对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

函数与其反函数的图像的交点性质

一、问题的提出在学习反函数的时候,有性质“函数y= f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称”．这使得学生猜想:一个函数与其反函数的图像的交点必在直线y=x上．课本上的例子如y=x3与其反函数y=3(x~(1/2))就有三个交点(-1,-1)、(0,0)与(1,1)均在直线y=x上     

只有单调函数才有反函数吗

《高中代数疑难解析》(河南教育出版社)在第27页中给出“判定函数是否存在反函数”的一种方法是:若给定函数y=f(x)是从定义域到值域的单调函数,则y=f(x)在其定义域上存在着函数;否则,y=f(x)在其定义城上不存在反函数”。《高中代数》(上海科技出版社)在第130页中也说:“只有当函数y=f(x)在整个定义域内是单调函数时,这     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

反函数学习中应注意的几点

一、反函数的存在性在定义域上单调的函数一定有反函数,但在定义域上非单调函数未必没有反函数,或者说有反函数的原函数不一定是单调函数．如函数y=1/x(x≠0)有反函数,但其在定义域上不是单调函数．二、互为反函数的函数的图像交点情况     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

函数概念辨析

同济大学数学教研室主编的高等数学教材给出如下的函数定义：定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一个数X∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．我们在教学过程中发现：对正在学习高等数学的低年级学生,此定义会产生一些歧义,给正确理解函数概念带来一定的困难．这主要是因为定义1中“确定”两字意义不明确造成的．换句话说,给一个工,到底y有确定的多少个数值时,y与工的关系为函数关系．下面来看几个例子．例1在直角坐标系中,考虑方程x2＋y2=a2,因当x取a或一a时,有确定的y值O与x对应…     

这种解法对吗

题目 (2002年、高考、新课程卷)函数y=2x/1 x(x∈（-1， ∞））的图象与其反函数的图象的交点坐标为——．     

一个错误的结论

《数学通报》2006年第10期的文章《重视高中女生数学能力培养教学举措初探》中指出：“如何求函数y=x/1-3x的图象与其反函数（图象）的交点坐标？引导学生从反函数的性质考虑问题，利用原函数与反函数的图象交点落在直线y=x上，那么不必求出反函数，只需解方程x=x/1-3x即可迅速获解．”     

反函数的一个重要性质在高考中的应用

我们知道,函数y=f(x)若存在反函数,则y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)有如下性质：若y=f~(-1)(x)是函数y=f(x)的反函数,则有f(a)=b(?)f~(-1)(b)=a．这一性质的几何解释是y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图像关于直线y=x对称．也就是说若原函数过点(a,b),则其反函数必过点(b,a)．反函数中这个重要的小结论,别看它貌     

对函数式y=f(x a)理解不当致错两例

《函数》一章是高中数学的重点,函数的有关概念有时很抽象,容易产生错误认识. 1.y=f(x 1)与y=f-1(x 1)的关系. 很多同学认为这两个函数互为反函数,这说明对反函数的概念没有真正理解,如果我们要得到了y=f(x 1)的反函数,按照反函数的定义应该这样做:若f(x)有反函数,先反解     

一道试题的错解分析

剖析．上述两种解法得到两个不同的结论，谁对谁错呢？事实上，原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上，如y=1/x的反函数仍为y=1/x,故y=1/x的图象与其反函数的图象交点为y=1/x的图象上的任意点，从而易知原函数图象与其山反函数图象的交点不一定在直线y=x上，但有以下两个重要结论．     

反函数学习中常见问题及剖析

反函数是高中数学函数中非常重要的概念,学习反函数要注意两个方面,一方面是正确利用定义去判断一个函数是否存在反函数,另一方面是正确求出一个函数的反函数,分三步进行,即一解（解出x）、二换（互换x,y）、三注明（写出反函数的定义域,即原函数的值域）,但我们在学习时,特别是求一个函数的反函数时的主要问题是：     

2007年高考反函数试题在线

反函数是高考试题中出现频率较高的一个知识点,2007年全国共有12省、市考查了反函数,这些考题全部出现在选择填空题中,归结起来主要考查四方面内容:1考查求函数的反函数例1(天津理5):函数y=log2(x 4 2)(x>0)的反函数是A.y=4x-2x 1(x>2)B.y=4x-2x 1(x>1)C.y=4x-2x 2(x>2)D.y=4x-     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

论一一对应的判定法

高一课本定义了一一对应:设A、B是两个集合,f是从集合A到集合B的单值对应,如果对于集合A的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中的每一个元素都有原象,这个单值对应就叫做从A到B的一一对应。并在此基础上定义了反函数。因此,欲求已知函数y=f(x)的反函数,必须事先判定函数y=f(x)的定义域与值域之间的单值对应y=f(x)是不是一一对应。若是一一对应,则其反函数存在,且可根据书上的方法求出;若不是一一对应,则其反函数不存在,须对定义域给予适当的限制,使之与值域之间构成一一对应,从而     

对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

反函数中的几个常见错误观点

观点1函数y-f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像若有公共点,则公共点必在直线y-x上;观点2若函数y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;观点3函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则必有f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x成立;