Effect of radial and rotational lubricant inertia on the pressure distribution in externally pressurised thrust bearings

Expressions are obtained for the pressure distribution in an externally pressurised thrust bearing for the condition when one bearing surface is rotated. The influence of centripetal acceleration and the combined effect of rotational and radial inertia terms are included in the analysis. Rotation of the bearing causes the lubricant to have a velocity component in an axial direction towards the rotating surface as it spirals radially outwards between the bearing surfaces. This results in an increase in the pumping losses and a decrease in the load capacity of the bearing. A further loss in the performance of the bearing is found when the radial inertia term, in addition to the rotational inertia term is included in the analysis.Nomenclature r, z, cylindrical co-ordinates - V _r, V , V _z velocity components in the r, and z directions respectively - U, X, W representative velocities - coefficient of viscosity - p static pressure at radius r - p mean static pressure at radius r - Q volume flow per unit time - 2h lubricant film thickness - density of the lubricant - r ₂ outside radius of bearing = D/2 - angular velocity of bearing - R dimensionless radius = r/h - P dimensionless pressure = h ³ p/Q - Re channel Reynolds number = Q/h     

The boundary-layer flow past a suddenly heated vertical surface in a saturated porous medium

The boundary-layer flow generated on an impermeable vertical surface in a saturated porous medium is considered in the case when wall heating at a rate proportional tox is switched on at timet=0, (x measures distance along the wall and is a constant). The similarity equations which hold in the limit of larget are discussed and are shown to have a solution only for >–1. The behaviour of the solution as –1 and as is obtained. Numerical solutions of the initial value problem are then obtained for a range of values of . A direct numerical integration is possible for 1, while an iterative procedure is required for <1, with the numerical scheme becoming unstable for =–0.5.

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Grenzschichtströmung an einer plötzlich aufgeheizten vertikalen Fläche, in einem gesättigten porösen Medium

Zusammenfassung Es wird die an einer undurchlässigen, vertikalen Fläche hervorgerufene Grenzschichtströmung im Falle eines Einschalten der Heizung beit=0 betrachtet. Die Stärke der Wandheizung is proportional zux , wobeix die Koordinate längs der Wand ist und eine Konstante. Die Ähnlichkeitsgleichungen werden für den Bereich von großen Zeitent besprochen und es wird gezeigt, daß eine Lösung nur für >–1 vorliegt. Es wird das Verhalten der Lösungen für –1 und erhalten. Numerische Lösungen für die Anfangsbedingungen des Problems werden für eine Reihe von -Werten errechnet. Eine direkte numerische Integration ist für 1 möglich, während für <1 eine Iteration erforderlich ist, wobei das numerische Verhalten für =–0.5 instabil wird.

     

The dynamic performance of the Weissenberg rheogoniometer III. Large amplitude oscillatory shearing — harmonic analysis

The harmonic content of the nonlinear dynamic behaviour of 1% polyacrylamide in 50% glycerol/water was studied using a standard Model R 18 Weissenberg Rheogoniometer. The Fourier analysis of the Oscillation Input and Torsion Head motions was performed using a Digital Transfer Function Analyser.In the absence of fluid inertia effects and when the amplitude of the (fundamental) Oscillation Input motion _I is much greater than the amplitudes of the Fourier components of the Torsion Head motion _Tn empirical nonlinear dynamic rheological propertiesG _n (, ⁰),G _n (, ⁰) and/or _n (, ⁰), _n (, ⁰) may be evaluated without a-priori-knowledge of a rheological constitutive equation. A detailed derivation of the basic equations involved is presented.Cone and plate data for the third harmonic storage modulus (dynamic rigidity)G ₃ (, ⁰), loss modulusG ₃ (, ⁰) and loss angle ₃ (, ⁰) are presented for the frequency range 3.14 × 10^–2 1.25 × 10² rad/s at two strain amplitudes, _CP ⁰ = 2.27 and 4.03. Composite cone and plate and parallel plates data for both the third and fifth harmonic dynamic viscosities ₃ (, ⁰), _S (, ⁰) and dynamic rigiditiesG ₃ (, ⁰),G ₅ (, ⁰) are presented for strain amplitudes in the ranges 1.10 _CP ⁰ 4.03 and 1.80 _PP ⁰ 36 for a single frequency, = 3.14 × 10^–1 rad/s. Good agreement was obtained between the results from both geometries and the absence of significant fluid inertia effects was confirmed by the superposition of the data for different gap widths.     

Optical co-ordinates in general relativity 2 — the problem of distance

Summary Let denote the congruence of null geodesics associated with a given optical observer inV ₄. We prove that determines a unique collection of vector fieldsM₍₎ ( =1, 2, 3) and ₍₀₎ overV ₄, satisfying a weak version of Killing's conditions.This allows a natural interpretation of these fields as the infinitesimal generators of spatial rotations and temporal translation relative to the given observer. We prove also that the definition of the fieldsM₍₎ and ₍₀₎ is mathematically equivalent to the choice of a distinguished affine parameter f along the curves of, playing the role of a retarded distance from the observer.The relation between f and other possible definitions of distance is discussed.

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Sommario Sia la congruenza di geodetiche nulle associata ad un osservatore ottico assegnato nello spazio-tempoV ₄. Dimostriamo che determina un'unica collezione di campi vettorialiM₍₎ ( =1, 2, 3) e ₍₀₎ inV ₄ che soddisfano una versione in forma debole delle equazioni di Killing. Ciò suggerisce una naturale interpretazione di questi campi come generatori infinitesimi di rotazioni spaziali e traslazioni temporali relative all'osservatore assegnato. Dimostriamo anche che la definizione dei campiM₍₎, ₍₀₎ è matematicamente equivalente alla scelta di un parametro affine privilegiato f lungo le curve di, che gioca il ruolo di distanza ritardata dall'osservatore. Successivamente si esaminano i legami tra f ed altre possibili definizioni di distanza in grande.

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Work performed in the sphere of activity of: Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del CNR.     

On an inversion theorem for conical regions in elasticity theory

Summary Two-dimensional stress singularities in wedges have already drawn attention since a long time. An inverse square-root stress singularity (in a 360° wedge) plays an important role in fracture mechanics.Recently some similar three-dimensional singularities in conical regions have been investigated, from which one may be also important in fracture mechanics.Spherical coordinates are r, , . The conical region occupied by the elastic homogeneous body (and possible anisotropic) has its vertex at r=0. The mantle of the cone is described by an arbitrary function f(, )=0. The displacement components be u. For special values of (eigenvalues) there exist states of displacements (eigenstates) % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqef0uAJj3BZ9Mz0bYu% H52CGmvzYLMzaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngBPrgifHhDYfgasa% acOqpw0xe9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8Wq% Ffea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dme% GabaqaaiGacaGaamqadaabaeaafiaakabbaaa6daaahjxzL5gapeqa% aiaadwhadaWgaaWcbaGaeqOVdGhabeaakiabg2da9iaadkhadaahaa% WcbeqaaiabeU7aSbaakiaadAgadaWgaaWcbaGaeqOVdGhabeaakiaa% cIcacqaH7oaBcaGGSaGaeqiUdeNaaiilaiabfA6agjaacMcaaaa!582B!\[u_\xi = r^\lambda f_\xi (\lambda ,\theta ,\Phi )\],which may satisfy rather arbitrary homogeneous boundary conditions along the generators.The paper brings a theorem which expresses that if is an eigenvalue, then also-1- is an eigenvalue. Though the theorem is related to a known theorem in Potential Theory (Kelvin's theorem), the proof has to be given along quite another line.

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Zusammenfassung Zwei-dimensionale Spannungssingularitäten in keilförmigen Gebieten sind schon längere Zeit untersucht worden und neuerdings auch ähnliche drei-dimensionale Singularitäten in konischen Gebieten.Kugelkoordinaten sind r, , . Das konische Gebiet hat seine Spitze in r=0. Der Mantel des Kegels lässt sich beschreiben mittels einer willkürlichen Funktion f(, )=0. Die Verschiebungskomponenten seien u. Für spezielle Werte von (Eigenwerte) bestehen Verschiebunszustände % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqef0uAJj3BZ9Mz0bYu% H52CGmvzYLMzaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngBPrgifHhDYfgasa% acOqpw0xe9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8Wq% Ffea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dme% GabaqaaiGacaGaamqadaabaeaafiaakabbaaa6daaahjxzL5gapeqa% aiaadwhadaWgaaWcbaGaeqOVdGhabeaakiabg2da9iaadkhadaahaa% WcbeqaaiabeU7aSbaakiaadAgadaWgaaWcbaGaeqOVdGhabeaakiaa% cIcacqaH7oaBcaGGSaGaeqiUdeNaaiilaiabfA6agjaacMcaaaa!582B!\[u_\xi = r^\lambda f_\xi (\lambda ,\theta ,\Phi )\],welche homogene Randwerte der Beschreibenden des Kegels entlang genügen.Das Bericht bringt ein Theorem, welches aussagt, das und =–1– beide Eigenwerte sind.

     

Das erweiterte Korrespondenzgesetz für die dynamische Idealviskosität und die Idealwärmeleitfähigkeit reiner Stoffe

Zusammenfassung Zur Berechnung der dynamischen Idealviskosität Ideal (T) und der Idealwärmeleitfähigkeit ideal (T) benötigt man die kritische TemperaturT _kr, das kritische spezifische Volum _kr, die MolmasseM, den kritischen Parameter _kr und die molare isochore WärmekapazitätC _v(T). Sowohl das theoretisch, als auch das empirisch abgeleitete erweiterte Korrespondenzgesetz ergeben eine für praktische Zwecke ausreichende Genauigkeit für die Meßwertwiedergabe, die bei den assoziierenden Stoffen und den Quantenstoffen jedoch geringer ist als bei den Normalstoffen.

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The extended correspondence law for the ideal dynamic viscosity and the ideal thermal conductivity of pure substances

For the calculation of the ideal dynamic viscosity Ideal (T) and the ideal thermal conductivity ideal (T) the critical temperatureT _kr, the critical specific volumev _kr, the molecular massM, the critical parameter _kr, and the molar isochoric heat capacityC _v(T) is needed. Not only the theoretically determined but also the empirically determined extended correspondence law gives for practical use a good representation of the measured data, which for the associating substances and the quantum substances is not so good as for the normal substances.

     

Asymptotic analysis of equilibrium states for rotating turbulent flows

The equilibrium states of homogeneous turbulence simultaneously subjected to a mean velocity gradient and a rotation are examined by using asymptotic analysis. The present work is concerned with the asymptotic behavior of quantities such as the turbulent kinetic energy and its dissipation rate associated with the fixed point (/kS)=0, whereS is the shear rate. The classical form of the model transport equation for (Hanjalic and Launder, 1972) is used. The present analysis shows that, asymptotically, the turbulent kinetic energy (a) undergoes a power-law decay with time for (P/)<1, (b) is independent of time for (P/)=1, (c) undergoes a power-law growth with time for 1<(P/)<(C ₂–1), and (d) is represented by an exponential law versus time for (P/)=(C ₂–1)/(C ₁–1) and (/kS)>0 whereP is the production rate. For the commonly used second-order models the equilibrium solutions forP/,II, andIII (whereII andIII are respectively the second and third invariants of the anisotropy tensor) depend on the rotation number when (P/kS)=(/kS)=0. The variation of (P/kS) andII versusR given by the second-order model of Yakhot and Orzag are compared with results of Rapid Distortion Theory corrected for decay (Townsend, 1970).     

Zur Berechnung der Filmverdunstung von Kohlenwasserstoffen in einem Heißluftstrom

The results of an analytical approximation method to predict the film vaporization are compared with the predictions of a finite difference method of Hermitian type. The analytically estimated rate of vaporization of different hydrocarbons, which is the most important value for practical applications, deviates only a few percents from the numerically estimated value.

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Zur Berechnung der Filmverdunstung von Kohlenwasserstoffen in einem Heißluftstrom

Zusammenfassung Es wird ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Filmverdunstung dargestellt, bei dem eine vollständige Lösung der miteinander gekoppelten Grenzschichtgleichungen entfallt. Die nach dieser analytischen Methode ermittelte Verdunstung verschiedener Kohlenwasserstoffe wird mit Werten verglichen, die nach einem Differenzenverfahren vom Hermiteschen Typ berechnet wurden. Es zeigt sich, daß die analytisch berechnete Verdunstungsrate, die für praktische Anwendungen wichtigste Größe, nur wenige Prozent von dem numerisch ermittelten Wert abweicht.

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Formelzeichen c _ew Konzentrationsdifferenz c_1e -c _1w - c _i Massenkonzentration der Komponentei - c_p, c_pi spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck des Gemisches — der Komponentei - D ₁₂ binärer Diffusionskoeffizient - f dimensionslose Stromfunktion - f dimensionslose Geschwindigkeit - g () allgemeine Funktion - m ₁ Massenstromdichte der Komponente 1 - m ^* dimensionslose Massenstromdichte, G1. (4.8) - M, M_i Molgewicht, — der Komponentei - P, P _i Druck, Partialdruck der Komponentei - Pr Prandtlzahl,C _p/ - q Wärmestromdichte - r ₁ Verdampfungswärme - R allgemeine Gaskonstante - Sc Schmidtzahl/D ₁₂ - T absolute Temperatur - u Geschwindigkeitskomponente inx-Richtung - v Geschwindigkeitskomponente iny-Richtung - x Längskoordinate - y Querkoordinate - z dimensionslose Konzentration - dimensionslose Funktion/ _{e e} - transformierte Koordinatey - dimensionslose Temperatur (T-T _w)/(T_e-T_w) - Wärmeleitfähigkeit des Gemisches - Zähigkeit des Gemisches - transformierte Koordinate - Dichte des Gemisches - Stromfunktion Indizes e am Außenrand der Grenzschicht - i Stoffi - w an der Filmoberfläche - 1, 2 Komponente 1, 2 - () Ableitung ()/ _n      

Unique Periodic Orbits for Delayed Positive Feedback and the Global Attractor

The delay differential equation, (t)=–x(t)+f(x(t–1)), with >0 and a real function f satisfying f(0)=0 and f>0 models a system governed by delayed positive feedback and instantaneous damping. Recently the geometric, topological, and dynamical properties of a three-dimensional compact invariant set were described in the phase space C=C([–1, 0], ) of initial data for solutions of the equation. In this paper, for a set of and f which include examples from neural network theory, we show that this three-dimensional set is the global attractor, i.e., the compact invariant set which attracts all bounded subsets of C. The proof involves, among others, results on uniqueness and absence of periodic orbits.     

Methods of Small and Large δ in the Nonlinear Dynamics – A Comparative Analysis

New asymptotic approaches for dynamical systems containing a power nonlinear term x ⁿ are proposed and analyzed. Two natural limiting cases are studied: n 1 + , 1 and n . In the firstcase, the 'small method' (SM)is used and its applicability for dynamical problems with the nonlinearterm sin as well as the usefulness of the SMfor the problem with small denominators are outlined. For n , a new asymptotic approach is proposed(conditionally we call it the 'large method' –LM). Error estimations lead to the followingconclusion: the LM may be used, even for smalln, whereas the SM has a narrow application area. Both of the discussed approaches overlap all values ofthe parameter n.     

Saint-Venant's principle in nonlinear plane elasticity with sufficiently small strains

A homogeneous, isotropic cylinder in an equilibrium state of plane strain, whose cross-section is a rectangle R : [0 < y ₁ < 2L; 0 < y ₂ < h] with h/L 1, is considered. There are no body forces and the long sides are stress free. At y ₁ = 0 and y ₁ = 2L, there are arbitrary loadings, each statically equivalent to a uniformly distributed tensile or compressive stress c. Within the theory of nonlinear elasticity and with the strains and strain gradients assumed to be sufficiently small (but with no such assumptions on the displacement gradients), it is proved that if (,=1,2) represents the Cauchy stress tensor and the Kronecker delta, then |–c₁₁| decays exponentially to zero in R with distance from the nearer end, and the decay constant depends only upon the material but is independent of L.     

Über singuläre Lastfälle in einer linearen Schalentheorie und ihre finite Behandlung

Übersicht Ausgehend von bekannten Fundamentallösungen für Platten bzw. Scheiben wird die Erstellung singulärer Ansatzfunktionen gezeigt, wie sie für finite Näherungsverfahren benötigt werden, die von den Funktionalen der totalen Energie bzw. der komplementären Energie ausgehen. Das Vorgehen wird eingehend an Kreiszylinderschalen erläutert.

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Summary Starting from known fundamental solutions of plates the construction of singular basic estimate functions is shown. These are necessary in finite approximation methods basing on the functionals of total energy or complementary energy. The proceeding is explained in detail in a cylindrical shell analysis.

     

Generation of vortices in a partially filled,rapidly rotating cylinder

We describe a system in which vortices are shed from a cylindrical free surface approximately centered in a rotating flow. Shedding is controlled by the parameter =2 g/ ² d, where g, , d denote gravity, rotation rate and the diameter of the free surface. We find vortex shedding for >0.162 and no vortex shedding for < 0.0847. The range depends on the aspect ratio L/d, where L is the column length, in a nonmonotonic fashion. These results are independent of viscosity and surface tension for small values of these parameters.Now at Martin Marietta, Orlando Aerospace, PO Box 5837, Mail Point 150, Orlando, FL 32855, USA     

Thermal free convection from a solid sphere

Summary Thermal free convection from a sphere has been studied by melting solid benzene spheres in excess liquid benzene (Pr=8,3; 10⁸<Gr<10⁹). Overall heat transfer as well as local heat transfer were investigated. For the effect of cold liquid produced by the melting a correction has been applied. Results are compared with those obtained by other workers who used alternative experimental methods.Nomenclature coefficient of heat transfer - d characteristic length, here diameter of sphere - thermal conductivity - g acceleration of free fall - cubic expansion coefficient - T temperature difference between wall and fluid at infinity - kinematic viscosity - density - c specific heat capacity - a thermal diffusivity (=/c) - D diffusion coefficient - Nu dimensionless Nusselt number (=d/) - Nu* the analogous number for mass transfer (=kd/D) - mean value of Nusselt number - Gr dimensionless Grashof number (=gd ³T/ ²) - Gr* the analogous number for mass transfer (=gd ³x/ ²) - Pr dimensionless Prandtl number (=/a) - Sc dimensionless Schmidt number (=/D)     

An application of non-singularity BEM to plate bending, buckling and natural vibration problems

In this paper the fundamental solution of the singular governing equation of plate static bending is taken as the Green's function, which can satisfy the governing equation precisely in the plate region. Based on the principle of superposition, let the function values on the plate boundary, induced by a set of the Green's function sources (including the known sources in the plate region and the unknown sources in the fictitious region), satisfy the prescribed conditions on specially chosen boundary matching points, and the corresponding semi-analytical and semi-numerical solution can be obtained, which is free from the restraint of boundary forms and boundary conditions. The more matching points there are on the boundary, the better the accuracy of results is. Finally, in static bending problems a set of linear algebraic equations has to be computed; in buckling problems the minimum value of buckling eigenvalue equation has to be found; in natural vibration problems the eigenvalues of the frequency equation have to be calculated. Numerical examples are given and the results are compared with those by the analytical method and other methods. It can be seen that they are very close to each other.     

An application of nonsymmetric Lax-Milgram lemma to nonassociated plasticity

Based on a general assumption for plastic potential and yield surface, some properties of the nonassociated plasticity are studied, and the existence and uniqueness of the distribution of incremental stress and displacement for work-hardening materials are proved by using nonsymmetric Lax-Milgram lemma, when the work-hardening parameter A>F/Q/–F/, Q/.     

Concentration dependence of the critical viscoelastic properties of gelatin at the gel point

Gelatin gel properties have been studied through the evolution of the storage [G()] and the loss [G()] moduli during gelation or melting near the gel point at several concentrations. The linear viscoelastic properties at the percolation threshold follow a power-law G()G() and correspond to the behavior described by a rheological constitutive equation known as the Gel Equation. The critical point is characterized by the relation: tan = G/G = cst = tan ( · /2) and it may be precisely located using the variations of tan versus the gelation or melting parameter (time or temperature) at several frequencies. The effect of concentration and of time-temperature gel history on its variations has been studied. On gelation, critical temperatures at each concentration were extrapolated to infinite gel times. On melting, critical temperatures were determined by heating step by step after a controlled period of aging. Phase diagrams [T = f(C)] were obtained for gelation and melting and the corresponding enthalpies were calculated using the Ferry-Eldridge relation. A detailed study of the variations of A with concentration and with gel history was carried out. The values of which were generally in the 0.60–0.72 range but could be as low as 0.20–0.30 in some experimental conditions, were compared with published and theoretical values.     

Flow in porous media II: The governing equations for immiscible,two-phase flow

The Stokes flow of two immiscible fluids through a rigid porous medium is analyzed using the method of volume averaging. The volume-averaged momentum equations, in terms of averaged quantities and spatial deviations, are identical in form to that obtained for single phase flow; however, the solution of the closure problem gives rise to additional terms not found in the traditional treatment of two-phase flow. Qualitative arguments suggest that the nontraditional terms may be important when / is of order one, and order of magnitude analysis indicates that they may be significant in terms of the motion of a fluid at very low volume fractions. The theory contains features that could give rise to hysteresis effects, but in the present form it is restricted to static contact line phenomena.Roman Letters (, = , , and ) A interfacial area of the- interface contained within the macroscopic system, m² - A _e area of entrances and exits for the -phase contained within the macroscopic system, m² - A interfacial area of the- interface contained within the averaging volume, m² - A ^* interfacial area of the- interface contained within a unit cell, m² - A _e ^* area of entrances and exits for the-phase contained within a unit cell, m² - g gravity vector, m²/s - H mean curvature of the- interface, m^–1 - H area average of the mean curvature, m^–1 - H – H , deviation of the mean curvature, m^–1 - I unit tensor - K Darcy's law permeability tensor, m² - K permeability tensor for the-phase, m² - K viscous drag tensor for the-phase equation of motion - K viscous drag tensor for the-phase equation of motion - L characteristic length scale for volume averaged quantities, m - characteristic length scale for the-phase, m - n unit normal vector pointing from the-phase toward the-phase (n = –n ) - p _c p – P , capillary pressure, N/m² - p pressure in the-phase, N/m² - p intrinsic phase average pressure for the-phase, N/m² - p – p , spatial deviation of the pressure in the-phase, N/m² - r ₀ radius of the averaging volume, m - t time, s - v velocity vector for the-phase, m/s - v phase average velocity vector for the-phase, m/s - v intrinsic phase average velocity vector for the-phase, m/s - v – v , spatial deviation of the velocity vector for the-phase, m/s - V averaging volume, m³ - V volume of the-phase contained within the averaging volume, m³ Greek Letters V /V, volume fraction of the-phase - mass density of the-phase, kg/m³ - viscosity of the-phase, Nt/m² - surface tension of the- interface, N/m - viscous stress tensor for the-phase, N/m² - / kinematic viscosity, m²/s     

Strömungstechnische Gesichtspunkte der Flußbelastung durch Abwasser aus Kläranlagen

Zusammenfassung Für ein im Durchlauf betriebenes System bestehend aus einem Fluß (Vorfluter) und den angeschlossenen Kläranlagen wird eine Methode zur Bestimmung der Vorfluterbelastung durch die eingeleiteten Klärwässer angegeben. Die Methode erfaßt mit Rücksicht auf die Anwendung des Verursacherprinzips im Gewässerschutz die Belastung durch jede Kläranlage für sich, und zwar in Abhängigkeit von der Wasserführung, den Emissionsraten der betreffenden Kläranlage und dem Selbstreinigungsvermögen von den organischen Stoffen aus der betreffenden Kläranlage. Die abhängigen Veränderlichen sind mit der Fließgeschwindigkeit gewichtete Mittelwerte von Schmutzstoffdichten über den Vorfluterquerschnitt. Im Falle konstanter Vorflutertemperatur und zeitunabhängiger Struktur der Klärwässer ergeben sich beispielsweise für die abhängigen Veränderlichen einfache analytische Darstellungen, welche sich als spezielle Formen des -Theorems erweisen. Es wird gezeigt, bei einem unendlich langen Vorfluter mit konstantem Volumenstrom stromabwärts der Klärwassereinleitungen stimmen die erwähnten gewichteten Mittelwerte mit den entsprechenden ungewichteten stromabwärts der Klärwassereinleitungen überein. Die entwickelte Methode kann leicht erweitert werden, um den Sauerstoffschwund im Vorfluter durch jede Kläranlage für sich zu bestimmen.

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Fluid mechanical aspects of river pollution by effluents from waste treatment plants

The pollution of a river by effluent inflows from waste treatment plants is modeled under steady-state conditions. With respect to modern policies of environmental protection the method describes the river pollution by each plant separately, depending on the flow conditions, the emission rates of the plant and the microbiological decomposition of the biodegradable matter from the plant. Each dependent variable is a weighted cross-sectional mean of a density of organic matter. If the water temperature is constant and the composition of each effluent is independent of time the method gives simple analytic expressions for the dependent variables, which prove to be special versions of the -theorem. It is shown for an infinitely long river of constant volume rate of flow downstream of the effluent inflows: the weighted means mentioned agree with the corresponding nonweighted downstream of the effluent inflows. The present paper can easily the extended to determine the oxygen deficit in the river due to each plant.

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Bezeichnungen a Anzahl der Kläranlagen - D(t_b) Kennzahl, Einführung in 4.3 - ^eA Emissionsrate der abbaubaren or ganischen Verschmutzung aus der -ten Kläranlage - ^eU Emissionsrate der nichtabbaubaren organischen Verschmutzung aus der -ten Kläranlage - Vorfluterquerschnitt, Einführung in Gl. (4) - F Flächeninhalt von - dF Betrag eines Flächenelements, Einführung in Gl. (6) - J_A Diffusionsstromdichten, Einführung in Gl. (2) bzw. Gl. (3) - L Anzahl der Stromstrecken - M Gesamtmasse der abbaubaren or- ganischen Verschmutzung in den N Teilchen, Einführung in Gl. (17) - N Anzahl der verschmutzten Flußwasserteilchen, welche die -te Nahfeldvermischungszone während des Zeitintervalles t_a t_b für immer verlassen - P(x, t, x, t_c) Teilchendichte, Einführung in Gl. (11) und Gl.(12) - Q Selbstreinigungsvermögen, Einführung in Gl.(26) - t Zeitpunkt, Einführung in Gl.(11) - t, t_b Intervallgrenzen, Einführung in 4.1 - t_c Zeitpunkt, Einführung in Gl.(11) - t Zeitdifferenz, Einführung im Anschluß an Gl.(10) - t^* charakteristische Zeit, Einführung in 4.3 - Strömungsgeschwindigkeit Komponente von ¯b in Richtung der zu Tal weisenden Oberflächennormalen eines Vorfluterquerschnitts, Einführung in Gl. (5) und Gl. (6) - Volumenstrom, Einführung in Gl. (7) - x Ortsvektor - x Ortsvektor eines bestimmten markierten Teilchens zur Zeit t_c, Einführung in Gl.(11) - x längs der Stromachse gemessene Längenkoordinate - x x-Koordinate des Vorfluterquerschnitts durch x - x,x₊₁ x-Koordinaten der Vorfluterquerschnitte, welche die -te Stromstrecke stromaufwärts bzw. stromabwärts begrenzen. Einführung in 4.2. - transformierte Variable, Einführung in Gl.(65) - Zeitvariable - (t_b) Kennzahl, Einführung in 4.3. - Masse der abbaubaren organischen Verschmutzung in dem markierten Teilchen, Einführung in Gl.(14) - , Integrationsvariablen, Einführung in Gl.(38) bzw. Gl.(28) - _A durch die -te Kläranlage bedingte Dichte der abbaubaren organischen Verschmutzung - _U durch die -te Kläranlage bedingte Dichte der nichtabbaubaren organischen Verschmutzung - Mittelwerte von bzw· , Einführung in Gl.(31) bzw. Gl.(8) - _m -Wert zu einem Maximum, Einführung in Gl.(31) - Verhältnis zweier Mittelwerte, Einführung in Gl.(64) - stochastischer Mittelwert einer Zufallsgröße Y - Y Schwankung einer Zufallsgröße Y um den stochastisehen Mittelwert - Mittlung über den Vorfluterquerschnitt Der saubere Vorfluter sei definiert durch Standardwerte für Mindestanforderungen an die Flußwasserqualität. Vorschläge für solche Standardwerte werden in jüngster Zeit unter Berücksichtigung des Umweltschutzes ausführlich diskutiert ([1]; [2], S.- K 13 -).     

Stabilität einer in zylindrischen Gleitlagern laufenden,unwuchtfreien Welle

Zusammenfassung Das Problem der sogenannten Lagerinstabilität wurde rechnerisch untersucht. Als Vorbereitung wurde der Schmiermitteldruck und die Feder- und Dämpfungskonstanten des Schmierfilms berechnet. Die lineare Stabilitätsrechnung ergab, daß die Größe des Breitenverhältnisses die Stabilitätsgrenzkurve nur wenig, die Anfahrkurve jedoch stark beeinflußt. Wie man aus dem Verlauf der Grenzkurven ersieht, muß man bei der Stabilisierung eines instabilen Gleichgewichtes zwei Fälle unterscheiden: Beim leicht belasteten Lager ist das Lagerspiel r zu verkleinern und die Eigenfrequenz _k der Welle zu erhöhen, beim schwer belasteten Lager ist die Zähigkeit und die Lagerbreite B zu verkleinern und das Lagerspiel r zu vergrößern. Die nichtlineare Bahnberechnung ergab: Auch wenn nach linearer Rechnung das Gleichgewicht stabil ist, kann bei höheren Drehzahlen eine hinreichend große Anfangsstörung Instabilität hervorrufen. Die Bahnkurven werden bei Instabilität mit wachsender Amplitude mehr und mehr kreisförmig. Dabei stellt sich bei Drehzahlen unter 2 _k die Halbdrehfrequenzschwingung mit einer endlichen Rotoramplitude ein, während bei Drehzahlen über 2 _k die Eigenfrequenzschwingung entsteht, deren Amplitude unaufhörlich anwächst. Dieses Anwachsen beruht auf einer durch den Schmiermitteldruck bedingten Energiezufuhr. Soll also in Wirklichkeit die Amplitude endlich bleiben, so muß eine äußere Dämpfung auf die Welle wirken. Für einen einfachen Dämpfungsansatz wurde daher abschließend die stationäre, kreisförmige Wellenschwingung berechnet, wobei sich wiederum die Halbdrehfrequenz- und die Eigenfrequenzschwingung ergaben. Für große Werte des Parameters / nimmt danach die Rotoramplitude mit der Drehzahl zu, für kleine /-Werte nimmt sie dagegen nach Überschreiten eines Maximums wieder ab. In diesem Falle läßt sich die Rotoramplitude auch durch ein Verkleinern des Parameters / vermindern. Die bisher bekannten Versuchsergebnisse scheinen die Rechenergebnisse zu bestätigen.Gekürzte Fassung der Dissertation an der T.H. Karlsruhe, 1962; Referent: Prof. Dr.-Ing. K. Kollmann; Korreferent: Prof. Dr. K. Nickel und Prof. Dr. F. Weidenhammer; insbesondere Herrn Professor Kollmann danke ich herzlich für die Anregung und großzügige Förderung der Arbeit.