希尔伯脫的“幾何学基礎”及其在问題的歷史發展中的地位(續)

第一章包含我們會敍述過的公理法,而且它也包含著最直接地從公理得出的一系列定理,讀者有必要注意到掌握這些定理的證明的會部重要性,檢查甚至記憶希爾伯脫的系統的全部公理,是頗不困難的,可是如果不學會實際上運用這些公理,就是在這些公理的基礎上嚴密邏輯地來證明這些定理,那麼對於數學的發展是毫無用處的。希爾伯脫的敍述每次重版都是向著更容易理解與更完備這一面改變的,雖然,在其中到現在還有不少的在證明上的空白,讓讀者來補充它們,究其實,這樣的情況有力地減低了該書的教育價值,問題不僅在於若干省略了的證明是相當困難的地方,還更重要是別的,初學者甚至在已經作出證明之後,未必能夠有把握地了解他的證明在邏輯的方面是否無可責難,或者在其中某些地方難入從直觀所假借來的假設:所以編者和譯者抱定目標,用附在該書後面(原書403-488頁)的附錄來補足敍述的空白。     

对於初二平面幾何全等三角形教學上的一些意見

全等三角形一章是學習平面幾何的基礎,學生在這階段學習的好壞,影響到以後的幾何學習,所以這一章在整個幾何學習中佔有相當重要的地位。因此,在這一章教學中,如何貫徹教學大綱的精神,充分發揮教材內在的思想性,從而教好學生,是一個很重要的問題。個人對這個問题正在進行學習,所以今天談不到向大家作報告,僅把個人初步學習的點滴認識,向同志們談談如有錯誤或不妥的地方,還請大家多多批評。 關於這個問題,我想分以下六部分來談: (I)本單元教學的目的首先,我們看看學生在學習本單元以前已具有那些幾何知識,然後結合本單元教材的中心內容,來考慮本單元教學目的,學生在學習本單元以前已具有的幾何知識,我個人分析起來有下面幾點:(1)概念方面,通過了線段與角的相等與不等的學習。懂得運用移形公理和重合法,懂得線段和角的四則運算及直線公理,以及其他有關角的一些概念等;(2)作圖方面,已能熟練地運用工具(直尺、三角尺、圓規、量角器等)書出直線、線段、角、角的平分線(用量角器)、垂線、圓     

對中學几何教本的商榷

本文主要是討論幾何教本教材編排上的幾個問題。根據個人的感覺、和數學教師們交談的結果,對格拉哥列夫教授改變吉西略夫第二部教本的教材,一致認為在教學法的觀點上,是不够正確的。第一章(空間的直線和平面)的教材內容有些改變,吉西略夫的舊版本以及達維多夫,格伯爾,拉舍夫斯基等的教本,都把第一章分為四節命名如下: 1) 平面位置的確定, 2) 平面的垂線和斜線, 3) 平行的直線和平面, 4) 二面角和多面角, 教材这樣的編排,是完全合乎由易到難的原则,學習“平面的垂線和斜組”的定理此學習“平行直線與平面”的定理困難要少些,平行直線与平面的定理,常用反證法證明,大家知道這是一種較直接證法難以使學生接受的證法。     

中等學校中的非歐幾何(再續)

附录1,第五公设可以用許多其他的命題來代替。在現代的教科書中,通常是以英国數學家普賴依費爾所提出形式,來給出平行線公理。 過直綫外之一點只能引一條直線平行於已給的直綫。換句話說:过直綫外之一點,不可能引兩條直錢平行於已給的直线,     

指數函數的教学

中學数學教學大綱指定教師用36節課来講“指數函數舆對數”這項教材。據我們看來,其中應該用6-8節課研究指数函數。本來無可置疑地必須將函數的清晰概念講給學生,必須教會他們研究簡單函數(確定定義域,單調區間等)。繪製圖象,以及,反之,由圖象來判斷函數的性質(“看”圖象)等等。鑒於學生通曉函數依從關係的觀念和獲得研究函數的某些技能十分重要,數學教師應該在這方面利用教學大綱提供給他的所有可能。研究指數函數,就會講到下列幾點: 1.論證冪的許多純算術性質,並且立刻用圖象說明這些性質。這種論證可以使學生理解證明代數定理的可能和必要。(對於學生和教師忽略代數理論的問題,已經不只一次地在“数學教學”雜誌上談過了)。此外應該注意,我們在這裏需要複習算術裏關於談論真假分數的那一部分;特別是,真分數乘某数則使之變小等等。 2.在作指數函数的圖象時,學生再一次遇見曲線向直線逐漸逼近的情形(第一次是在Ⅷ     

中等学校中的非歐幾何

如所周知,中等學校五——十年級的数学教學大綱對教員們提出這樣的要求:“在幾何课中學習平行線的理論时,完成必要指出除了在學校里所學習的歐幾里得幾何外,還有非歐幾里得幾何?菤W幾里得幾何,由著名的俄羅斯科學家羅巴切夫斯基所創造的,並以他的名字命名”。     

在算術教學中運用直觀原則的體驗

“直觀原則”是中學教學過程中重要教學原則之一;教學中直觀因素愈多,學生领會教材就愈順利也愈深刻。在教學中運用直觀原則是多種多樣的,算術教學也是這樣。因而,在算術教學中運用直觀原則,不應局限於實物的運用,只要是能够使教材或所講述的內容達到“直觀性”舆“具體性”的方式方法,就應加以運用和重視。一年來,在課堂教學中我們除掉運用必要的“實物教具”(如用模型說明三角形和圓形面積的公式等)外,又經常通過下列幾種方法來貫徹直觀原則: (一) 運用“圖線”以說明與指導學生解四則應用問題。 對於一些條件衆多,關係比較複雜的習題,最初,學生往往把握不住已知量和未知量之間的關係,因此在解題時不知從何着手,我們在指導學生解這類習題時,當學生明確了那是已知條件和要求的未知数以後,多籍助於“圖線”法,使習題中的各個量間的關係明確化。具體化,從而促進學生積極思考,發現解法的關鍵。     

多邊形面積唯一性的證明

以下約定:凡云多邊形係指簡單多邊形,即多邊形的顶點互不同,邊內沒有顶點,兩邊的交點不在其邊內者;又凡稱面積都是面積的测度,即用數來表示平面一部分的大小,而面積的單位是固定的。我們知道三角形的面積是底乘高之半;一個多邊形總可以分裂成有限個三角形,顯然,分法不止一種,例如李森林同志證明的聯對角線法(本刊第12號),路見可同志證明的打格子法(本刊第1號),通常我們是用所有部分三角形面稹之和作為該多邊形的面積的,於是發生了這樣一個問題:從邏輯上的觀點看,對一個多邊形的不同分法會有不同的面積麼?最初注意到這個類似問題的人是德曹利特,有所謂德氏公理;後來被     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,     

談談關於平面幾何中的“一定值”問题

平面幾何中有關“一定值”的問題,是同學感到困難的。初三、高一同學每遇到關於“一定值”的問題,班上只有極個別同學能獨立解出來,他們不知按題意分析,“一定值”是什麼,因此,摸不到問題的具體終結,無從下手解題,凡是碰到“一定值”一類的問題,總是老師講,學生聽,學生不能獨立發展這個知識,時間花了許多,費了許多力,結果不討好;我認為這原因主要在講解問題時,關於“一定值”意義,分析不夠,指示不夠,因而學生對“一定值”問題,感到摸不到頭腦。新編初中幾何93頁第13題:“等腰三角形底邊上的一點到兩腰距離之和是一定長(等於腰上的高),”書上在括弧內具體指出了問題的要求,但講解這問題時,若單純的按“等於腰上的高”囫圇吞棗的證下去,而對“一定長”為什麼是指“等於腰上的高”,不加以詳細分析、那便是為解題而解題,不能完成教學這個問題的主要目的,教學這個問題的主要目的,是為解關於“一     

自然數的平方和

自然數列中,前n個數的平方和的公式,是大家都熟悉的,我們還可以這樣地導出此公式。取兩個互相垂直的直線OA和OB,選取任意的線段為單位長,並且在横軸OA上,從點O開始相繼地截出線段1,2,3,4,…,n(圖1)。在縱軸OB上,截出一個等於1的線段,然後再截出n-1個線段,每個線段的長邵等於2/3。通過諾分割點我們引平行於軸的直線,一直到它們的交點為止,於是我們得到邊長為1的正方形和n-1個六角形,這些六角形的面積相繼地表示前面的自然數的平方。 證明:上面的命題很容易證明,命六角形MNTPQR的邊MN等於k,已知RS‖OB,我們得到面積MNTPQR=面積MNTS+面積RSPQ,     

關於初中代數第一章(Ⅰ)的教學問題

(一)教學目的 這一部分的主要教學目的是使學生瞭解使用文字的便利,其次則應使學生熟練地掌握計算的程序,從而能够熟練地求出代數式的值。 學生在算術中對於文字符號的使用,雖已具有一定的某礎,但尚未臻十分熟練,而且使用文字符號究竟有什麼好處亦未透澈理解。因為使用文字來代替一般的數以研究數舆敷間的普遍關係乃是代數學的主要精神,所以在這一單元中,便應在講課時把這一點說得非常突出。在計算程序方面,關於加減乘除學生雖已熟悉,但再加入乘方的運算,其運算程序為何,對於學生還是一個新的東西,因而在講課中應該特別注意。 關於代數教學的整個的教學目的,已具見教學大綱代數部分的說明中,教師首先必須明確,但關於這點僅能在學習過程中逐步使學生明確,在教代數的開始,教師似可不必講給畢生。     

祖暅之公理

我國古代的祖暅之公理,也就是现代一般人所說的卡瓦利利(Cavalieri)公理,是指下述公理而言的,即:界於二平行平面之間的兩個立體、被任一平行於二平面之平面所截,若其二截面面積常相等,則二立體體積亦必等。當我們承認了連續公理並且有了某些積分學的知識之後,這公理也可被證為是一個定理,這公理,或是說這定理在考慮立體體積時常常會用到,特別是在考慮未知的,比較複雜與不规則的立體體積時,由這公理,就可以用已知的比較規則的在等高處截面面積相等的另一立體去代替。卡瓦利利是17世纪纪上半纪意大利的數學家,他的生卒年代是1598—1647年。     

罗巴切夫斯基幾何学的一种实現法——龐卡勒方法

今年是幾何學中的革命者,俄羅斯的偉大學者羅巴切夫斯墓逝世一百周年紀念,對於這樣一位劃時代的偉大學者的哲學思想、科學創造以及其深遠的後果都需要專著來加以詳細的介紹,我在此只想接觸到一個很狹的問題,即羅巴切夫斯基幾何學的實現法的問題。在實現法的方面,大學以上的讀者可以從微分幾何中的負定曲率曲面上的幾何去得到實現,也可以由射影幾何的方法在一圓內得到實現,為了中學水平的讀者的需要,我也曾在“幾何學通論”中作了粗略的介紹,現在不準備去重提,本文將介紹由法國數學家龎卡勒提出的一種實現法。什麼是實現問題呢?原來,歐幾裏得幾何學在兩千多年中曾被看作是唯一的幾何學,也就是被認為是反映客觀世界中的形的唯一的方法,這種幾何學有一系列的公理,由這系列的公理經過純邏輯的推演可以得出各種定理,這系列的公理所推演出的結果是不互相矛盾的,這一系列的公理是否足夠推演出我們一般書中的那些結果呢?從邏輯上看它們最初是不完全     

幾何公理體系

§1.釋詞·推理1°1.引言,中學幾何教學工作中有兩樁主要的經常的工作:第一是解釋名詞,第二是推證定理,為了便於說明: 解釋名詞有幾種方法?這些方法那樣便利那樣不便利? 推證定理有幾種方法?這些方法那樣便利那樣不便利?我們先拿讀音和斷案來做個比喻。     

偶重極限環線

<正> 本文主要在於解決Poincare H.所遺下的偶重極限環線的存在與位置問題.問題的提出詳見[1]。在[1]及[2]中我們解决了兩種類型的偶重極限環線的具體求法.在[2]之末我們巳提及可以從微分方程族的角度來解決一般的類型.本文主要在於證明:偶重極限環線的存在與位置問題一般可以化為奇重極限環線的存在與位置問題而解决之.由此消除了由於偶重特性所引起的特殊困難.     

軌跡教法的經驗

圖形的運動變化,軌跡方法的應用,新教材是非常重視的。因為幾何教學的任務之一,就是對空間觀念的培養和發展學生空間的想像力,而“軌跡”就能幫助解决很多的問題,過去同學學習“軌跡”时,由於教師教法生硬、先講定義,以致同學感到“軌跡”太抽象,不易理解,因此我認為講解這一節時必须很好地體會教材,熟習教材,學習蘇聯先進教學方法,運用直觀教具并多舉同學日常生活所熟習的事例來講解。     

数学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会

1956年3月11日下午,數学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会,請中國科学院学部委員苏步青講“非歐幾何学。”苏步青先生首先講了非歐幾何的產生。他說:二千多年前,希腊數学家歐幾里得總結了在他之前的一些數学研究成果,用当時認为最科学的方法編寫了“幾何原本”,这本書的內容和現在中学的幾何課本大致相同,在这本書里,歐幾里得引入了第五公設,在他之後的很多數学家都想証明它,但是都沒有成功,後來罗巴切夫斯基提出了新的理論,否定了第五公設,於是,罗氏就在他的定理的基礎上建立了非歐几何学,接着,他講了非欧幾何学和歐氏幾何学的關係,最後,他簡單的介紹了幾何学基礎,並詳尽地說明了公理系統。     

某些有窮級數的求和

如果注意地撿查一下初等代數的課程,不難發覺,共中有幾章和其餘的材料没有聯系,如序列、組合論等等,自然就想到,未必不能把這些間題完全從課程大綱中刪去。 說序列是形成方程和解决方程的很好的材料,這種論據是下確鑿的,因為可以舉出許多在這方面並下遜色於序列但现在中等學校裏並下講授的問題,說序列是學習對數所必需的,這種說法也有一些陳腐了,因為在近代對敷是用函數的觀點來說明的首先序列是組成級數學說一部分,如果在課程大綱中沒有級數,那麼序列就失去其意義。在十八世紀以及十九世紀,俄國的數學家們曾予級數以特別注意並且得到重大的成就,特別是對於數學有興趣的青年學生們似乎應該熟悉我們的數學家的工作。我們還要指出一種情况:即中等學校裏課外的數學作業有些片面性。徵求解答的問題,通俗性的報告(數的發展     

結式定理的一種證法

在解多個未知量的高次方程組時,消去法是重要的方法,而施行消去法的主要工具则是結式,關於結式定義及其行列式表示法,各種高等代數書中都有介紹,但在證明結式及其行列式表示式的相等時,所用的方法或則偏於抽象,不易為同學所徹底接受〔例如庫洛什高等代數數程(以下簡稱庫高)及奥庫涅夫高等代數(以下簡稱奧高)中的證法〕,或則不够詳明(例如狄克遜初級方程式論§112的證法),下面先略述這些證法來說明我的意見,然後介紹一種直接計算的方法,不算太長,但是比較好懂。一.常見的證法概述以下綜合上引三書的講法,作一概括的叙述,以說明問題之所在。 (一) 先談一個特殊情形,即當域P上多項式f(x),g(x)次數均大於零,且首係數均為1時: f(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…+a,