关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

四面体的一个不等式

本文证明的定理是浙江陈计与陈剑京提出的一个征解问题[1] .引理　平行四边形对角线之和不小于两组对边距离之和的 2倍 ,相等关系成立 ,当且仅当四边形是正方形 .证明　如图 1 ,平行四边形 ABCD中 ,AM⊥ BC于 M,AN⊥ CD于 N .在 MC上截取 ME =BM,连结 DM,DE,AE.则易知 AE= AB,DE =AC.在△ DBE中 ,DM是中线 ,故AC BD =DE BD≥ 2 DM =2 AM2 AD2≥ 2 AM2 AN2≥ 2 ( AM AN) .其中第一个“≥”号中 ,等号成立当且仅当 B,M,E重合 ,即∠ ABC =90°,此时 D,N也重合 ,第二个“≥”号中等号也成立 .第三“≥”…     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…     

三角形界心的若干性质

性质1过三角形任一顶，＊’的周界中线平行于内·C与对边中点的连线．这是已有性质，略证如下．设AK为西ABC周界中线，则＊K一户一C，KC一户一b，M为BC中点，AI延长交对边BC于E，则BE一MM，于是”“hMc性质2三角形一顶点到界心的距离，等于内心到对边中点距离的二倍．证明设M、N分别为西＊BC的边＊C和AC中点，I为内。c，J为界·G（如图2），则IN／／BJ（性质1），连CI延长到F，使IF—CI，连AF，FB，则IN／／AF，于是BJ／／AF，同理AJ／／BF，AFBJ为平行四边形，性质3在同一三角形中，人G、J共线且JG—ZGI．事…     

一道试题的探究

一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是：在△ABC中,BC=√2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）.当∠C变化时,线段CD长的最大值为______.二、背景探究本题的背景是托勒密定理：凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

一个代数不等式及其应用

B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=…     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…     

面积等式的一种证法

本文约定，按照反时针顺序排列n（n>3，nN）边形的顶点：A1（x1，y1），A2（x2，y2），……，An-1（xn-1，yn-1），An（xn，yn）．n边形的面积S－＝MIj。Zt、I．、。。…、；．、；、，J“＼y！yZ””’yn－ly。yil一7卜IyZ＋xZy3＋”””十x。－I人十xJ！一（yllZ－I－y。2。＋…－I－y。；2。－I－ygn；）］［‘］（l）本文应用公式（豆）证明一些数学竞睿试题中的面积等式（面积不等式另文介绍）．例1在凸四边形ABCD中，E、F分别是BC、DA的中点．已知凸W面积为2．8，thAED面积为2．4，求四边形ABCD的面积（1990年安庆市…     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…     

"关于四边形的两个定理"的向量证明及推广

<数学通报>2010年第5期刊登的文[1]中给出了凸四边形中的中线定理和对角线定理如下: (1)中线定理:如图1在凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2.     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

一道立体几何题的教学探究过程

题目:如图1，在正方体A BCD-A＇B＇C＇D＇中,过对角线BD＇的平面交CC＇、AA＇于点E、F,求证:四边形BED＇F行四边形. 学生1:由面面平行的性质定理可得BE∥D＇F,BF∥D＇E,所以四边形BE＇F是平行四边形. 学生答题后,我感觉本题的教学功能还没有充分发挥出来,于是提出了下面的问题.     

数学问题解答

1636 四边形ABCD内接于⊙O，设四边形的一组对边AB，CD相交于P，记△ABC，△BCD的内心分别为O1，O2，直线O1O2与肚，CD分别交于E，F．     

由柯西不等式的证明所想到的

如果ai，bi（i=1，2，…，n）是任意实数，则式中等号，当且仅当时成立．这就是柯西不等式，其证明过程是：构造二次函数：且等号在时成立．这个不等式证明的关键是构造二农函数，这个村道往往使学生觉得神秘莫测，不可思议．事实上，把柯西不等式两边同乘以4，移项后得容易联想到一元二次方程报的判别式，这样构造①式就合情合理了．遇到有相同结构的式子，构造二农函数就会左右逢源、得心应手．。1。。中二l，8证：b’＞4ac·证明构造二农函数：f（）一ax’＋6x十c，Jib－ZC——二1，aaJHb＋Zc＝0，Ji、八一一一一一）202二次方程ax’…     

线性方程组通解并行数值方法

1预备知识 线性方程组消息传递MIMD算法是20世纪90年代至今的活跃课题，但尚无此问题 的通用有效算法发表.用!.}.}表示矩阵列分块划分，记AX=b为[AI司.定理1、2是文 {l]、[s]成果综述和推广. 定理i[‘]设有线性方程组!e}己l，e〔尺”“m，d〔R”“‘，rank(e)=r.当且仅当rank(!     

应用不等式解方程

由平均不等式可得.了丁《苦+l一了一’俩不万‘仁健土三, 乙闷、三半生,则厂.一..广~~~二,了-~气二,1,丫盆十丫梦一1十丫:一翻喃1犷气忿个口十名夕 ‘当且仅当:二1,,一1=1,:,2=1时,上述不等式取等号,即原方怪成立. 故原方程的娜是:·1,,二2,:·衣冬侧:娜方程:、扫·+co.’.(音一卜专一根据柯西不等式》‘~‘号一,+,‘n‘管一,一‘”‘二+奋一,一‘·荟一专当且仅当‘n~一‘n‘管一二,·二‘奋一‘,即‘””一‘“‘晋一”,时方程成立·由此解得.(几〔Z)汀一12 +坛一2 一一 苦蕊 观察方程的特点,化方程为不等式取等号的情形,利用不等式取等…     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2