由摸球想到出行

1.今天是元旦,学校在礼堂里举办游园活动.古拉格和谷拉拉来到了摸球台面前. 古拉格:这里只要求取一个球,“任取”的意思是我们可以从A口袋里取,也可以从B口袋里取球,随便取哪一个球都可以. 2.古拉格:你觉得一共会有多少种取球方法呢? 谷拉拉:两只口袋里的每个球都有可能被取出来,所以一共有3+ 8=11(种)取法.     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是:袋中有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取、乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每一个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数.(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布.(Ⅲ)求甲取到白球的概率.而2005年浙江高考理科第18题是(部分抄录):袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率是p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个…     

争鸣

问题问题142在一次听课中,授课老师出示一道题:盒子中有大小不相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,标号为5的球3个,第一次从盒中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,(假设取到每个球的可能性都相同),记第一次与第二次取到球的标号之和为X.1)求随机变量X的分布列;2)求随机变量X的数学期望E(X).然后找两个学生上黑板写出解法,供大家一起探讨.学生甲:经学生讨论一致认为:在甲的解法中,取球方式是不放回抽取,因而X的分布列是错误的;乙的解法中,取球方式是有放回抽取,符合题意,因而正确,老师了解到同学们基本上和乙的做法一样,…     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是：袋中有黑球和白球共7个。从中任取2个球都是自球的概率为1/7，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取、乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止。每一个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．     

至少几个人?

一天上午,太阳当空照,花儿在微笑,羊村的小羊们高高兴兴地去上学. 在课堂上,村长问同学们:"今天,我给大家出一道有趣的数学题:两个妈妈和两个女 儿一起在河边散步,她们至少有几个人?" 沸羊羊抢先举手,大声回答:"两个妈妈当然是两个人,两个女儿也是两个人,所以,应该是2+2=4(人)." 村长问:"谁有不同答案?"     

比一比,谁重?

这次,据说妈妈因为胡图的错题付出了很大的代价.好奇吧,一起去瞅瞅是怎么回事吧! 胡图:妈妈,1吨铁和1000千克棉花相比,谁重? 妈妈:感觉铁会重一些. 胡图:帮我买1吨铁和1000千克棉花来,我要亲自称重. 妈妈:(捂着胸口)儿子,虽说实践出真知但你这未免太拼了吧!     

数学中的几个小游戏遗留问题的探索

贵刊2008年第11期文<数学中的几个小游戏>对取棋子的取胜策略进行了研究,在文章的最后提出了这样一个未解决的问题:有N堆棋子,两个人轮流取棋子,每人可以从任意一堆中取1-4枚,谁取到最后的棋子谁获胜,问谁有必胜策略?对此我们经过探索得到如下结论,完全解决了这一问题.     

漫画趣题

第一题有三个口袋,第一个口袋里装有99个白球和100个黑球,第二个口袋里装的都是黑球,第三个口袋是空口袋.每次从第一个口袋里摸出两个球,如果两个球是同色的就把它们放入第三个口袋里,同时从第二个口袋里取出一个黑球放入第一个口袋里;如果取出的两个球的颜色不同,就把白球放回第一个口袋里,把黑球放入第三个口袋.若一共操作197次(指从第一个口袋里取了197次),这时第一个口袋里还有多少个球?它们各是什么颜色的?     

争鸣

问题 问题142在一次听课中，授课老师出示一道题：盒子中有大小不相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为X．     

一个不等式的加强及应用

题目袋中放有大小相同的m个黑球和n个白球.现逐个从袋中取球,若每次取出球后再放回,显然每次取得黑球的概率均为mm＋n;若每次取出的球不再放回,则第k次取得黑球的概率是多少（1≤k≤m＋n）？思路1这是一个典型的古典概型问题：前k次逐个取球,相当于从m＋n个球中任取k个球作一排列,样本空间中的基本事件共有Akm＋n个,而事件“第k次取得黑球”表明第k个球为黑球,共包含C1mAk-1m＋n-1个基本事件,     

小球何时能坠到杯底

这是一个有趣、颇具启发性的话题.一次自己在教学中这么问学生:“一个半球面状的酒杯,内部半径为R,放入一个半径不大于R的球,毫无疑问,球可坠到杯底.但若取一个内部为某圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)施转面的酒杯,杯口足够大,小球何以能坠底?”,学生们议论纷纷,但一时无以对答,我又具体给出小球半径若等于圆锥面焦点到相应顶点的距离时小球能坠底吗?经计算、考虑后,有的同学说能,有的说不能.我请了几位同学说一说理由,说不能的同学举了抛物面的例子,如旋成抛物面的抛物线方程为y2=2px(p>0),若小球能坠入杯底,相应小球被抛物线的面截成的…     

一个取子游戏的必胜策略

文[1]中提出了下面一个没有解决的问题: 推广3有若干堆棋子,两人轮流取子,每人可从其中任意一堆中取走1～4枚棋子,谁最后取子谁胜.问谁有必胜策略?     

第五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

1.台子上放着一个奖杯 ,由北向南看如图 1,由西向东看如图 2 ,由上向下看如图 3.图中标出的长度单位是 cm ,求出这个奖杯的体积 (精确到 1.0 0 ,取π= 3.14 1) .图 1　　　　　　　　图 2解　这个奖杯是由四棱台、四棱柱和球各一个组成的 .设这三部分的体积分别为V棱台 、V棱柱 、V球 ,奖杯的体积为V,则V =V棱台 V棱柱 V球=316 6 .7 4 0 0 0 14 80 .5图 3=86 47(cm3 ) .2 .中国青年报 2 0 0 1年 3月 19日报道 :中国移动通信将于 3月 2 1日开始在所属 18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个“套餐”…     

初等概率介紹

§1.概率概念概率論是数学的一个分支。它研究或然現象。或然現象如何理解呢?为了說明或然現象我們先看它的对立概念“必然現象”。所謂一个現象是必然的,就是说这一現象在一定的条件下必然发生。例如在欧氏几何里,三角形三个內角和必然等于180°,又如手拿一块鉄,如果松手,鉄必然下落等等。必然現象的对立概念就是或然現象,例如擲一顆股子(条件),我們得到哪个点是事先不能肯定的。又如一个口袋內有同大小同重的紅白球各十个,閉着眼从口袋里取一个球,誰也不敢肯定所取的球是紅还是白。所以取球这一事件称作或然事件,如果当条件一实行,事件A可能发生但不一定发生,則事件A叫作或然事件。对于或然事件的量的刻划就是它的概率。一个或然事件的概率大就表示这个事件的发生可能性大。例如在上面所說的口袋里,我們問取紅球的概率与取白球的概率如何,我們一下子可以回答說,这两种事件的概率是相等的,又如一个口袋有10个白球,一个紅球,那么一下子可以說出,取白球的概率比取紅球的概率大。必須合理地定义或然事件的概率,才能說出其概率究竟等于多少。     

不对号入座问题的一个递推公式

在高中数学排列组合问题中,有一类不对 号入座问题,其讨论解法相当复杂.例如:现有 1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了号的 小箱.现要将五个球放入五个箱中,且1号球不 能放在1号箱中,2号球不能放在2号箱中 ……5号球不能放在5号箱中,每个箱中只能 放一个小球.问有多少种不同解法?答案是44     

胡图真糊涂

胡图最怕的就是老师那句——把卷子带回去给家长签字.胡图小心翼翼地将卷子呈给妈妈后,便自动站在3米外. 妈妈:糊涂,糊涂…… 胡图:(心里犯嘀咕)为啥老叫我? 妈妈:胡图,你真是糊涂! 胡图:我没胡乱涂,3-5不就是5份里面取3份吗? 妈妈:此处的单位“1”可是3千克呀!     

一共需要多少个碗?

正妈妈过生日那天,家里来了很多客人,非常热闹。我想:妈妈过生日,我要勤快点,不能让妈妈太劳累。于是,我主动问妈妈:"有什么需要我帮忙的吗?"妈妈说:"准备得差不多了,你把碗拿到桌上摆好。一共有12个人,每人1个饭碗,2个人合用1个菜碗,3个人合用1个汤碗。"我急忙问:"那一共需要多少个碗呢?"妈妈笑着说:"你自己算一算吧。"我认真地思考:一共有12个人,每人1个饭碗,     

数学中的几个小游戏

先介绍两个小游戏:游戏1有一堆棋子,两个人轮流从这堆棋子中取1～4枚棋子,谁最后取走棋子谁胜.问谁有必胜策略?这个问题的解决比较简单,结论是:如果棋子数是5的倍数,则后取子的人有必胜策略(先取的人取走n个棋子,后取的人只要取5-n个棋子即     

棋子游戏的必胜策略

<正>1棋子游戏的内容今天我们来探讨一个比较难的棋子游戏.游戏规则是:桌上有27颗棋子,两人轮流取棋子,每次可以取走1颗、2颗、3颗或4颗,当棋子取完后谁手头的棋子数为偶数算谁赢.请问先取棋子的人该取多少颗棋子,才能保证最后他的棋子数为偶数?或者说,先取棋子的人有没有必胜策略?建议读者先尝试自己解决问题,然后阅读本文提供的答案,以免丧失独立思考的乐趣.2初步分析     

利用多面体解多球相切问题

多球相切问题在各类竞赛中经常出现 ,但由于作图复杂 ,给分析解决问题带来困难 .如果能透过现象 ,抓住问题的本质 ,将其转化为多面体问题 ,常能顺利解决 ,请看以下几例 .例 1　 (2 0 0 2年“希望杯”试题 )将 3个半径为 1的球和一个半径为 2 -1的球叠为两层放在桌面上 ,上层只放一个较小的球 ,四个球两两相切 ,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 (　　 ) .(Ａ) 3 2 + 63 　　 (Ｂ) 3 + 2 63(Ｃ) 2 + 2 63 　　 (Ｄ) 2 2 + 63分析　两球相外切时 ,球心连线通过切点 ,球心距等于两球半径之和 .不妨设下层三个大球球心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,…