cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。这两个公式是一切三角公式的基础,从它們可以导出两角差的公式、倍角公式、牛角公式,甚至单角公式。使学生正确而牢固地掌握上述公式,是非常必要的。几何解释并不是严格証明,因为所列公式中,α与β为任意角,而我要介紹的几何解释是α,β都为銳角時的情形。     

错题一例

某参考资料中有这样一道习题 :已知 tan3 A、tan A是方程 x2 6x 7=0的两根 ,求 2 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 的值 .解法 12 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 =- cos2 A - cos4Acos2 A - cos4A=- 2 cos Acos3 A2 sin Asin3 A =- 1tan A . tan3 A∵　 tan3 A、tan A是方程 x2 6x 7=0的两根∴　 tan3 A . tan A =7∴　 2 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 =- 17.上述解法先把结果化简 ,再利用韦达定理 ,很快算出答案 ,方法简单巧妙 .但有不少同学从已知出发 ,把 A求出来 ,但求出的是另一答案 :解…     

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

一道高考题的多种证法隐含的数学文化

1 引言“关注学生数学文化意识的养成、努力推进数学文化教育,已经成为当今数学教育改革的一个重要特征.”[1]的确,近几年关于中学数学教育与数学文化的研讨和实践越来越多.上至大学教授的理论与案例研究[2],下至中学一线教师的课堂实践,包括笔者也曾作过尝试[3].然要想在中学被普通教师重视,并进行大量实践,还需要“指挥棒”的引领.令人欣喜的是近几年高考题中,已开始有意识地向这方面进行引导.如2009年湖北卷最后一个选择题,便是直接采用人教版教材中的引入例子:毕达哥拉斯学派的“形数理论”进行出题.而2010年四川卷直接出大题,如第19题:(1)①证明两角和的余弦公式C(α+β):cos (α+β)=cos αcos β-sin αsinβ;②由C(α+β)推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcosβ-cos αsinβ.(2)略.     

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

向量的教学体会

一、利用向量可简化某些定理、公式的推导例1求证:cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ证:在单位圆中作向量OA,OB,与x轴正向的夹角分别是α、β,则点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则OA·OB=cosα·cosβ sinα·sinβOA·OB=|OA|·|OB|·cos(α-β)=cos(α-β)故等式成立.又如正弦定理、余弦定理、点到平面的距离公式用向量法证明,其证明过程也大大简化.二、向量使立体几何摆脱了纯逻辑推理,大大降低了求解难度用空间向量的知识和方法,使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题,用具体计算代替空间想象,可操作…     

要突出任意角——一对“cos(α-β)公式”推证的看法

通用教材高中《数学》第一册第三章是“两角和与差的三角函数”,这一章给出了和、差、倍、半角及和差化积、积化和差等三角函数公式。现行教材把两角差的余弦函数即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ作为这些公式的基础,加以严格推证。在推证过程中,     

对一道三角函数问题四种解法的剖析

题目已知sin2α=a,cos2α=b,则tan(α π4)的值为()(A)b1-a.(B)1 ab.(C)1 a b1-a b.(D)a-b 1a b-1.解法1 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin(α π4)cos(α π4)2cos2(α π4)=sin(2α π2)1 cos(2α π2)=cos2α1-sin2α=b1-a,所以选(A).解法2 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin2(α π4)2sin(α π4)cos(α π4)=1-cos(2α π2)sin(2α π2)=1 sin2αcos2α=1 ab.所以选(B).解法3 tanα=sinαcosα=2sinαcosα2cos2α=sin2α1 cos2α=a1 b,所以tan(α π4)=tanα tanπ41-tantαanπ4=a1 b 11-a1 b=1 a b1-a b,所以选(C…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

运用韦达定理五注意

<正>韦达定理是初中代数的重要定理,应用十分广泛,韦达定理有用但需会用.运用韦达定理除确切掌握定理外,还必须注意以下五个细节问题.一、注意根的符号例1已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根,求(α/β)1/2+(β/α)1/2的值.解由韦达定理,知α+β=-5,αβ=2,     

4三角函数

4.1 任意角的三角函数 内容概述 1.角的概念的推广,角的大小的表示法(角度制和弧度制),弧长公式,扇形面积公式. 2.任意角的三角函数的概念,三角函数线,三角函数在各个象限内的符号. 3.同角三角函数的基本关系式: sin2α+cos2α=1, (sinα)/(cosα)=tanα, tanαcotα=1.     

两道三角题的多变

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册p219有这样两道题目: sinα+Sinβ+sinγ-sin(α+β+γ)=4nin(α+β)/2sin(β+r)/2sin(r+α)/2cosα+cosβ+COSr+COs(α+β+r)=4cos(α+β)/2cos(β+r)/2cos(r+α)/2 利用和差化积公式即可证得,这里从略。下面我们把(1)、(2)作为基本关系式,对a、β、γ作某种代换,就可变换出一些常见的三角恒等式。为节省篇幅,这些恒等式的推证过程请读者自己完成。     

2012年高考主观题训练题

题目1已知向量a=(sin x,cos x+sin x),b=(2cos x,cos x-sin x),x∈R,设函数f(x)=a.b.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及相应的自变量x的取值集合;(Ⅱ)当x0∈(0,π8)且f(x0)=4槡25时,求f(x0+π3)的值.命题意图本题主要考查二倍角公式、两角     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

挖掘隐含条件,走出解题误区

三角是初等数学的重要组成部分 ,三角函数独特的性质 (如定义域、有界性、周期性等 ) ,以及三角函数众多的公式 ,使解决三角问题的条件较一般的代数问题更趋于隐蔽 ,解题的过程具更多陷阱 ,解题的思维更需慎密 .本文通过挖掘三角问题的隐含条件 ,揭示其隐含方式 ,展示其隐含真面目 ,从而走出易陷的误区 ,寻找正确的解决方法 .1　隐含于函数的定义域中例 1　判断函数f ( x) =1 sin x - cos x1 sin x cos x的奇偶性 .不少学生认为 :∵　 f ( x) =2 sin x2 ( sin x2 cosx2 )2 cosx2 ( sin x2 cosx2 )=tan x2 ,∴　 f ( - x) =tan( - …     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

三角函数值的增解问题

本文就二角函数值的求解问题中的两个增解问题进行分析与讨论．例1已知sinα-sinβ=-2/3①cosα-cosβ=2/3②且α,β∈(0,π/2),试求tan(α-β)的值,错解由①~2 ②~2并整理得cos(α-β)=5/9．又∵α,β∈(0,π/2),∴-π/2＜α-β＜π/2．∴sin(α-β)=±(1-(5/9)~2)~(1/2) =±(2(14)~(1/2))/9,∴tan(α-β)=±(2(14)~(1/2))/5．分析以上解题过程似乎推理严谨,无懈可击,但只要细致观察则可发现：条件sinα- sinβ=-2/3中隐含了“α＜β”。增解忽略了α＜β     

对和角余弦公式证明的一点改动

新教材高一 (下册 ) 4.6节《两角和与差的正弦、余弦、正切》中 ,证明基础公式cos(α+ β) =cosαcosβ -sinαsinβ时 ,同学们理解上存在困难的有以下两处 :1　公式对任意的角α ,β都成立 ,但教材的附图4 - 1 8标出的α,β却都是锐角 ,容易引起误解 ,以为该证明只对α,β是锐角的情形 .2　两线段的长P1P3=P2 P4 ,教材未加以说明 .人民教育出版社中学数学室编著的配套的教师教学用书的P1 5中指出“而P1P3=P2 P4 可由同圆中相等的圆心角所对的弦相等得到……”但圆心角是有取值范围的 ,所以这个公式证明中关键的一步 ,如果这样去解释让…     

浅析影响课堂教学目标实现的几个因素

课堂教学目标是整个课堂教学活动中师生共同奋斗的目标，教学目标是否实现是衡量一节课是否成功的根本标准．因此，课堂教学过程中每个环节都必须服务于教学目标．然而，笔者通过听课调查发现，不少教师目标意识淡薄，课堂教学不科学，致使教学目标难以实现．本文就影响课堂教学目标实现的因素，谈几，点浅见．1过早选讲综合例题有位教师在新授"两角和与差的正切"一课中，在导出公式后，首先举出下例：已知方程的两根分别为tgα、tgβ（α、β均为锐角），求cos（a＋β）的值．解答此题，虽然运用了两角和的正切公式，但同时运用了韦达定理…