2007年普通高等学校招生全国统一考试 安徽数学(理科)

一、选择题:本大题共11小题,共55分1.下列函数中,反函数是其自身的函数为A.f(x)=x2,x∈[0, ∞)B.f(x)=x3,x∈(-∞, ∞)C.f(x)=ex,x∈(-∞, ∞)D.f(x)=1x,x∈(0, ∞)2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥a”是“l⊥m且l⊥n”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是A.a<-1B.|a|≤1C.|a|<1D.a≥14.若a为实数,2 ai1 2i=-2i,则a等于A.2B.-2C.22D.-225.若A={x∈Z|2≤22-x<8},B={x∈R||log2x|>1},则A∩(RB)的元素个数为A.0B.1C.2D.36.…     

一道不等式恒成立典型问题的思路与解法

<正>题目已知函数f(x)=2sinx-xcosx-ax(a∈R).当a≤1时,证明:对任意x∈(0,π),f(x)>0.思考1:变换主元法不等式2sinxxcosx-ax>0理解为二元不等式,将a视作主元,记作m(a)=-xa+2sinx-xcosx,是递减的一元一次函数,则当a=1时取最小值为2sinx-xcosx-x,于是问题转化为求证:对任意x∈(0,π),2sinx-xcosx-x>0.     

一道练习题的推广

原题已知函数f(x)=ax2 bx c(a≠0),满足当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,则|f(2)|≤8.该题的结论可以推广到一般情形,即当(|n|>1,n∈R时),|f(n)|≤2n2-1.首先看一个引理.引理1已知函数f(x)=ax2 bx c,(a≠0),对任意给定的常数m,f(m)可以写成f(1),f(-1),f(0)的线性组合.证由于f(m)=am2     

三言两语话解题

在高三第一轮复习中,一次"函数和导数"的答疑课上,有同学问了下面一道题目:已知函数f(x)的导数f′(x)=2x-9且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=.现将当时的答疑过程"三言两语"呈现给     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

也谈函数f(x)=n∑i=1|aix+bi|的最小值

文[1]对函数f(x)=n∑I=1|aix+bi|的最小值进行了研究,得到如下结论: 对于函数f(x)=n∑I=1|aix+bi|(ai∈Q,且ai≠0,bi∈R,I∈N*),总可以写成f(x)=1/m[|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|](x1≤x2≤…≤xn,m,n∈N*)的形式.     

引导探究考题 优化思维品质——从一道函数高考题谈起

题目:设a∈R,函数f(x)=2x2+(x-a)x-a.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.本题以学生熟悉的二次函数为载体,综合考查函数     

证明一道高考题的心路历程

题目(2012年高考.天津卷理(20))已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意实数的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)证明:ni=122i-1-ln(2n+1)<2(n∈N+).     

形同质异的五组函数题

“函数”中,时有一些形同质异、使我们容易受到其中一种情境干扰的问题,剖解这些问题,对提高我们的辨析能力很有好处!1定义域不同的形同质异题例1(1)已知函数f(x)=x2-mx 1,对一切x∈R恒有f(x)>0,求实数m的取值范围;(2)已知函数f(x)=x2-mx 1,对一切x∈(0, ∞)恒有f(x)>0,求实数m的取值范围.剖析从图象看,(1)即为f(x)的图象全在x轴上方,而(2)仅要求在y轴右边的图象在x轴上方;从不等式角度看,(1)为x2 1>mx对x∈R均成立,而(2)仅为对x>0恒成立.简解(1)从图象考虑,即Δ=m2-4<0,得-20.因为x 1x≥2,当且仅当x…     

用代换法解抽象函数问题

抽象函数是指那些没有给出解析式的函数,因为缺少具体的表达式,所以分析和解决这类问题时感到棘手,如果能根据条件的特征,采用变量代换法,创造从难到易转化的条件,那么问题往往得以圆满地解答. 例1 已知函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1) f(x2)=2f(x1 x2/2)· 不恒为零. 求证:(1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是周期为2π的周期函数. 证明(1)不妨设f(x0)≠0,取x1=x2=x0,得2f(x0)=2f(x0)f(0),则f(0)=1. 又取x1=x,x2=-x(x∈R),得     

由一道高考题引发的探索与思考

1 问题出现 孰是孰非 高考结束的第二天,班里平时爱动脑筋的学生甲来问笔者:“李老师,12题怎么做?”作为最后一道选择题,此题必有含金量,笔者极为重视. 题1(2015全国理Ⅱ-12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 笔者的解答是:由题意,设h(x)=f(x)/x,则h'(x)=xf'(x)-f(x)/x2.由于f(x)(x∈R)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0,f(0)=0,函数f(x)有这三个零点.显然h(x)是偶函数,由于xf'(x)-f(x)＜0,故当x＞0时,h'(x)＜0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此,h(x)在(-∞,0)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＞0;当x∈(-1,0)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＜0;当x∈(0,1)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＜0.故综上,x∈(-∞,-1)∪(0,1),选A.     

此类“抽象函数”竟是“具体函数”

最近办公室里“吵得不可开交”,“罪魁祸首”是下面这道月考题:题1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的想x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≥3.参考答案:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(x)-1=5,所以f(2)=3.     

一道新题征展问题的结论与证明的纠正

本刊2011年第2期新题征展(124)题7是一道有关导数应用的函数与不等式综合问题,原题如下:已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:h(m)+h(n)/2＞h(m+n/2).     

函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

一道高考模拟题引发的探究性教学

题目(2006年盐城市高考模拟试题)已知函数"f(x)=x3+(m-4)x2-3mx+(n-6)(x∈R),m,n是实数. (1)若函数f(x)的图像关于原点对称,求m,n的值;     

2011年湖北卷(文20)的优美解

题目 设函数f(x)=x3+ 2ax2 +bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(Ⅰ)求a,b的值,并写出切线l的方程;(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0,x1,x2,其中x1 ＜x2,且对任意的x∈ [x1,x2],f(x)+g(x) ＜m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.     

也谈函数f(x)=sum from i=1 to n=1(︱a_ix+b_i︱)的最小值

文[1]对函数f(x)=∑ni=1aix+bi的最小值进行了研究,得到如下结论:对于函数f(x)=∑ni=1aix+bi(ai∈Q,且ai≠0,bi∈R,i∈N*),总可以写成f(x)=m1[x-x1+x-x2+…+x-xn](x1≤x2≤…≤xn,m,n∈N*)的形式.(1)若n=2k-1(k∈N*),则x=xk时,f(x)取值最小;(2)若n=2k(k∈N*),则x∈[xk,xk+1]时,f(x)取值最小.上述结论只解决了ai∈Q的情形,并要对f(x)进行变形写成m1[x-x1+x-x2+…+x-xn]的形式.为此,笔者进一步研究得到更一般结论,使得问题彻底解决.因f(x)=∑ni=1aix+bi=∑ni=1ai x+biai,所以只要研究f(x)=∑ni=1ai x-xi(ai>0,x1相似文献   

巧用最值定义简解一道高考压轴题

2012年高考数学湖南卷理科试题第22题:已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

Hermite样条对可微函数类逼近的准确估值

1.设m为任意非负整数.以C~m表示[0,1]上具有m次连续导数的全体函数组成的集(C~0=C). 设n为正整数.以Δn表示区间[0,1]的n节分割 0=x_(0,n)相似文献