数学奥林匹克讲与练(21)

例题讲解１６１．空间中有８个点,其中任何４点不共面,在这些点之间连结１７条线段．求证：（１）至少存在一个由这些线段所构成的三角形;（２）由这些线段构成的三角形实际上不少于４个．证明　（１）由一个已知点所引的已知线段的数目,我们称为这点的“度”．取度最大的一点,设其度为ｎ,则有ｎ条线段由这点引出．如果不存在由已知线段构成的三角形,则这ｎ条线段的另外ｎ个端点之间均无已知线段相连．此外尚余（７－ｎ）个点,每点的度不超过ｎ,故每点至多引出ｎ条已知线段,因而由它们引出的已知线段不超过ｎ（７－ｎ）条,于是已…     

一道三角形面积最值问题的解法探究

<正>1题目再现在△ABC中,AB=AC,D为线段AC的中点,若BD的长为定值l,则△ABC面积的最大值为_____(用l表示).2解法探究不少同学面对此题时,不知道该如何下手.对于这个三角形面积最值问题,第一步,我们要清楚已知条件是什么?未知是什么?已知和未知如何建立联系?也就是△ABC面积如何和已知条件建立起联系,然后求最值.对于本题已知条件的转化方式有三种:代数化、几何化及向量化.     

用方程思想求面积三例

<正>在平面几何中,面积比与线段比可以互相转化.因此,利用方程思想可以有效地解决一些与面积相关的问题.例1(青少年国际城市邀请赛试题)如图1,设E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点,线段BE、CF交于点D,已知△BDF、△BCD、△CDE的面积分别为3、7、7.求四边形AEDF的面积.解如图1所示,连AD.     

再谈一道几何作图题的作法

题目过三角形一边上的已知点,求作平分三角形面积的直线。文[1]通过把几何图形的面积比转化为有关的线段比然后根据平行线等分线段定理给出了本题的一种作法。(详阅本刊90年第4期P44),本文试利用等积变换给出一种简     

道是无“形”却有“形”——2019年北京数学中考试卷第27题解法的几点思考

<正>1问题呈现已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH=3+1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:∠OMP=∠OPN;     

略谈定位作图与不定位作图——从新编《数学》第五册中的一个例题想到的

在新编《数学》第五册第129页有如下的一个例题。 例:在已知线段上作弧;使它所含的圆周角等于已知角。 课本上的解法是先给定∠α和线段a,(见图1),而后在作图时又另作线段AB=a……(以下略),最后得出所求的弧为和。我们认为在“几何作图”     

解立体几何计算题的一般方法

解立体几何计算题的一般方法晨旭一、几何计算题的结构是根据已知的苦于几何量或位置关系推求另一些几何量．而已知的位置关系通常也要转化为几何量．最基本的几何量有两个：线段和角．其它几何量或者用线段和角来定义，或者可表示成线段和角．例如，两点间的距离，点到平...     

“圆”来如此

<正>在解决直线形问题时,适当添加辅助圆,为圆的丰富性质的使用创造条件,常能使问题获得简解或巧解.下面举例加以说明.一、过共端点的等长线段的另一端点作圆当已知条件中存在共端点的等长线段时,以公共端点为圆心,等长线段为半径作圆,可以沟通圆心角、圆周角、弦、弧等的联系,使问     

用平面区域的知识巧解一题

已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,那么直线l的斜率的取值范围是______.解由已知,可设直线l的方程为y-2=k(x+1),可化为kx-y+k+2=0,由于直线l与线段AB相交,可知点4(-2,-3)与点B(3,0)在直线l的两侧.     

这条辅助线作法不妥

《几何》第二册P144有如下一段文字:“例水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12cm,其中水面高为6cm,求截面上有水的弓形的面积(精确到1cm~2).解如图7—79,连结OA、OB,作弦AB的垂直平分线OD,垂足为D,交AB弧于点C,…”其中,“作弦AB的垂直平分线OD”不妥。为什么?“O”是已知圆圆心,即已知点;“AB”是已知弦,即已知线段,“作弦AB的垂直平分线OD”岂不是过已知点作已知线     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

对两道“希望杯”题的思考

1.二十二届希望杯高一第1试第十七题:已知点M(-2,-1)和N(1,-5),又点P在圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和     

用截线段长度的方法解面积问题

<正>在二次函数中,有一类题,可以利用平行于y轴的直线被两函数所截线段长度解决问题.我们来看几个求面积定值的例题,希望对大家有所启发.一、截正比例与反比例函数求面积为定值例1如图:已知直线y=1/2x与双曲线y=k /x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.     

几何图形证明不等式例举

证明代数不等式的方法很多,用几何方法证明的关键在于,把代数式翻译成几何量,如将一次式译成线段长,平方式译成面积,根式译成两点间的距离等等。例1 已知;a、b、c、q>0,求证     

一题多解话“倍分”

题目已知:如图1,△ABC中,∠B=60°,AD、CE为高,求证:DE=1/2AC.几何中结论形式为a=1/2b的题目称为线段的二倍分问题.通常的思路是通过添加辅助线将线段的二倍分问题转化为线段的相等问题.常用方法有:(1)折半法根据图形,适当作出线段c=1/2b,然后证线段c=a;如果直接取线段b的中     

网格中的数学问题

<正>1作已知直线的垂线问题1对于网格中的直线,过直线上一点,你有办法画出它的垂线吗?例1已知格点△ABC在网格中的位置如图1,求△ABC的外接圆圆心的坐标.分析(1)我们知道,作线段AB、线段BC或线段AC中任意两条线段的中垂线,它们的交点就是△ABC外接圆的圆心.     

快速求锥、台体的一类面积体积的方法

高中立体几何中,锥体有这样的一个重要性质:“如果锥体被平行于底面的平面所截,那么,截得的小锥体与已知锥体的底面积之比等于对应高的平方的比;体积比等于对应的高的立方的比”。本文将该定理进行简化,得到一种快速求锥、台体有关面积、体积的方法。我们用一线段VBA表示锥体的高,其中V为已知锥体的顶点,VA是已知锥体的高,VB是小锥体的高,这样,定理中对应高的比,就用图1表示。并称这种从锥体的顶点V出发的比为对应高的相似比。同样,我们也用一线段的比来表示小锥体与已知锥体的底面积的比和体积比。图2的线段比     

课外练习

初一年级1.解方程(江苏沭阳县十字中学(223612) 杨大为)2.已知线段AB和CD的公共部分BD=1/3AB=1/5CD.若AC=14cm,求BD之长.     

张角问题的求解思路及应用

<正>一、张角问题及其求解思路如图1所示,若线段AB为定长的线段,点C为线段AB所在的直线外一点,连结AC、BC,我们称∠ACB为线段AB的张角.关于已知AB或者∠ACB这两个条件中的一个或两个所提出的问题我们称之为张角问题.通过观察,我们会发现,似乎点C离线段AB越"远",∠ACB越小.若使∠ACB的大小不变,联想圆周角定理我们可以得出,满足条件的点C在以AB为弦的圆弧上.     

对两道“希望杯”题的思考

1.二十二届希望杯高一第1试第十七题：已知点M（-2,-1）和N（1,-5）,又点P在圆C：x2＋y2-4x-2y＋1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和