试题研讨(14)

试题 ( 2 0 0 3年省际重点中学大联考 )设数列 {an}的前 n项和 Sn =n2 ( an + 1 ) ,n∈N+ ,a2 =a.( 1 )求证 :数列 {an}为等差数列 ;( 2 )若 a =3,Tn =a1a2 - a2 a3 + a3 a4-a4a5+… + ( - 1 ) n-1anan+ 1,求 Tn.命题溯源　此题是在 1 993年上海市高考试题 ( 2 5)的基础上 ,根据 1 994年全国高考试题 ( 2 5)改编的 .主要考查等差数列的基础知识、数学归纳法及推理论证能力 .原解思路　由　 Sn =n2 ( an + 1 )　得a1=1 ,又 a2 =a,则可猜想an =1 + ( n - 1 ) ( a - 1 ) ( * )下面用数学归纳法加以验证 .1 n =1、n =2时 ( * )式都成立 ;2假设…     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

柯西不等式的一种构造证法

一维离散型随机变理X的方差(或数学期望)蕴含着一个不等式关系,即E(X2)≥(E(X))2(*)当且仅当X服从退化分布时(*)式中等号成立.柯西不等式设n为大于1的自然数,a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn为实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当b1=b2=…=bn时成立(当bi=0时,约定ai=0,i=1,2,…,n).     

为什么有不同的结果

问题:已知数列{an}满足a1=51,an+an+1=54n+1,求lni→m∞(a1+a2+a3+…+an)的值.(2004年高考湖南第8题)方法(1):a1+a2+a3+…+an+…=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…=542+544+546+…=1-542512=61.方法(2):a1+a2+a3+…+an+…=21[a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(a4+a5)+…]=2151+542+543+543+…=51方法(3):由an+an+1=54n+1,an+1+an+2=54n+2,两式相减得,an-an+2=51n6+2=51n6+2=1256·51n,利用a1-a3=1256·51,a3-a5=1265·513,a5-a7=1256·515,…,a2n-1-a2n+1=1256·521n-1,以上n个等式全部相加得,a1-a2n+1=215615+513+…+521n-1=1251-512n,所以a2n+1=115…     

新题征展(129)

A 题组新编1.(1)设x∈R+,e表示自然对数的底,求证:函数y=(1+1/x)s,y=(1+1/x)(x+1)分别单调递增、递减,且(1+1/x)x＜e＜(1+1/x)(x+1);(2)已知数列{an}满足2Sn=nan,其中Sn是{an}的前n项和,a2=1,求证:3/2≤(1+1/(2an+1))n＜√e.2.已知a1C0n+ a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn=n·2n对任意的正整数n恒成立.(1)若a1,a2,a3,…,an+1成等差数列,求出该数列的通项公式;(2)若a1是已知数,求数列a1,a2,a3,…,an+1的通项公式.     

独辟蹊径智取高考压轴题

在近两年全国各地的高考试卷中,出现了几道题设中未指明用数学归纳法,但参考答案中仅提供了用数学归纳法解答的试题,如2005年浙江卷、湖北卷、江西卷的压轴题,以上几道题的解答都可以避开数学归纳法,独辟蹊径巧妙解答!1.根据单调性,避免用数学归纳法例1数列{an}满足a1=1且an 1=(1 n21 n)an 21n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1 x)0成立,证明:an相似文献   

试题研讨(24)

题 1　 ( 2 0 0 4年中山市高三联考试题 )数列 {an}满足 a1=0 ,且 an+ 1=3an + 1an + 3,试问 :m为何值时 ,总存在正整数 n使 an+ 1相似文献   

一道课本题的推广

新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1　若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证　∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2　若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证　利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) …     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

不等式sum from k=1 to n(1/(a_k))≥(n~2/(sum from k=1 to n))(a_k∈R~+)的应用

近年来 ,在国内外数学竞赛及《数学通报》数学问题中 ,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题 .这些问题若用柯西不等式的一个推论 nk =11ak ≥ n2 nk =1ak(ak ∈R+) ,(注 )可巧妙地得以证明 ,而且方法通俗易懂 .注 :( 1 )文中英文字母都是小写的( 2 )字母右下角的数字为下标( 3)字母右上角的数字都是幂指数题 1　设正数a1 ,a2 ,… ,an 之和为S .求证 nk =1akS-ak ≥ nn- 1 (n≥ 2 )( 1 976年英国竞赛题 )证明　 nk=1akS -ak = nk=1( akS -ak + 1 ) -n = nk=1SS -ak-n=S nk=11S -ak-n≥S· n2nS- (a1 +a2 +… +an) -n= n2n- 1 -n…     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

等比数列前n项和S_n的一个性质的两个补充

1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n     

一道综合题的新解及推广

《数学通讯》2 0 0 1年第1 5期的“综合题新编”题1 4是一道不可多得的数列综合题,但吴伟朝老师在原稿中提供的解法不容易想到,笔者曾花了很长时间才弄懂.后来,笔者经过思索,找出一种更简明易懂的解法.在此提出来,若有不足之处,还望大家斧正.原题　在数列{an}中,a1=1 ,an +1=2an+n2 (n =1 ,2 ,3,……) ,求通项an.解　设an +1+ (n + 1 ) 2 +k(n + 1 ) +c=2 (an+n2 +kn +c) ,∵an +1=2an+n2 ,代入上式比较系数,得　　k =2 ,c=3.∴an +1+ (n + 1 ) 2 + 2 (n + 1 ) + 3=2 (an+n2 + 2n + 3) .令bn=an+n2 + 2n + 3,则{bn}是公比为2的等比数列,且b1…     

从一道试题剖析用数学归纳法证题时的常见错误

我市部分重点高中上学期末进行了联考 ,试卷中有这样一道题 :已知数列 { an}中 ,a1= 3,其前 n项和 Sn满足 Sn=6 - 2 an+1 ,计算a2 ,a3 ,a4,然后猜想出 an 的表达式 ,并证明你的结论 .此题是道好题 ,不但好在它新颖 ,灵活 ,而且好在它的解答过程可以检测学生可能出现的多种错误 .在求出 a2 =32 ,a3 =34,a4=38后 ,不难猜出 an=3.(12 ) n-1 ,因为题目未指明证明方法 ,所以 ,可以用数学归纳法证 ,也可以用其它方法证 .在证明过程中 ,果然同学们的答案里出现了多种错误 .错解 1　证明 :a1 =3,n≥ 2时 ,an =Sn- Sn-1 =6 - 2 an+1 - (6 - 2 an)=2…     

让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考

1999年全国高中数学联赛的第五大题为:给定正整数n和正数M,对于满足条件　　　　　a21+a2n+1≤M(1)的所有等差数列a1,a2,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.这是一个关于数列、不等式和极值等知识的综合性题,着重考查学生综合应用知识的能力.下面是命题组提供的解答:解法1(配方法)　设公差为d,an+1=a,则　　S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+n(n+1)2d,故有　　　a+nd2=Sn+1.于是　M≥a21+a2n+1=(a-nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2.(2)因此　|S|≤102(n+1)M,且当a=310M,d=4101nM时,S=(n+1)[310M+n24101nM]=(n+1)510M=102(n+1)M,且由于此时4a=3nd,故a21+a2n+1=410(Sn+1)2=410.104M=M.所以　S的最大值为102(n+1)M.显然,解法1不失为一种“优美”的解答,它所用到的凑配技巧确实构思精巧,解法独特,充分体现了(凑)配方技术的魅力和解题技巧性的高明.可以说,将(1)式凑配为(...     

两个定理的简证

贵刊文 [1 ]给出以下两个定理 :定理 1　已知 x,y,a,b∈ R+ ,且 x + y =1 ,则 axn + byn 的最小值为 ( n+ 1a + n+ 1b ) n+ 1,此时　 x =n+ 1an+ 1a + n+ 1b,y =n+ 1bn+ 1a + n+ 1b.定理 2　已知 a1,a2 ,… ,an,x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,且 x1+ x2 +… + xn =c,则a1xm1+ a2xm2+… + anxmn≥( m+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an) m+ 1cm ( m≥ 2 ) ,当且仅当xi = cm+ 1aim+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an( i =1 ,2 ,… ,n)时等式成立 .文 [1 ]分别用两种不同的方法给出了以上两个定理的证明 ,但都较繁 (定理 2的证明中还使用了中学生所不熟悉的加权幂平均…     

一道“华约”数列题的构造放缩证明

<正>问题(2013年"华约"第5题)数列an+1{an}中的各项均为正数,且对任意的n∈N*满足an+1=an+ca2n(c>0).(1)证明:对任意的M>0,存在正整数N,当n>N时,an>M成立;(2)设bn=1/can+1,Sn=b1+b2+…+bn,证明:对任意d>0,存在正整数K,当n>K时,0<|sn-1/ca1|相似文献   

第64届普特兰数学竞赛A2题的推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题:设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn都是非负实数,证明:(a1a2…an)1n (b1b2…bn)1n≤[(a1 b1)(a2 b2)…(an bn)]1n.对该试题的证明本文不做探讨,以下研究该不等式题的推广及其应用.推广如果x1i,x2i,…,xmi,(i=1,2,…n)为非负实数,则:(x11x12…x1n)1n (     

这样证明柯西不等式行得通吗?

在某文稿中,作者讲述如何用向量来解题,有一个例子是用向量证明柯西不等式——对任意实数。a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,n∈N*,有(a1+b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(612+b22+…+bn2),当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立.文稿给出的证明简要如下:     

《数学通报》1624号问题的两个别证及再推广

1 问题的提出 <数学通报>2006年7月号问题1624: 若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1) 在2006年第8期,问题提供人刘俊老师构造n维向量,利用向量性质|m·n|≤|m|·|n|给出了一种证明方法;在<数学通报>2008年第5期罗邦华老师利用一个不等式引理又给出了一种证明方法,并将其结果进行了推广.