因式分解与整式恒等变形

一、关于因式分解问题(一)常用方法(1)提公因式法;(2)分组分解法;(3)运用公式法;(4)十字相乘法;(5)拆项、添项法;(6)换元法;(7)待定系数法.     

例谈因式分解的方法和技巧

因式分解是将一多项式变形为几个整式乘积的形式,它的过程与整式乘法相反,整式乘法是将整式的乘积式化为和式.利用因式分解可以求代数式的值,可以判定三角形或四边形的形状,可以判定一个算式能被哪些数整除.前面我们已学过提公因式法、公式法这些因式分解的方法,其实因式分解的方法还有很多,包括分组分解法、十字相乘法、添项法、待定系数法、配方法、试根法、换元法、求根公式法等.学生在因式分解的过程中出现分解不彻底、乱用公式、不提取公因式、无从下手等情况,这一方面说明学生对因式分解认识不深刻,另一方面对因式分解的方法掌握的比较少,造成思维呆板,对于新情境下的因式分解问题,不能做到灵活处理.本文将介绍几种因式分解的巧妙方法,以期引领学生走出因式分解的困境,达到灵活、巧妙处理因式分解问题.     

分组分解法中的技巧

分组分解法是一种带有创造意味的方法,它既是因式分解中的重点.又是教学的难点.它必须根据多项式的具体特征,适当地分为几组,以便分组后能应用提公因式法、公式法或十字相乘法,从而达到多项式因式分解的目的.本文将分组分解法中的一些技巧作如下归纳,供同学们参考.     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

一类一元高次代数式的因式分解

<正>常用的因式分解方法有提取公因式法、十字相乘法、公式法、分组分解法、待定系数法、拆项添项法、因式定理等.但当我们遇到一些一元高次代数式的因式分解时,上述方法很难奏效.对于一元高次代数式的因式分解,我们一般根据因式定理令代数式等于零进行试根,寻找其一次因式.一旦令代数式的值等于0时,     

确定公因式和最简公分母

<正>初中数学中的因式分解是初中数学的重点和难点,是学生应该掌握的内容.因式分解中提公因式法是最基本的因式分解方法,分式的计算中也涉及到约分,而提公因式和约分前都要找公因式.分式计算和分式方程都要找到最简公分母.对于如何找公因式和最简分母,部分同学容易把二者混淆,结果张冠李戴.为     

因式分解切记四个“必须”

把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解.因式分解的基本思路:首先考虑是否有公因式可以提取,其次考虑能否运用公式进行分解,最后要检查每一个因式是否已经完全分解.下面对因式分解的结果与同学们谈几个基本要求:     

因式分解的教学

因式分解这一章是初中代数的一个重要內容。学生以后学习分式时,要先学会約分和通分;而約分和通分都要用到因式分解。不但如此,它可以用来簡化数字計算。例如根据給定的字母的值計算某些多項式的值时,先把原式分解因式,再求它們的值,就可以使計算簡便。在解二次或二次以上的方程和不等式时,也常要利用因式分解。在高中数学里,某些超越方程(指数方程、对数方程、三角方程等)的特殊解法也需要利用因式分解。有时利用因式分解,还可以把某些式子化为适于对数計算的形式。总之,教会学生掌握因式分解的一些常用方法,对今后的学习有着重要的作用。 現行課本首先說明因式分解的意义。接着提出四种主要的因式分解方法(提取公因式法、分組分解法、应用公式法和十字相乘法)。在学生熟习了这些方法的基础上,再提出因式分解的一般步驟,并讲解上面四种方法的綜合应用。最后讲利用因式分解求最高公因式和最低公倍式。     

因式分解方法小议

因式分解是中学数学中重要的基础知识之一,特别是初中阶段,重视因式分解的教学是很有意义的。因式分解也是一种比较复杂的问题,解题千变万化。本文想就这一问题发表一些意见,下面所讨论的问题均是在有理数集合中考虑的,并且只讲除常见的提取公因式法,应用公式法,十字相乘法,分组分解法以外的方法。一一元二次方程求根公式法例1 分解因式6x~2-7xy-3y~2-x+7y-2 解令6x~2-7xy-3y~2-x+7y-2=0。按x求出二根:x_1=(3y-1)/2,x_2=(-y+2)/3 得原式=6(x-(3y-1)/2)(x-(-y+2)/3) =(2x-3y+1)(3x+y-2)。这个方法分解的步骤是:     

珠算除法运算加减商法的探讨

珠算乘法，利用因数关系．因式分解后进行脑计算整乘加减积的和差。这种方法已被人们掌握。但珠算除法采用被除数，除数的补与舍进行整除分位加减商的连算方法还没有形成系统化，没有普遍应用。个人根据整乘法逆运算原理．对整除法进行了探讨。整除法，同整乘法一样．通过心算、心记对被除数．除数进行“补、舍”后使之相除，对所得的商确立“正负”再进行脑算加减商差。经过研究．整除加减商差的方法，前题是确立公式。     

因式分解单元目标测试

因式分解单元目标测试（４０分钟完成，满分１００分）一、填空：（每小题５分，共４５分）１、把一个多项式化为几个整式的的形式，叫做把这个多项式因式分解。２、把一个多项式分解因式时，如果多项式的各项有公因式时，那么先。３、利用公式分解填空：（１）ｍ４－（）...     

利用两个函数图像解一元二次方程

一元二次方程问题有几种常见的解法:因式分解法,开平方法,配方法和公式法,在08年的中考试题中,有些省市把一元二次方程与函数图像综合起来,利用两个函数图像的交点     

关于多元多项式分解的必要条件

类似于一元多项式因式分解的相关结论,利用多元多项式函数与其偏导函数的关系,介绍多元多项式能够因式分解的必要条件,即若 f′xi （x1,x2,…,xn ）与 f （x1,…,xi-1,0,xi＋1,…,xn ）有公因式,则 f （x1,x2,…,xn ）可以分解。     

记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

化繁就简是因式分解的关键

虽然对因式分解的学习 ,课本循序渐进地介绍三种方法 ,利于学生理解 .但是在学习过程中 ,因式分解往往包含多种方法 ,需要同时展开 .下面举例说明之 .例 1　将多项式a2 -b2 +4a +4b因式分解 .原式 =(a2 -b2 ) +( 4a +4b)=(a +b) (a -b) +4 (a+b)=(a +b) (a -b+4 ) .第一步先分组 ,第二步运用公式法展开 ,第三步才提取出公因式 .从此例可知 ,学生在复习本章节的过程中务必充分运用三种因式分解方法 ,在复杂的题目中寻找可能相关的部分 ,使用更合适的方法进行 .如果发现其蛛丝马迹 ,再抽茧剥皮 ,就会豁然开朗 .例 2　将 (x +y) 2 +4 (x+y) +4…     

利用根与系数关系解大系数方程

同学们都知道,一元二次方程有开平方法、配方法、公式法、因式分解法等四种解法。以前我最怕解大系数的一元二次方程,因式分解法不好用,公式法又易算错。学习了根与系数关系定理后,我找到了一种比较简单的方法,现举数例介绍如下。     

谈因式分解教学的难点突破

因式分解指的是把一个多项式表示成几个既约因式的乘积,它是代数中一个重要的恒等变形问题,贯穿着整个初中数学课程,在分式运算、一元二次方程求解、二次函数和根式运算等方面发挥着重要作用．事实上,因式分解的演算技能,在高等数学的学习中依然很重要．对于初学者来说,运用公式法因式分解,有两个难点需要突破,     

教学参考

●目标检测因式分解（Ａ）一、填空题（１）提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法；（２）４；（３）－４ｘ；（４）ｍ２－２ｍ＋４；（５）ｘ＋１、ｘ－１；（６）ａｘ－６；（７）ａ－３；（８）ｙ、５ｙ；（９）２５；（１０）原式＝２５（５０２２－４９８２）＝２５（５０２＋４９８）（５０２－４９８）＝２５×１０００×４＝１０００００．二、选择题（１）Ｄ；（２）ｘ４－８１＝（ｘ２＋９）（ｘ＋３）（ｘ－３），ｘ３－２７＝（ｘ－３）（ｘ２＋３ｘ＋９），ｘ２－６ｘ＋９＝（ｘ－３）２，所以公因式是ｘ－３，选Ｂ；（…     

因式分解目标测试(40分钟完成,满分100分)

一、填空：（每小题５分，共４５分）１、把一个多项式化为几个整式的的形式，叫做把这个多项式因式分解。２、把一个多项式分解因式时，如果多项式的各项有公因式时，那么先。３、利用公式分解填空：（１）ｍ４－（）＝（ｍ２＋５）（ｍ２－）。（２）２７ａ３＋１＝（）...     

实系数多变数二次多項式的因式分解問題

一、引言多項式的因式分解,往往是根据不同情况采取不同的分解方法。在中学里所使用的一些方法,基本上是提取公因式法、利用乘法公式法和分組分解法等,很少有一般的分解方法。对中学生要求到这样程度也就可以了。但对中学教师来說,口掌握特殊方法还是不够的,应尽可能掌握一些一般的分解方法。一个变数的有理数系数任意次多項式的因式分解,在个別的高等代数里已經提到它在有理数体上的一般分解方法。这个方法是此較麻煩的,但它有一个好处,能分解或不能分解通过它我們都能知道,而且能分解时能把它分解出来。我这里所写的实系数多变数二次多項式的因式分解問題是来研究实系数多变数的二次多項式在实数体上的一般分解方法。作起来虽然也比較麻煩,但能分解或不能分解它都能給以肯定的解答。这篇文章是我个人的点滴体会,可能有缺点和錯誤,請讀者給以指正。