启发的三层次——“抛物线焦点弦的性质”的教学

对课堂教学的核心问题,早早筹划好启发的层次,应是明智之举.本设计安排的三层次,对于计算问题来说,也是具有一般性的:要计算某个量,可以先问:这个量是随着哪一个量的变化而变化的,它是哪一个量的函数?你是怎样看出来的,这是第一层次的启发问题;再问:具体的猜一猜,它是怎样的一个函数?(与角α的什么三角函数,有怎样的关系)也说一说你这样猜测的理由,这是第二层次的启发问题;最后,第三层次的问题,验证,回顾反思,收获各种副产品.依我看来,一般的启发,都应类似这样地安排好三个层次的启发问题为妥.     

怎样快速判断含有表格的函数类型

<正>在近几年中考函数试题中,经常遇到一类问题:给出一个表格,让学生根据里面的数据判断是哪一种函数,很多学生遇到这类问题,有的束手无策,不知如何判断,有的是采用建立坐标系,利用描点连线来判断,这样不但费时,而且也极易出错.那么怎样才能快速判断是什么函数呢?下面我告诉大家一个简单的方法:若表格中x和y的乘积不变,那么就是反比例函数,若x变化相同的数时,y中的数据也变化的相同,那么就一定是一次函数,因为题目要求你只在三种函数,即一次函数、二次函数、反比例函数中选择,所以,若通过我们     

关于多值复变函数积分的一个注记

<正> 多值复变函数的积分,不但要指明对哪一个单值枝积分,而且须指出这个单值枝是以何种方式确定的,也就是怎样作复平面的割痕.对于后一同题,复变函数教科书里讲的不多,本文以例讨论这个问题.     

关于多值复变函数积分的一个注记

<正> 不言而喻,我们在作函数的种种运算(包括积分)时,首先要求那些函数是单值的。对于多值复变函数的积分,则不但要指明对哪一个单值枝积分,而且须指出这个单值枝是以何种方式确定的,也就是怎样作复平面的割痕。对于后一问题,它在通常复变函数教科书里还没有受到过应     

快速求三角函数值的一种教法

已知一个角的三角函数值,求该角的其它三角函数值,教材(全国统编高中《代数》甲种本第一册)上分三种情况讲述:一是函数值已知且角所在象限被指定;二是函数值已知但角所在象限没定;三是函数值用字母给出而没定角所在象限.这些内容是同角三角函数关系的一个重要应用,学生应牢固掌握,迅速求其值。但随着教学内容的不断深入,仍一律如此求值,有时就显得烦琐笨拙了.哪么能否有简捷快速求法?怎样求?下面结合自已的教学实践,谈谈这方面的具体做法,供同行评说。一、预备知识。     

一个游戏问题的猜想与证明

<正>1一个游戏同学们,你喜欢哪三个数字?用你喜欢的这三个数字组成一个最大的三位数M,再组成一个最小的三位数或形式上的三位数m.计算M与m的差C(不要告诉老师).交换C的个位数字与百位数字的位置,得到一个三位数或形式上的三位数C′.你现在计算C与C′的和H.老师能猜到你得到的和H是多少.你信不信?     

高考中涉及的"恒"与"都"问题

在数学问题中常遇到这样一类特殊的问题:无论问题多么复杂,条件怎样变化,问题本身总是恒定、不变的,我们称之为"恒"成立或"都"成立问题."恒"成立或"都"成立问题常见的有三类:一是在某条件下曲(直)线"恒"、"都"过定点;二是在某条件下代数式"恒"、"都"取定值;三是在某条件下不等式(等式)"恒"、"都"成立.在近年的高考中每年都有涉及,"恒"、"都"成立问题常与函数、不等式、数列、解几等知识联袂出题,多以中、高难度的题型出现.本文归纳出三类"恒"、"都"问题的题型及解题方法并以2005年、2006年全国各地高考题为例进行说明.     

非周期函数证明二三例

在学习“函数周期性”的内容时,往往遇到样这的问题:怎样证明某个函数是非周期函数?鉴于这方面资料甚少,下面给出三个证明的例子,供大家参考。错漏之处,敬请指正。 例1 试证明函数y=xcosx是非周期函数。 证:设f(x)=xcosx是周期函数,且l是它的一个周期(自然l≠0)。则对任意x应有:     

S型空間的广义函数論与展論

<正> §1. 广义函数构造的研究是广义函数論的一个課題.不少广义函数是有限級的(如S广义函数),就可以通过連續函数(或L_2可积函数)的某阶广义微商表出,从而很多問題的处理都变得簡单了.但是还有很多广义函数是无限阶的,它們的表示怎样?作为S′的推广,我們将研究空間的一个表示問題,証明它們也可以看成是一个     

万事起头难,“生疑”是首要

高考、中考中,乃至作业中,一个题你已经做好了.如果你这“解法”有错误,或者不完全对,而你自己却还不知情时,最重要的是什么呢?最重要的是“生疑”!是从不同的角度考虑后,你对这一解法自己产生了怀疑.决不是“为什么错?”因为你还蒙在鼓里呢,还不知道这解法已经错了.“为什么错?”只是第二步时要追究的.第一步是“生疑”,第二、三步才是“析疑”、“解疑”:“为什么错?”“错在哪里?”“完整的解答是怎样的?”没有这第一步,就决不会再有第二步、第三步的.所以,在课堂教学上,当发现学生有错误时,重要的是如何去启发学生“生疑”,自己意识到这“解法”可能有误.而不是直接告诉学生“为什么错?”以及它的正解.这正是当前的一些课堂教学中所缺失的;也是本篇设计的意义之所在!     

"望闻问切"在数学教学中的应用

课堂上学生动态发生的信息有些是预料之中的,有些是预料之外的;有些是对后续教学有促进作用的,也有些是会起到干扰作用的.这些信息有一个共同的特点,那就是本真性,不管是哪一类信息,都是学生的真实想法.因此,数学教师要用心读懂学生的这些本真信息,如学生的思路、想法、理由、疑惑等,特别是要读懂学生表象背后的东西,仔细揣摩他们是怎样思考的.只有切实读懂了这些信息,才能有的放矢地应对它.     

第一讲 分数、百分数应用题巧解

【竞赛知识精要】 1.分数应用题的基本类型,有如下三种: (1)求一个数的几分之几是多少; (2)求一个数是另一个数的几分之几; (3)已知一个数的几分之几是多少,求这个数。 这三种基本类型,均可用比较量/标准量=对应分率来概括。 2.分数、百分数应用题在三种基本类型的基础上,引出多种变化,它往往与工程问题、比和比例问题、浓度问题、折扣问题等知     

高阶优化算法分析简介

高阶优化算法是利用目标函数的高阶导数信息进行优化的算法,是最优化领域中的一个新兴的研究方向.高阶算法具有更低的迭代复杂度,但是需要求解一个更难的子问题.主要介绍三种高阶算法,分别为求解凸问题的高阶加速张量算法和A-HPE框架下的最优张量算法,以及求解非凸问题的ARp算法.同时也介绍了怎样求解高阶算法的子问题.希望通过对高阶算法的介绍,引起更多学者的关注与重视.     

133和谐扩展的一个教学实例--"实数"的教学设计

翻翻中小学数学课本 ,你或许会惊异地发现 ,和谐地扩展 ,竟是数学教学材料展开的始终不渝的看不到尽头的一道风景线 :数的概念 ,指数 ,角 ,距离 ,等式——方程——不等式 ,函数 ,坐标等 ,哪一个重要概念不是在不断地扩展着的 ?哪一次扩展又不是尽可能地保持和谐的 ?“数学家们总是要把他心中认为重要的基本的东西 ,一个个尽其可能的都推展到极致 .”查查历来的数学考卷 ,又有哪一次哪一份 ,把数学家工作过程中如此重大重要的思想 ,曾经纳入到了考卷与考题之中 ?奇怪么又毫不奇怪 .因为传统上认为 ,数学就是解 (难 )题 ,别的似乎都不重要 .在强调素质教育的今天 ,这个现象 ,这种“认为”,难道不值得反思并加以研究么 ?爱因斯坦早有名言 :“提出问题比解决问题更重要 !”而数学在思维训练上又有一个天然的优势 :总是可以和谐地扩展式的提问的——也许有一天人们会认识到 ,这种训练对人的发展是多么重要 .     

用几何画板的轨迹功能探讨数学问题的解法

几何画板是数形结合的一个特殊工具,在未明确数学问题函数关系的情况下,利用它的轨迹功能,可以将量与量之间的变化曲线定量地描画出来.反过来,量的直观变化过程中图像上各个点,对应着数学问题元素之间的关系.几何画板实现了联动,拖动数学问题的元素,     

从变量数学到现代数学(续一)

3·函数概念的诞生与演变数学从对运动的研究中引出了一个基本概念,其后的200年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心的地位,这个概念就是函数.近代数学的主体主要是围绕着函数和极限概念展开的.随着变量数学特别是数学分析的发展,函数概念也经历了深刻的变化,这主要是出于数学自身发展需要.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中.他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到的,或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.自从牛顿于1665年开始微积分的工作后,他一直使用“流量”一词来表…     

统计学入门(Ⅶ)

十二、参数的点估计 在许多实际问题中,对总体的分布类型有所了解,例如根据过去的经验知道产品的某种性能服从正态分布.此时我们需要知道的是对于特定的一批产品,这个性能达到什么样的水平?这就需要对该正态分布的两个。参数:均值μ及方差σ2中的一个或两个进行估计.根据样本数值对总体的未知参数进行估计的问题称为参数估计,这是统计推断中的第一大类问题. 有两种参数估计的方法.第一种方法是通过样本计算一个统计量(样本的函数),将它作为未知参数的估计.由于这是用一个量也即一个点值来对一个参数进行估计,故称为点估计. 如果未知参数在总…     

103 反函数

1　复习旧知 ,为“扩展建构”提供支撑点提问　函数中对应的类型 .试分析下列函数是什么类型的对应 ?① ｙ =2ｘ+1;② ｙ =ｘ2 ;③ ｙ =ｘ2 (ｘ ≥0 ) .板书对应的框图 :对应法则　一对一　　　多对一是否映射　　是　　　　　是　　　　图 1还有一种对应 ,如图 2 ,是一对多 ,就不是映射了 .函数 :Ⅰ是映射 ,ⅡＡ、Ｂ是非空数集 .函数三要素 :定义域、值域、对应法则 .图 22　把对应“逆过来”如何———一种扩展数学研究中 ,经常是 ,研究了原问题后 ,就会开始考虑它的逆问题 (这也是对原问题的深化的理解 ) .问 :把一个对应逆过来 (说明“逆过来”的意思 )后 ,对应的状况是怎样的呢 ?对应的法则又可用什么式子来表达呢 ?板书逆对应的框图 (图 3 ) :引导学生观察板书中的逆对应 ,讨论三个题目 :( 1)逆对应分别是什么类型的对应 ?( 2 )把 ｙ看成自变量 ,分别考察它们还是一个函数吗 ?( 3 )如果是函数 ,它们的定义域是什么 ?学生发现 :“一对一”对应的逆对应 ,仍是“一对一”对应 ;“多对一”对应的逆对应 ,成为“一对多”对应了 .说明 ,只有前者 ,对于ｙ在值域...     

有关"现值"与"终值"问题的再探讨

文[1]对顺利解决有关金融中的数学问题很有益处,对把握分期付款的教学也很有启发意义.使读者很清楚地领悟到在计算年金时利用现时值或终时值一定要用统一的同一个时间来计算,即不同时间的钱不能进行简单相加,不同时间的钱也不具有可比性.     

指数函数e^x的特性及其应用

在初等函数中,指数函数y=ex有一个重要的分析性质:(ex)′=(ex)″=…=(ex)(n)=ex.即ex的任意有限阶导数都等于它自身.这是初等函数中,除常量函数y=0以外,ex所特有的性质.我们不妨形象地把这种特性比作“惰性”.正是这种“惰性”,在高等数学的计算和证明中,有着广泛的应用.教师在教学中,若能注意及时启发学生学会分析和运用它,这对于帮助学生提高思维能力是有一定作用的.一、在微分学中的应用在运用微分中值定理及导数性质证明等式(或方程的根)及其他问题时,应用这个特性,构造辅助函数或作恒等变形,进行证明.例1　设f(x)和g(x)在区间[a,b]上连…