关于三角形的面积

关于三角形的面积,从小学到中学,大家都知道有三个最常用的计算公式: S=1/2ah_a,S=1/2bcsinA, S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2) 其中a、b、c表示三角形的三边长,h_a表示边a上的高,A是a边所对的内角,s表示三角形的半周长。为了比较系统地研究三角形的面积问题,本文应用这些公式,从各个角度对这一问题作一探讨。一、根据初等几何研究三角形的面积这时,应用最熟悉的公式S=1/2ab_a,对学生来说是极易理解和接受的,在讨论三角形的面     

三角形面积向量公式与应用

<正>众所周知,若三角形ABC的三边长分别为a、b、c,则有面积公式:(1)S=1/2ah(h为BC边上的高);(2)S=1/2absin C;(3)S=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2)(p=(a+b+c)/2).应用时,根据三角形不同条件或不同的思路选取相对应的面积公式.而在解析几何中,求三角形面积的问题十分活跃,通常解答方法是求弦长与高,代入S=1/2ah进行求解,计算量较大,易发生错误.若给出三角形面积向量公式,     

三角形面积公式S=1/2ab sinC的应用

在众多的三角形面积公式中，除了基本公式S=1/2ah。外，最为重要的就是S=1/2ab sinC（其中字母a，b．C具有可轮换性）．该公式具有易证、易懂、易记、应用广泛的特点．重要的是如何用好这个公式．使其充分发挥解题功能．对此．本文略述管见．     

拉普拉斯二维化与三角形面积公式

<正>求解任意三角形面积是初等数学中热门问题,其中平面三角形面积更是考察热点.从小学到中学,我们学习过很多三角形面积公式,其中最主要的是S=1/2a·h和S=1/2|a||b|sin,但是当已知条件为三角形三顶点的坐标的时候求面积的运算就会不方便,那么有没有更加简便的方法可以直接求出三角形的面积呢?     

“共角比例定理”在数学竞赛中的应用

有关多边形的面积问题,是初中数学竞赛一个永恒的话题,常用到三角形的面积计算公式:S△ABC=1/2AHA=1/2ABSINC,其中HA表示A边上的高,C表示A、B两边的夹角．     

焦点三角形面积的计算方法再探

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目.对于椭圆焦点三角形的面积公式S=b~2 tanα/2和双曲线焦点三角形的面积公式S=b~2 cotα/2是大家都十分熟悉的,文[1]、[2]在其基础上推出了另四类公     

焦点三角形面积的计算方法再探

在圆锥曲线中，焦点三角形引人注目，对于椭圆焦点三角形的面积公式S=b^2tan a/2和双曲线焦点三角形的面积公式S=b^2 cot a/2是大家都十分熟悉的，文[1]、[2]在其基础上推出了另四类公式，在它们的启示下，笔者再作进一步的研究，又得到了三种不同的表达形式，现论述如下，供同行教学参考．     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

面积公式变形之中的优美统一

<正>1.扇形面积公式:S=1/2rl.如图1,已知扇形OAB的半径为r,圆心角为n°,扇形的弧长为l.则扇形面积公式为:S=nπ/360r2,同时该扇形的弧长为:l=nπ/180r.利用等量代换可以得到扇形面积的另一个公式:S=1/2lr.一看到这个公式我就想起了三角形的面积公式S=1/2ah,太相似了,这个公式给我很大的震惊.那么,还有没有类似的面积公式,让我们有这种震惊呢?这引起了我进一步的思考.在接下来的探究过程中,惊喜地得到了三个类似的公式.     

拉普拉斯三角形面积公式探索与几何解释

<正>在文[1]中,提到了一个非常简洁的面积公式,即S=1/2|ad-bc|,很多同学对该公式不是很理解,甚至一度怀疑公式的正确性．本文将带领同学们走出疑惑,从常用的几个三角形面积公式出发,证明一下这个简洁的面积公式．难度适中,适合阅读学习,希望同学们有所收获．1任意平面三角形面积公式在文[1]中,我们通过对拉普拉斯公式的研究,得到了下面这个有趣的结论:     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

近年高考中四类解三角形试题的分析

<正>在解决解三角形问题的过程中,要牢牢抓住两块基石:正弦定理与余弦定理．如果问题比较复杂,还可以借助诱导公式、倍角公式、半角公式、三角形面积公式以及相应的函数性质来解决问题．本文中结合近年高考数学试题中常出现的解三角形的四类题型进行分析求解．1类型一:面积问题例1 (2021年新高考Ⅱ卷第18题)在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．其中b=a+1,c=a+2．若2sin C=3sin A,求△ABC的面积．     

Ⅰ.求三角形面积新法

中学课本中提到的这种求三角形的面积的方法大家是熟悉的:已知三角形的三条边长a、b、c,那么利用海伦公式,就有面积=s(s-a)(s-b)(s-c)~(1/2)其中,s=1/2(a b c)。由于海伦公式的推导比较复     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

等腰梯形面积又一公式

我在做一道求三角形面积的习题时用到了海伦公式:s△ABC=p(P-a)(p-b)(p-c)~(1/2)[其中a、b、c为△ABC的三边长,p=1/2(a n c)]。此后又做了一道关于等腰梯形面积的习题,出于好奇,我把其数据代人海伦公式的类比公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)~(1/2)[其中a、b、c、d为等腰梯形的四条边长,p=1/12(a b c d)],发现结果是正确结论的p~(1/2)倍.     

任意凸多边形面积的坐标表示

<正>三角形面积公式大家比较熟悉的有S=1/2ah,S=1/2absinC.学习了向量坐标,给我们解决许多数学问题提供了全新的视角.那么,能否用向量坐标的视角来解读和诠释三角形的面积,以及推广到任意凸多边形的面积坐标表示呢?本文主要介绍从三角形面积的向量坐     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

焦点三角形面积的另两类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，与其相关的问题是各类考试的热点，所以，值得我们总结与研究。对于形如S=b^2tan a/2和S=b^2cot a/2是大家都比较熟悉的，本文介绍另两类公式，供同行参考．     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

平面直角坐标系中三角形面积的计算

在初中几何中,三角形的面积有很多种计算方法,如S=1/2ah,S=1/2absinC,海伦公式.但是这些方法在直角坐标系中往往很难应用,本文介绍一种简单的方法并举例说明它的应用.