A higher-order analysis of natural convection in a corner

A study of natural convection flow in a right angled corner formed by a semi-infinite vertical plate, which is maintained at the ambient temperature, and a semi-infinite horizontal plate, which is prescribed with a uniform heat flux, is carried out for moderately large values of the Grashof number by the method of matched asymptotic expansions. Higher-order corrections are found for the velocity and temperature fields as well as for the heat transfer and skin friction coefficients. The interaction between the two boundary-layers, which form on the vertical and horizontal plates, takes place through an isothermal outer flow. Eigenvalues and their corresponding eigenfunctions which are associated with the inner expansions have been sought. We are able to continue the solution up to the contribution played by the first eigenvalue and to uniquely find the first eigensolution. Numerical results have been obtained for a wide range of values of the Prandtl number, , but the results are only presented for =0.72 (air) and 6.7 (water). It is found that higher-order corrections to the classical boundary-layer theory are quite significant even for Grashof numbers of order 10⁹.Eine Untersuchung über freie Konvektionsströmung in einer rechtwinkligen Ecke, die aus einer horizontalen und vertikalen, halbunendlichen Platte gebildet wird, wurde für ziemlich hohe Werte der Grashofzahl mit der asymptotisch, erwartungstreuen Schätzung durchgeführt. Bei der vertikalen Platte wird die Umgebungstemperatur konstant gehalten und die Horizontale Platte steht unter gleichmäßigem Wärmefluß. Für die Geschwindigkeits-und Temperaturfelder sind gleich gute Verbesserungen höherer Ordnung gefunden worden, wie für die Wärmeübertragung und den Oberflächenreibungskoeffizient. Die gegenseitige Beeinflussung der beiden Grenzschichten, die sich auf der horizontalen und vertikalen Platte bilden, entstand durch eine isotherme Außenströmung. Eigenwerte und ihre darauf bezogenen Eigenfunktionen, die mit der Expansion verbunden sind, wurden ermittelt. Wir sind in der Lage, die Lösung durch eine Approximation hoher Ordnung zu ersetzen und dadurch eine einzige Eigenlösung zu finden. Die numerischen Ergebnisse sind für weite Bereiche der Prandtlzahl, erhalten worden. Dargestellt wurden jedoch nur die für =0,72 (Luft) und 6,7 (Wasser). Es wurde herausgefunden, daß die Verbesserungen höherer Ordnung für die klassische Grenzschichttheorie sehr bedeutend sind, besonders für die Grashofzahlen der Ordnung 10⁹.     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Die freien Massenkräfte des Sternmotors

Zusammenfassung Bei den bisherigen Untersuchungen über die Massenkräfte von Sternmotoren mit mittelbarer Nebenpleuelanlenkung, die sich auf die Kräfte erster und zweiter Ordnung beschränkten, ergaben sich für ausgeführte Motoren, besonders bei großen Zylinderzahlen, noch beträchtliche Kräfte zweiter Ordnung. Durch eine erweiterte Untersuchung, die auch die Glieder höherer Ordnung umfaßt, konnte für den praktisch wichtigen Fall der regelmäßigen Nebenpleuelanlenkung, wobei sämtliche Anlenkhalbmesser einander gleich und die Anlenkwinkel jeweils gleich den zugehörigen Zylinderwinkeln sind, allgemein gezeigt werden, daß nur Kräfte erster, zweiter und höherer gerader Ordnung auitreten, während samtliche Kräfte ungerader Ordnung verschwinden. Die noch explizit angegebenen Kräfte vierter Ordnung werden in der Regel sehr klein.     

Effects of radial temperature gradient on the stability of viscous row in an annulus with a rotating inner cylinder

The Taylor stability problem is solved for the case of narrow gap between a rotating inner cylinder and a stationary outer cylinder where the latter is at a higher temperature than the former. The predictions are based on a numerical procedure with less restrictive assumptions than those previously adopted and they confirm the destablizing effect of a radial temperature gradient.

---

Wirkung eines radialen Temperaturgradienten auf die Stabilität einer zähen Strömung in einem Kreisring, dessen innerer Zylinder rotiert

Zusammenfassung Das Problem der Taylor-Stabilität ist für den Fall eines engen Spaltes zwischen einem rotierenden inneren und einem festen äußeren Zylinder gelöst, wenn der äußere auf höherer Temperatur als der innere ist. Es wurde ein numerisches Verfahren gewählt, bei dem weniger einschränkende Voraussetzungen nötig waren als bisher. Die destabilisierende Wirkung eines radialen Temperaturgradienten wird bestätigt.

     

Effects of large suction in natural convection boundary layer on a horizontal plate

The natural convection boundary layer on a horizontal plate with suction is investigated. The similar solutions of the boundary layer equations require suction to vary as a power law. The similarity equations have been integrated for various values of suction parameter and Prandtl number =0.72 and 6.8. For non-similar flow situation, a large suction approximation has been developed using the asymptotic approach. It is shown that large suction approximation is surprisingly good even for moderate values of suction parameter.

---

Einflüsse großer Wirkung auf die Grenzschicht bei freier Konvektion an einer horizontalen Platte

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht bei freier Konvektion auf einer horizontalen Platte unter Saugwirkung untersucht. Die Ähnlichkeitslösungen der Grenzschichtgleichungen machen es erforderlich, die Saugwirkung in Form eines Exponentialansatzes zu variieren. Die Ähnlichkeitsgleichungen wurden für verschiedene Werte des Saugparameters und für Prandtl-Zahlen zwischen 0,72 und 6,8 integriert. Für nicht-ähnliche Strömungszustände wurde eine Lösung für die Saugwirkung auf der Basis der asymptotischen Näherung entwickelt. Es wird gezeigt, daß die Näherungslösung für große Saugwirkung auch erstaunlich gute Ergebnisse für geringe Werte von Saug-Parametern liefert.

     

A note on asymptotic solutions for heat transfer in laminar forced flow against a non-isothermal rotating disk

Exact asymptotic expansions for heat transfer in laminar forced flow against a non-isothermal rotating disk are obtained for large and small Prandtl numbers using a perturbation method. The surface temperature of the disk is assumed to vary according to a power law with the radial distance. The results point out the erroneous terms in the existing asymptotic solutions and give the further higher order corrections to them.

---

Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsmethode werden exakte asymptotische Entwicklungen für den Wärmeübergang in laminarer Zwangskonvektion gegen eine nichtisotherme rotierende Scheibe für kleine und große Prandtl-Zahlen erhalten. Die Oberflächentemperatur soll nach einem Potenzgesetz vom Radius abhängen. Die Ergebnisse zeigen die Fehler in den bisherigen Lösungen auf und geben die Korrekturen höherer Ordnung.

     

Numerical and experimental investigations into the upstream transpiration problem in free convection

The influence of uniform upstream transpiration on downstream heat transfer at a vertical plate in free convection is investigated numerically. The governing equations in their von Mises form are solved using a simple finite difference scheme forPr=0.72, in the blowing parameter range, – 1.9x<1.9. Experiments are conducted to verify the numerical predictions for uniform upstream blowing case.It is found that upstream transpiration effect persists upto a very considerable distance downstream of the discontinuity where transpiration ceases. Upstream suction has (relatively) less influence than upstream blowing. The down-stream heat transfer depends not only on the upstream transpiration velocity, but also on the length over which transpiration is applied.

---

Numerische und experimentelle Untersuchungen zur stromaufwärts gerichteten Verdunstung bei freier Konvektion

Zusammenfassung Es wird der Einfluß gleichmäßiger, aufwärts gerichteter Verdunstung auf den Wärmeübergang bei freier Konvektion an einer vertikalen abwärts umströmten Platte numerisch untersucht. Der von Misessche Gleichungssatz wird unter Verwendung einer einfachen finiten Differenzenmethode fürPr=0,72 gelöst. Zur Bestätigung der rechnerischen Vorhersagen werden Experimente durchgeführt, bei denen jedoch eine gleichmäßige Aufwärtsströmung erzwungen wird.Es wurde ein starker Einfluß der aufwärts gerichteten Verdunstung über eine sehr lange Strecke auch noch unterhalb der Stelle festgestellt, wo die Verdunstung beginnt. Die Überlagerung eines Aufwärtssoges hat weniger Einfluß als eine durch Gebläse erzwungene Aufwärtsströmung. Der Wärmeübergang in der Abwärtsströmung hängt nicht nur von der Geschwindigkeit der aufwärts gerichteten Verdunstung, sondern auch von der Länge, über die Ausdampfen erfolgt, ab.

     

Unsteady compressible second-order boundary layers at the stagnation point of two-dimensional and axisymmetric bodies

The unsteady laminar compressible boundary-layer flow over two-dimensional and axisymmetric bodies at the stagnation point with mass transfer has been studied for all second-order boundary layer effects when the basic potential flow admits self-similarity. The solutions for the governing equations are obtained by using an implicit finite-difference scheme. Computations have been carried out for different values of the parameters characterizing the unsteadiness in the free stream velocity, wall temperature, mass transfer rate and variable gas properties. The results are found to be strongly affected by the unsteadiness in the free stream velocity. For large injection rates the second-order boundary layer effects may prevail over the first-order boundary layer, but reverse is true for suction. The wall temperature and the variation of the density-viscosity product across the boundary layer appreciably change the skin-friction and heat-transfer rates due to second-order boundary-layer effects.

---

Instationäre kompressible Grenzschichten 2. Ordnung am Staupunkt von zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern

Zusammenfassung Es wurde die instationäre, laminare, kompressible Grenzschichtströmung über einen zweidimensionalen achsensymmetrischen Körper am Staupunkt mit Stoffübergang für alle Grenzschichteffekte 2. Ordnung studiert, wenn die Potentialströmung in sich selbst ähnlich ist. Die Lösung für die grundlegenden Gleichungen wurden unter Anwendung einer impliziten finiten Differenzenmethode erzielt. Es wurden Rechnungen für verschiedene Werte von Parametern durchgeführt, welche die Unstetigkeit in der Freistrahlgeschwindigkeit, die Wandtemperatur, den Stofftransport und die veränderlichen Zustandsgrößen des Gases charakterisieren. Dabei wurde festgestellt, daß die Ergebnisse stark von der Unstetigkeit in der Geschwindigkeit des Freistrahles beeinflußt werden. Für große Zuströmraten können die Effekte 2. Ordnung in der Grenzschicht über die der 1. Ordnung überwiegen, aber das Gegenteil gilt für Absaugung. Die Wandtemperatur und das Dichte-Viskositätsprodukt über die Grenzschicht ändern die Wandreibung und den Wärmeübergang merklich wegen der Grenzschichteffekte 2. Ordnung.

     

Stationäre Wärmespannungen mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die in Ziffer 4 untersuchten Beispiele zeigten, daß sich bei Vorhandensein eines ungleichmäßigen Temperaturfeldes im Bereich höherer Temperaturen nicht nur die reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die unter der Voraussetzung unveränderlicher Stoffwerte berechnet werden können, ändern, sondern daß auch eine Veränderung der durch rein mechanische Einwirkungen hervorgerufenen Spannungsfelder auftritt. Diese lassen sich bei Systemen aus Stahl i. a. (sofern nicht extreme Temperaturunterschiede im System vorhanden sind) vernachlässigen bis auf die Klasse derjenigen Probleme, bei denen die Spannungen am verformten System von denjenigen am unverformten System wesentlich verschieden sind (z. B. bei der Längskraft-Biegung). In diesen Fällen können sich auf Grund der gegenüber der Theorie unveränderlicher Materialwerte größeren Verformungen auch erhebliche Änderungen der Spannungszustände einstellen, so daß man hier die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte berücksichtigen sollte. Die Änderung der reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die mittels unveränderlicher Materialwerte bestimmt werden können, ist in der Regel, d. h. wenn die Temperaturunterschiede innerhalb des Systems nicht extrem groß sind, noch nicht allzu groß, so daß man sich auch im Bereich höherer Temperaturen mit der Theorie unveränderlicher Materialwerte E und _t, begnügen können wird, vor allem dann, wenn man die einer mittleren Systemtemperatur entsprechenden Werte benutzt. Dies ist aber, wie der Verfasser schon früher gezeigt hat, i. a. nur dann vertretbar, wenn man der Spannungsberechnung das genaue, die Temperaturveränderlichkeit der Wärmeleitzahl berücksichtigende Temperaturfeld zugrunde legt, da dieses in manchen Fällen von dem mit konstanter Wärmeleitzahl berechneten merklich abweichen kann.     

Über den einfluβ der stromlinienkrümmung auf die stabilität laminarer strömungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde gezeigt, daß eine laminare Strömung mit wellenförmigen Stromlinien in den Tälern dieser Wellen instabil ist gegenüber Störungen vom Typ der Taylor-Görtlerschen Längswirbel, falls nur die Stromlinienkrümmung genügend groß ist. Die dieser kritischen Krümmung entsprechende Wellen-amplitude lag bei der wellenförmig gestörten Blasiusschen Plattenströmung in der Größenordnung von 10^–4 Grenzschichtdicken.Besonderes Interesse hat diese Fragestellung im Hinblick auf den laminar-turbulenten Umschlag. Nachdem W. Tollmien [7] die Instabilität der laminaren Plattenströmung gegenüber wellenförmigen Störungen oberhalb einer gewissen Reynoldsschen Zahl gezeigt und dann G. B. Schubauer und H. K. Skramstad [8] diese Wellen als Anfangsstufe des laminar-turbulenten Umschlags erkannt hatten, ist die Frage des weiteren Übergangs in die turbulente Strömung viel diskutiert worden, ohne jedoch bisher in befriedigender Weise beantwortet zu sein.Nach den Resultaten dieser Arbeit liegt die Vermutung nahe, daß die wellen-förmig gestörte, aber immer noch ebene laminare Strömung auf Grund ihrer Instabilität gegenüber den wirbelartigen Sekundärstörungen in eine dreidimensionale laminare Strömung übergeht und der Umschlag in die dreidimensionale turbulente Strömung schließlich als Folge von Instabilitäten dritter und höherer Ordnung erfolgt. Eine letzte Entscheidung hierüber kann nur das Experiment liefern. Es wird deshalb besonders auf die erst kürzlich veröffentlichten neuen experimentellen Untersuchungen von G. B. Schubauer [24] hingewiesen, die mit unserer Vermutung in einem für den gegenwärtigen Stand von Theorie und Experiment durchaus befriedigenden Einklang stehen. Vorgelegt von H. Görtler     

The orientation of liquid crystals by temperature gradients

Summary It has been known for some time that the molecular orientation of liquid crystals can be affected by the presence of a temperature gradient.Stewart reported in 1936 that, whenp-azoxyanisol was placed in a vertical temperature gradient, the orientation adopted was vertical when the higher temperature was at the bottom and horizontal when the higher temperature was at the top. The continuum theory for nematic liquid crystals, proposed byLeslie, is used to explain this phenomenon. An examination of the stability of the static orientation adopted by the director in the presence of a vertical temperature gradient shows that the stable orientations are either vertical or horizontal, as found experimentally.

---

Zusammenfassung Es ist längst bekannt, daß die Molekularorientierung kristalliner Flüssigkeiten durch die Anwesenheit einer Temperatursteigung beeinflußt werden kann.Stewart zeigte 1936, daß die angenommene Orientierung vonp-Azoxyanisol in einer vertikalen Temperatursteigung bei höherer Temperatur unten vertikal war, sowie horizontal bei höherer Temperatur oben. Die Kontinuumstheorie für nematische Kristallinflüssigkeiten — wie vonLeslie vorgeschlagen — wird benutzt, um dieses Phänomen zu erklären. Eine Untersuchung der Stabilität der statischen Orientierung, die der Direktor in Anwesenheit einer vertikalen Temperatursteigung annimmt, zeigt, wie auch das Experiment feststellt, daß die stabilen Orientierungen entweder vertikal oder horizontal sind.

     

Higher order fields at crack and notch tips in power-law materials under longitudinal shear

Summary Singular fields and higher order fields near a sharp notch in a power-law material under longitudinal shear are investigated. Using the perturbation method the whole set of eigenvalues is determined. The higher order eigensolutions are constructed by use of the dominant singular solution. Some examples, including the special case of a crack are discussed for different boundary conditions.

---

Felder höherer Ordnung an Riß- und Kerbspitzen unter nichtebener Schubbelastung in Materialien mit Potenzverfestigungsgesetz

Übersicht Untersucht werden singuläre Felder und Felder höherer, Ordnung an Spitzkerben unter nichtebener Schubbelastung in Materialien mit Potenzgesetz. Die Eigenwerte werden mittels der Störungsrechnung ermittelt. Die Bestimmung der Eigenlösungen höherer Ordnung erfolgt unter Verwendung der dominierenden singulären Lösung. Einige Beispiele, die auch den Spezialfall des Risses einschließen, werden für unterschiedliche Randbedingungen diskutiert.

---

---

Dedicated to Prof. Dr.-Ing. F. G. Kollmann on the occasion of his sixtieth Birthday     

The free surface on a liquid between cylinders rotating at different speeds. Part III

Summary This paper is a further contribution to our work on the Weissenberg effect. One goal of our work is to show how the free-surface deformations on a viscoelastic fluid which is sheared between two concentric rotating cylinders can be used to determine rheological data about the fluid. In this paper we report the results of an experimental program in which free surface shapes have been measured on three viscoelastic fluids undergoing shearing in an apparatus consisting of a stationary outer cylinder and four interchangeable rotating inner cylinders. Experimentally-measured profiles are compared with profiles predicted from second-order theory, and found to be in excellent agreement for STP and TLA-227 in the range of applicability of the second-order theory, but there is some disagreement in the results for a 2% solution of polyacrylamide in 49% water –49% glycerin.

---

Zusammenfassung Diese Arbeit stellt einen weiteren Beitrag zu unseren Untersuchungen über den Weissenberg-Effekt dar. Ein Ziel dieser Untersuchungen ist es zu zeigen, wie die Deformation der freien Oberfläche einer zwischen zwei konzentrischen Zylindern gescherten viskoelastischen Flüssigkeit dazu verwendet werden kann, rheologische Kenngrößen der Flüssigkeit zu gewinnen. In dieser Arbeit wird über die Ergebnisse einer experimentellen Untersuchung berichtet, in der die Gestalt der freien Oberfläche bei drei viskoelastischen Flüssigkeiten gemessen wurde, die in einem Apparat geschert wurden, der aus einem stationären Außenzylinder und vier auswechselbaren rotierenden Innenzylindern bestand. Die experimentell bestimmten Profile werden mit solchen verglichen, die aufgrund einer Theorie zweiter Ordnung vorausgesagt worden sind. Man findet im Bereich der Anwendbarkeit dieser Theorie für STP und TLA-227 eine ausgezeichnete Übereinstimmung, wohingegen die Ergebnisse bei einer 2%igen Polyacrylamid-Lösung in einer 1:1-Wasser-Glycerin-Mischung gewisse Diskrepanzen aufweisen.

---

---

With 12 figures and 1 table     

A new torque and normal thrust measuring system for the Weissenberg rheogoniometer

Zusammenfassung Im Warren Spring Laboratory wurde ein neues Drehmoment-und Normaldruckmeßsystem entwickelt, das mit Ausnahme des R17 zu den meisten Modellen desWeissenberg-Rheogoniometers paßt. Ein einziges piezoelektrisches Kristallgerät ersetzt die luftgelagerte Torsionsaufhängung und somit die Notwendigkeit einer Preßluftzufuhr, und es ersetzt außerdem das mit Servoeinrichtung versehene Normaldruckmeßsystem.Bei gleichmäßiger Rotationsprüfung erfaßt das Gerät einen weiten Drehmoment- und Druckbereich. Ohne daß Torsionswellen, Normaldruckfedern und/oder Kegeldurchmesser ausgetauscht werden müssen, werden die gleichen Bereiche wie mit dem Standardsystem erreicht. Durch den Normaldruck verursachte etwaige Änderungen der Spaltweite sind dank der Natur dieses Gerätes praktisch bedeutungslos, und die mit Servoeinrichtung versehene Anordnung wird somit überflüssig. Damit entfallen die Schwierigkeiten durch Unempfindlichkeit und Ansprechverzögerung der Anordnung während des Einsatzes bei hochviskosen Materialien.Beim dynamischen Testen sind keine Korrekturen aufgrund der Eigenfrequenz des Gerätes erforderlich, da diese wesentlich höher als die obere Testfrequenz des Instrumentes ist. Im niedrigen Viskositätsbereich sind beim Standardmodell Korrekturen erforderlich. Dank der Torsionsstabilität der Oberplatte werden außerdem höhere Spannungen ermöglicht. Durch die Ansprechgeschwindigkeit des neuen Gerätes werden dynamische Normalkraftmessungen möglich.Es werden einige mit dem neuen und mit dem Standardsystem gewonnene vergleichende Daten einer Reihe von Materialien sowohl für gleichbleibende Rotations- als auch Oszillationstest angegeben.

---

---

With 6 figures     

A unified treatment of mixed convection on a permeable horizontal plate

A problem of mixed convection on a horizontal plate is reconsidered assuming that the plate is subjected to a variable temperature or variable heat flux. The plate is considered permeable allowing blowing or suction of the fluid. The results of free and forced convection are obtained as special cases of this study of mixed convection. It is also shown that the results corresponding to prescribed temperature are related to those of prescribed surface heat flux by simple conversion formulae.

---

Eine einheitliche Behandlung der Mischkonvektion bei einer durchlässigen horizontalen Platte

Zusammenfassung Ein Problem der Mischkonvektion bei einer horizontalen Platte ist in der Annahme erörtert worden, daß die Platte einer veränderlichen Temperatur und einem veränderlichen Wärmestrom ausgesetzt wird. Hierbei wurde die Platte als durchlässig für Einblasen und Absaugen des Fluids angenommen. Die Ergebnisse der freien und erzwungenen Konvektion wurden als Spezialfälle dieser Studie für Mischkonvektion erhalten. Es wird angezeigt, daß die Ergebnisse, welche die Temperatur beschreiben, mit denen die die Wandwärmestromdichte beschreiben, durch einfache Umrechnungsformeln in Verbindung gebracht werden können.

     

Die räumliche Staupunktströmung für ein viskoelastisches Fluid

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die räumliche Staupunktströmung für ein Rivlin-Ericksen-Fluid berechnet. Mit Hilfe einer Ähnlichkeitstransformation erhält man für die dimensionslose Stromfunktion eine Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird gezeigt, daß man dennoch mit den bekannten drei Randbedingungen auskommt. In Beispielen werden für bestimmte Parameterkombinationen Geschwindigkeitsprofile dargestellt und diskutiert. Ebenso werden Aussagen über die Wandschubspannung gemacht.

---

In this paper the flow of a Rivlin-Ericksen fluid near an axisymmetric stagnation point is investigated. Using a similarity transformation one gets a fourth-order differential equation for the dimensionless stream function. It is shown that nevertheless the usual three boundary conditions are sufficient. Velocity profiles are calculated for various combinations of the interesting parameters. Finally the wall shear stress is calculated.

Vortrag auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft 1985 in Berlin     

Heat transfer in flow past a continuously moving semi-infinite flat plate in transverse magnetic field with heat flux

Thermal boundary layer on a continuously moving semi-infinite flat plate in the presence of transverse magnetic field with heat flux has been examined. Similarity solutions have been derived and the resulting equations are integrated numerically. This investigation has indicated a fall in the temperature of the thermal boundary layer with increase in magnetic field parameter.

---

Wärmeübertragung in Strömungen an einer gleichmäßig bewegten, halbunendlichen ebenen Platte in einem quergerichteten Magnetfeld mit Wärmefluß

Zusammenfassung Es ist die thermische Grenzschicht auf einer gleichmäßig bewegten, halbunendlichen ebenen Platte in einem quergerichteten Magnetfeld mit Wärmefluß untersucht worden. Ähnlichkeitslösungen sind abgeleitet und die erhaltenen Gleichungen numerisch integriert worden. Diese Untersuchung hat einen Rückgang der Temperatur in der thermischen Grenzschicht mit steigendem Magnetfeldparameter nachgewiesen.

     

Effects of radial temperature gradient on the stability of flow in a narrow-gap annulus with constant heat flux at the inner rotating cylinder

The stability of Couette flow of a viscous, imcompressible fluid between two concentric rotating cylinders in the presence of a radial temperature gradient due to constant heat flux at the inner cylinder is studied. Assuming the flow that takes place in a narrow gap, the eigenvalue problem is solved numerically. The critical values ofa (the wave number) andTa (the Taylor number) are listed in a table and these are also shown graphically in the case of the rotation of the cylinders in clockwise and counter-clockwise direction. It is observed that greater amount of heat flux has a stabilising effect.

---

Einflüsse des radialen Temperaturgradienten auf die Stabilität einer Strömung in einem engen Ringspalt mit konstantem Wärmestrom am inneren rotierenden Zylinder

Zusammenfassung Es wird die Stabilität der Couette Strömung eines viskosen inkompressiblen Fluids zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern in Anwesenheit eines durch Wärmeabgabe vom inneren Zylinder hervorgerufenen Temperaturgradienten studiert. Unter der Annahme, daß die Strömung in einem engen Spalt vor sich geht, wird das Eigenwertproblem gelöst. Es werden die kritischen Werte vona (Wellenzahl) und vonTa (Taylorzahl) in Tabellen aufgelistet und diese Ergebnisse werden auch graphisch dargestellt für den Fall, daß die Zylinder gleichsinning und gegensinnig rotieren. Es wurde beobachtet, daß zunehmender Wärmestrom einen stabilisierenden Effekt hat.

     

Determination of stress intensity factors by the dynamic method of caustics for optically isotropic materials

Summary The method of caustics is an optical method for experimental determination of stress intensity factors at crack tips. The paper generalizes the method of caustics to dynamic situations and the dynamic stress intensity factor at the tip of a running crack in an optically isotropic material is determined. Higher order terms of the Westergaard type stress functions are included and their effect on the shape and extension of the highly constrained zone surrounding a crack tip is discussed. Analytical equations for the caustic are presented. For the singular solution it is found that dynamic K-values associated with larger shadow spots are lower than their static counterparts. Higher order terms induce a generalized evaluation formula for the stress intensity factor where powers of the order n + 5/2 (n = 0, ...) of the caustic diameter are present. The effect of superposition of dynamic and higher order term corrections on the K-value is discussed. The dynamic correction implies that the K(c)-characteristic (c ... crack velocity) is to be modified towards lower values of K. This correction is negligible for small and moderate crack velocities justifying the use of static equations for practical purposes. The K-values for crack branching, however, turn out to be smaller than assumed hitherto, a fact which is of particular interest in connection with SEN-type fracture test specimens.

---

Übersicht Die schattenoptische Methode — auch Methode der Kaustik genannt — ist ein wichtiges Verfahren zur experimentellen Bestimmung des Spannungsintensitätsfaktors K an einer Rißspitze. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert die schattenoptische Methode auf dynamische Rißausbreitungsvorgänge in optisch isotropen Materialien. Die Bestimmung des dynamischen Spannungsintensitätsfaktors an der Rißspitze schnellaufender Risse aus der Geometrie des Schattenflecks wird aufgezeigt und eine dynamische Korrekturfunktion angegeben.Glieder höherer Ordnung in den Westergaardschen Spannungsfunktionen werden beibehalten und deren Einfluß auf die Gestalt und Ausdehnung der Zone großer Verzerrungen um die Rißspitze sowie die Form und Größe der Kaustik werden untersucht. Bei Berücksichtigung des alleinigen singulären Anteiles des Spannungsfeldes um die Rißspitze zeigen die Rechnungen, daß die mit laufenden Rissen verbundenen K-Werte kleiner als die entsprechenden statischen sind, der Unterschied für praktische Zwecke jedoch erst bei Rißgeschwindigkeiten in der Umgebung der Verzweigungsgeschwindigkeit berücksichtigt werden muß.Die Glieder höherer Ordnung beeinflussen die Struktur der Beziehung zwischen Spannungsintensitätsfaktor und Kaustikdurchmesser. Die Auswerteformel, die im (statischen und dynamischen) singulären Fall eine D ^5/2- Abhängigkeit des Spannungsintensitätsfaktors vom Kaustikdurchmesser zeigt, weist bei Berücksichtigung höherer Terme Abhängigkeiten der höheren Ordnungen n + 5/2(n = 1, ...). auf. Die Korrekturfaktoren für die K-Werte, die im singulären Fall nur von der Rißgeschwindigkeit abhängig sind, werden explizite Funktionen des Kaustikdurchmessers. Das Zusammenwirken von dynamischen Effekten und Einflüssen zufolge des nichtsingulären Spannungsfeldanteiles kann bei bestimmten Arten der Probenbelastung und Probengeometrie zu einer erheblichen Korrektur des K-Wertes führen.Im experimentell gewonnenen Schaubild, das die Rißgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Spannungsintensitätsfaktors darstellt, verursacht die dynamische Korrektur eine Verschiebung der Kurve zu etwas niedrigeren K-Werten. Dies bedeutet, daß der K-Wert bei der Rißverzweigung kleiner ist als bisher angenommen; eine Tatsache, die besonders in Verbindung mit der SEN-Bruchprobe von Interesse ist.

     

Notes on plastic reloading zone in the asymptotic analysis of elastic-plastic crack extension

Summary The asymptotic structures of near-tip stress and deformation fields are studied for steady-state crack extension in elastic-plastic solids. The condition for the existence of a plastic reloading zone is formulated. If a plastic reloading zone is to exist in hardening materials, the effective stress must become unbounded as the crack flank is approached. It is shown explicitly in the case of mode III that solutions with logarithmic singularity produce negative plastic dissipation in the plastic reloading sector.

---

Über die rückplastizierte Zone bei asymptotischen Lösungen der elastisch-plastischen Rißausbreitung

Übersicht Untersucht wird die asymptotische Form von rißspitzennahen Spannungs- und Verformungsfeldern bei der stationären Rißausbreitung in elastisch-plastischen Körpern. Die Bedingung für die Existenz einer rückplastizierten Zone wird formuliert. Wenn eine solche Zone bei verfestigendem Material vorhanden sein soll, muß die Vergleichsspannung bei Annäherung an die Rißflanke unendlich werden. Es wird gezeigt, daß bei Mode III die Lösungen mit logarithmischer Singularität negative Dissipation in der rückplastizierten Zone bedeuten würden.