一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

一道练习题的启示

新教材第二册(下B)P43,“平面的斜线和平面所成的角”一节,为引入最小角定理,在图1中证明了公式:cosθ=cos1θcos2θ.图1图2这里1θ是平面α的斜线OA和它在平面内射影AB所成的角,AC是α内任一直线,AB和AC所成的角为θ2,OA和AC所成角为θ,图中BC⊥AC.本节的练习题2是:已知平面的     

对课本一个结论的加强与推广

1 课本结论的再现 全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(下B)P48,在研究平面的斜线和它在平面内的射影所成的角时,有这样一段话:"已知AO是平面α的斜线,A是斜足,OB垂直于α,B为垂足,则直线AB是斜线在平面α内的斜影,设AC是平面内α的任一直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ,那么θ,θ1,θ2之间满足如下关系式:cosθ=cosθ1cosθ2."     

立体几何中的三射线定理及应用

解:将直线 AB 在平面 P 内平移到使 A、C 重合位置,于是得到从 C 点引出的三条射线,设 AB 和 CD 两射线成的角为θ,AB 与 CA 成的角为θ_1=120°,CD     

一个模型的变式及其应用

新教材第二册（下B）P43页中的模型如图1，OA和平面口所成的角为θ1，AC是α内的任意一直线，AC与OA在口内的射影AB所成的角为θ2．AO与AC所成的角为θ．则有cosθ=cosθ1&;#183;cosθ2.     

巧证三余弦定理

<正>新课标苏教选修2—1教材第98页习题第9题要我们求证三余弦定理:已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为θ₁,平面内的一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为θ₂.设斜线和平面内这条直线的夹角为θ,则cosθ=cosθ₁·cosθ₂.     

一个值得推敲的教参解答

题目求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等〔高中《立体几何》全一册(必修)P3l第9题〕。《教学参考书》解答如下: 已知:a∥b,a ∩α=A_1,b∩α=B_1,∠θ_1、∠θ_2分别是a、b与a所成的角; 求证:∠θ_1=∠θ_2。     

一道外接球问题的通解

<正>近日,有一朋友与我交流一道外接球问题,做后颇有感悟,特记录下此题与诸位分享.原题三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,且平面ABC⊥平面BCD,AB=CD=5,AC=8,BD=3,且∠BAC+∠BDC=π,则球O的表面积为_.解析法一(借助双圆模型)令∠BAC=θ,∠BDC=α,由余弦定理知,BC²=AB2=AB²+AC2+AC²-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC2-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC²=BC2=BC²+BD2+BD²-2BC·BD·cosα=34-30cosα;     

二面角教学中值得探讨的一个问题

教材对二面角的平面角是这样定义的:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成角叫做二面角的平面角.”对于这个定义,众多的人认为是:当二面角α-l-β给定之后,定义规定的平面角大小是唯一确定的.与顶点在棱上的取法无关,如图1所示.笔者认为:这样的理解是不够深刻的.为什么要取射线OA、OB都垂直于棱?仅仅是为了保证平面角大小的唯一性吗?事实上,取射线OA、OB与棱l成任意定角θ1,θ2,θ1,θ2∈[0,2π],当二面角α-l-β确定之后,由等角定理容易证明,∠AOB的大小也是唯一确定的,如图2所示,…     

共点三线四角定理及其应用

自二面角棱上一点在两个半平面内各引一条射线，这两条射线间夹角、这两条射线与校的夹角以及二面角间有何关系呢？请看下面一个结论．定理（共点三线四角定理）若PAα平面α与β的交线为。α∩βB，两点证明如图1，过A作AH⊥PC于H，过H在β内作HB交PB于B，连AB．设PH＝a，则Rt△AHP中，AH＝在△AHB和△APB中，由余弦定理则由（1）、（2）两式马上推得．定理得证．为便于记忆，将此定理不妨称之谓“共点三线四角定理”，并默认∠APB为二面角α－lβ的对角，而∠APC与∠BPC为其两个邻角．该定理充分揭示了从二面角棱上一点在…     

高考复习课堂实录

课题:二面角的求法适用年级:高三年级学期:2006-2007学年度第一学期要点提示以二面角棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做这个二面角的平面角．根．据二面角的定义,二面角有以下求法: 1．作棱的垂面．过棱上任意一点,作出棱的垂直平面,分别与两个面相交于两条射线,此两条射线所成的角即为所求二面角的平面角．若已知二面角的两个面是两个特殊的三角形(如以棱为公共底边的两个等腰三角形或全等三角形)．这时,可以选取棱上的特殊点,如公共底边的中心或公共底边上高的垂足,从特殊点出发根据定义作出二面角的平面角．     

三棱锥的侧棱所成的角与侧面所成二面角的关系

在一次练习中,我遇到这样一道题:如图1,在三棱锥A-BCD中,∠BAC=90°,∠DAB=45°,∠DAC=60,°AC=4,AB=3,求二面角B-AD-C的大小.图1我在解完这道题进行反思时,发现题目的已知条件:AC=4,AB=3是多余的.其实对于三棱锥来说,只要三条侧棱所成的角确定,那么任意两个侧面所成二面角的大     

三面角的二面角和棱面角的计算及应用

立体几何中的角有平面角、二面角、三面角等 .在空间中 ,由自一点引出不在同一平面内的三条射线 ,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形叫做三面角 .其中组成三面角的射线叫做三面角的棱 ;这些射线的公共端点叫做三面角的顶点 ;相邻两棱间的平面部分叫做三面角的面 ;每个面内由两条棱组成的角叫做三面角的面角 ;相邻两个面间的二面角叫做三面角的二面角 ;每条棱和相对的面所在平面所成的角叫做三面角的棱面角 .一个三面角有一个顶点、三条棱、三个面、三个面角、三个二面角和三个棱面角 .在三面角中 ,已知三个面角的大小 ,那么三个二面…     

巧用“斜线与平面所成角的性质”解题

立体几何中有关角的范围问题,解答起来往往比较麻烦,有时辅助线也很难作,但用“斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角”(以下称为“斜线与平面所成角的性质”)解,就很方便了。例如例1 rt△ABC的斜边BC在平面α内,且两直角边AB、AC与α所成的角分别为θ_1、θ_2。求     

立体几何中有关“角”的几个结论

立体几何中的角包括两条直线的夹角、两条异面直线所成的角、二面角以及直线和平面所成的角 .在立体几何中经常出现有关这些角的计算或论证问题 ,对这些问题 ,本文所给出的几个结论是非常有用的 .定理 1　如果二面角Ａ-ＰＣ-Ｂ为直二面角 ,∠ＡＰＣ =θ1 ,∠ＢＰＣ =θ2 ,∠ＡＰＢ =θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 .证明　(1 )若θ1 、θ2 都是锐角 ,过Ａ在面ＡＰＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ于Ｄ ,则ＡＤ⊥面ＰＢＣ .在面ＰＢＣ内作ＤＥ ⊥ＰＢ于Ｅ ,连结ＡＥ ,由三垂线定理 ,ＡＥ⊥ＰＢ .所以ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 =ＰＤＰＡ· ＰＥＰＤ =Ｐ…     

2003年全国各地高考模拟试题选析——平面向量

1　新题评析例1　(天津市高中质量调查)设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB = 4 i+ 2 j,AC =3i+ 4 j则△ABC的面积等于(　　)(A) 15 .　　(B) 10 .　　(C) 75 .　　(D) 5 .解　∵AB =(4,2 ) ,AC =(3,4 ) ,∴AB ·AC =4×3+ 2×4 =2 0| AB | =4 2 + 2 2 =2 5 ,| AC | =32 + 4 2 =5 .设AB ,AC 的夹角为θ,则cosθ=AB ·AC | AB | | AC |=2 02 5×5=25,　sinθ=1- 45 =15,∵S△ABC=12 ×| AB | | AC | sinθ=12 ×2 5×5×15=5 .即选(D) .评析　要求三角形的面积,可求两边长和其夹角的正…     

新题征展(29)第5题的推广

贵刊新题征展 ( 2 9)第 5题的推广结论是 :图 1如图 1 ,在△ ABC中 ,CD⊥ AB,∠ C =2θ,CE是∠ C的角平分线 ,CD =h,DE =m,则AB =h( h2 m2 ) sin2θh2 cos2 θ - m2 sin2 θ.下面采用与原题解法相异的等面积法证之 .证明　设 BC =a,AC =b,AB =c,S△ ACE S△ BCE =S△ ABC易知 CE =2 abcosθa b.又因为　 CE2 =h2 m2 ,于是有　 h2 m2 =4 ( ab) 2 cos2 θ( a b) 2 ( 1 )由面积关系及余弦定理得ch =absin2θ ( 2 )c2 =( a b) 2 - 2 ab( 1 cos2θ) ( 3)由 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)三式联立消去 a b和 ab后可得　 h2 …     

余弦值竟大于1

立体几何课本尸.145第3题:如图,AB和平面a所成的角是0,,AC在平面a内,Ac和AB的射影AB‘成角02,设艺刀月‘一0,求证:eoso一eoso:=eoso. 根据上述结论.若设0~300,02~450,则,/” 了︸ 。eosoCOS口l一了-了万 COS口2了了一丁一护百丫万2>1D\e2这不是说余弦值大于1吗?本期“数学诡辩”揭底题设条件不对,e必须大于0,、久.(证略)余弦值竟大于1@林金钟$福建省永太一中~~     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

从一道高考题谈有棱二面角的平面角求法

<正>对于二面角的平面角的求法,是立体几何教学的一个难点,也是高考经常出现的题型,下面结合2013年辽宁卷理科第17题谈一谈有棱二面角的平面角的求法.试题(2013年辽宁卷理)如图1,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;证明:略(2)若AB=2,AC=