数学归纳法

数学归纳法刘昌尧（宜昌教育学院）［基本概念］数学归纳法是数学证明的一个重要工具．设ｐ（ｎ）是与ｎ有关的一个命题．为了证明ｐ（ｎ）对于ｎ≥ｎ０（ｎ０≥１，ｎ０∈Ｎ）的一切ｎ均成立．先证明当ｎ取第一个值ｎ０时ｐ（ｎ０）成立，然后假设当ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥...     

数学归纳法

数学归纳法是论证与自然数n有关的命题的一种常用思想方法,应用范围极宽,它在数学竞赛中占有特殊地位。如何合理、灵活地运用数学归纳法?这是下面所要谈及的主要问题。一、因势利导——善“退”完成数学归纳法,两个基本步骤缺一不可。比较而言,使我们陷入困境的多数归于递推步然而纵观递推步完成的百般变化,归结起来,首要的是善于因势利导,由“k 1”退到“k”。例1 证明:对任何非空的有限集合,都可以把它的所有子集排成一列,使得除第一个外,每一个子集合都可以由它前面的那个子集增加或减少一个元     

帕斯卡与数学归纳法

帕斯卡与数学归纳法孙宏安（大连教育学院１１６０２１）数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题Ｐ（ｎ）的一种方法，是人们最早掌握的递归方法．其具体操作是：１°证明Ｐ（１）为真；２°假设Ｐ（ｋ）真，证明Ｐ（ｋ＋１）为真．若１°，２°都得证，则Ｐ（ｎ）对所有自然...     

多米诺骨牌效应与数学归纳法

数学归纳法是中学数学中传统数学的教学内容 ,也是中学数学教学的难点 .本人在“数学归纳法”的教学中 ,尝试过多种方法 .发现采用“实验—建模”法对“数学归纳法”进行教学是提高该堂课教学效果的好方法 .同时也是通过实验、数学建模引导学生探索知识、形成能力、达到素质发展的好方法 .1　实验过程1.1　准备按顺序摆放一排立起来的长方块 (如“军旗”粒或骨牌等 ) ,每两个长方块的距离一定 ,确保前一块倒下 ,能推倒后一块 .1.2　实验推倒第一块 ,让学生观察结果 .然后 ,由第二块、第三块、……开始 ,多次重复上述实验 .1.3　结果推倒第ｎ…     

数学归纳法与情景教学

就某种意义上说,数学是数学家的约定,是文字符号的游戏法则.但如果仅囿于这个法则内别人已经解决的问题,或者只能在这个法则内释疑别人提出的有现成答案的问题,而不能或鲜有培养学生创没并解决新问题,那么这样的数学教育是缺乏创新精神的.按照这样的游戏规则(也可以扩充)能自由地创没并解决新的问题,这对于数学教师来说无疑是十分必要的.……     

反向数学归纳法

反向数学归纳法４３００７０华中师大数学系郑学群我们知道第一数学归纳法是：（１）命题ｐ（ｎ）当ｎ＝１时正确；（２）从命题ｐ（ｎ）的正确性推出命题ｐ（ｎ＋１）的正确性，那么命题ｐ（ｎ）对所有的自然数ｎ都正确．数学归纳法的第二步是证明命题的关键，通常是由自...     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

漫谈数学归纳法

漫谈数学归纳法韩景志（安徽定远中学２３３２００）数学归纳法是一种很重要的数学方法它的广泛实用性是众所周知的但对这种方法的历史来源，理论基础，运用技巧，以及它和其他数学方法之间的联系，人们却考虑甚少，也知之不多本文就想简要地谈一谈这些问题１数学...     

数学归纳法选择题

1.欲用数学归纳法的原理到渐2’>。’,,的第一个取值应当是() (A)大于l而小于10的某个整数; (B)大于10的某个整数; (C)10: (D)原不等式不能对某个。值以后的所有自份数成立. 2.当我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数,的命题时,在由“,。k时论断成立’。‘月二k十1时论断也成立.的过程中,() (人)必须运用归纳假设; (B)可以部分地运用归纳假设; (C)可以不用归纳假设; (D)卜应当视情况灵活处理.3.用数学归纳法证明:共十一共十.” 月十l月十乙 一l一> 月十月变化是(-!3~~J.,..一一~~一、‘一不二以住甲,K,尤十I俐小即AZ仁边倒石,(A)(B…     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

数学归纳法与匹亚诺公理

数学归纳法推理是典型的三段论，而不是完全归纳法，其基础是自然数列的性质，而不是逻辑公理，皮亚诺公理中的归纳法公理并不是一种证明方法，而是自然数集的一条不可缺少的根据性质。     

数学归纳法的理论依据

我们在中学教数学归纳法时,经常碰到一些勤于思考的学生提出:“数学归纳法的理论依据是什么?”这个问题在“高等代数”中早有论述,为着爱护同学们的探索精神和求知欲望,我们以课外活动形式,作出简要的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。 1962年华罗庚教授在一次讲话中说:“简单朴素的数的性质,成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P(n)的重要方法,它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。 1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数系公理,揭示出自然数集Ⅳ的基本性质。 (1)1∈N。 (2)若a∈N,则有且仅有一个自然数紧跟在a后面,记为a+1。 (3)若a∈N,则A+1≠1。 (4)设x∈N,y∈N,当x+1=y+1时,x=y。     

极限、数学归纳法

本单元知识点及重要方法1)掌握数列极限的定义 ,会对指定的ε求Ｎ ;2 )掌握数列极限的四则运算法则以及使用这些法则的两个前提条件 ,并掌握数列极限的求法 ;3)当 |ｑ|<1时 ,会求无穷递缩等比数列各项的和 ,从而进一步理解在一般意义下的Ｓ =ｌｉｍｎ→∞ Ｓｎ;4 )理解数学归纳法的基本步骤的必要性 ,并能熟练应用数学归纳法解题 ;5)会利用“归纳—猜想—证明”以及“特殊———一般”的思想解决探索性问题 ;6)会化无限循环小数为分数 .练习选择题1　下列命题中 ,使ｌｉｍｎ→∞ａｎ=Ａ成立的一个充分条件是 (　　 )(Ａ)对于任意给定的正数…     

考点38 数学归纳法

1.(辽宁卷,19)已知函数f(x)=x 3x 1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an 1=f(an),数列{bn}满足bn=an-3,Sn=b1 b2 … bn(n∈N*).()用数学归纳法证明bn≤(32n--11)n;()证明Sn<233.2.(江西卷,21)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an 1=21an(4-an),n∈N.(1)证明an相似文献   

数学归纳法的构造

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在各个数学分支领域中都有着极为广泛的应用,正确地掌握并灵活地应用此方法是数学教学的基本要求之一.数学归纳法具有多种形式,无论何种形式其核心都是必不可少的两个基本步骤.对于各种具体问題选用适宜的数学归纳法形式以使两个基本步骤得以实现是解决问题的重要一环.这方面已有不少论著作出广泛的讨论.本文的主要目的在于给出数学归纳法的一个一般性定理,由此不仅可以     

絮话数学归纳法

絮话数学归纳法２３００２６中国科技大学数学系苏淳数学归纳法是一种重要的数学方法，有关归纳法的试题在数学竞赛中屡见不鲜．但要用好归纳法，却往往需作一番认真的构思．我们还是通过例子来说明．例１证明，对一切自然数ｎ，都存在自然数ｘｎ和ｙｎ．使得Ｘｎ２＋ｙｎ...     

数学归纳法及其应用

1　基本原理数学归纳法是一种重要的数学证明方法 ,在与自然数有关的命题研究中 ,我们常用数学归纳法进行推理和证明 .下面的问题是大家十分熟悉的 .例 1　证明 :13 2 3 … ｎ3=[ｎ(ｎ 1)2 ] 2 . ( 1)　　分析 :要证明上面的等式对所有的自然数ｎ成立 ,只要证明1)它对ｎ =1成立 (起步 ) ;2 )设它对ｎ =ｋ成立可以推出它对ｎ =ｋ 1也成立 (递推 ) .事实上 ,ｎ =1时 ,13=[1·( 1 1)2 ] 2 ,等式成立 ,假设当ｎ =ｋ时等式成立 ,即 13 2 3… ｋ3=[ｋ(ｋ 1)2 ] 2 ,上式两端同时加上 (ｋ 1) 3,得 13 2 3 … ｋ3 (ｋ 1) 3=[ｋ(ｋ 1)2 ] 2 …     

数学归纳法的应用

本文的目的是用数学归纳法证明下面(2)和(3)当扭)1和k妻1时令燕二胡(m十1)而孔(仇)=艺式是成立的.砂又令.火J了、了吸、z‘、一一一一一一一一阶树(x)树l(x) 35?。户犷︸J子了尸护J了jf:(x)f、(二)j‘(义)f。(x)=1,=(3x一l)/5,(3x,一3x+z(sx”一zox,-二一3)/25jlS fi。(x)=(s%4一lox则_兰1(I(5时我们有 证明;当2《l(_时,17x“一15x+5)/111)/7+9劣-3+17: S:L+:(二)=(m“f:L+x(沉))/4,n~1 (2)2“一1)/3,3x忿一:x+旦)/6,细’一5义“+。x一3)/5,(l)=(Zx‘一8二3+1 7x“一20二+10)/6,::(m)=(Zm+l)策f:L(不))/6.(3)我们有(。+2)L一二L“(。+…     

重视应用数学归纳法

<正>同学们知道,数学归纳法是一种较为特殊的证明方法,同时也是一种非常重要的证明方法.对于与自然数有关的命题,都可以运用它来进行证明.但是,由于在高考中,对数学归纳法的考查并非重点,以致于同学们对此并不加以重视,这不能不说是一种无奈的缺憾.有感于此,本文拟对数学归纳法做些解读,以期能引起同学的关注.一、准确理解数学归纳法对数学归纳法的理解主要包括对其原理与步骤两个方面: