Inversion and quasi-static problems in linear viscoelasticity

Within the theory of linear viscoelasticity, we seek solutions to the inversion problem of the constitutive equation respectively inL ² and in the spaceS of the tempered distributions. Successively we study the quasi-static problem inS. Both problems admit one and only one solution if the relaxation function satisfies Graffi's inequality. Finally we show that the inversion problem and the quasi-static one are deeply connected and that every counterexample about the existence or uniqueness of the solutions for the first problem also provides a counterexample for the latter.

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Sommario Nell'ambito della viscoelasticità lineare, si studia il problema dell'invertibilità della equazione costitutiva rispettivamente inL ² e nello spazioS delle distribuzioni temperate. Successivamente si studia il problema quasi statico inS. Entrambi i problemi ammettono una ed una sola soluzione se la funzione di rilassamento soddisfa la disuguaglianza di Graffi. Infine si mostra che i due problemi sono strettamente correlati in quanto ogni problema quasi statico è riconducibile ad un problema di invertibilità.

     

A matrix theory of elastic-locking structures

Summary The theory developed exhibits the following peculiar features: structures are discretizised in finite elements, the constitutive laws piecewise linearized, the problem is split in a preliminary linear elastic solution and a corrective nonlinear subproblem; concepts and techniques of quadratic and linear programming theory are utilized. The main results are: for the analysis under given loads and dislocations, a pair of extremum theorems for locking stresses, corresponding to dual quadratic programs; for the limit analysis with respect to locking situations two already known theorems, which are here deduced from the solvability conditions of the above quadratic programs and formulated as dual linear programs. The extension of the results to imperfectly locking behavior is carried out. Some examples illustrate the solution techniques based on the theory expounded.

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Sommario Caratteristiche peculiari della teoria sviluppata sono: discretizzazione della struttura in elementi finiti, linearizzazione a tratti delle leggi costitutive, suddivisione del problema in una preliminare soluzione elastica lineare ed in una fase nonlineare correttiva, utilizzazione di concetti e tecniche della teoria delle programmazioni quadratiche e lineari.Si ottengono, per l'analisi di continui a deformabilità limitata soggetti a dati carichi e distorsioni, due teoremi di estremo corrispondenti a programmi quadratici negli sforzi di bloccaggio; per l'analisi limite al bloccaggio del sistema, due teoremi già noti, che qui si deducono dalle condizioni di solubilità dei precedenti programmi quadratici e si presentano in veste di programmi lineari duali. I risultati ottenuti vengono generalizzati ai casi definibili a deformabilità imperfettamente limitata. Alcuni esempi illustrano le tecniche risolutive che sorgono dalla teoria svolta.

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The study presented here forms part of a research program supported by the C.N.R.     

Asymmetric snap-buckling of a column restrained by a stiff wire

Summary A relatively simple example of asymmetric snap-through buckling in a continuous structure is the nonlinear problem of a cantilevered column restrained at its tip by a stiff wire, which is inclined at an acute angle to the column centerline, and loaded at its tip by a force perpendicular to the centerline. A parameter called , which is the nondimensional ratio of the flexural rigidity of the column to the combined extensional stiffness of the wire and the column centerline, determines the essential features of the buckling. If is zero, or is small compared to unity, the bending of the column is small enough to justify the use of linear bending theory for the column. Hence, even though the constraint is nonlinear, the solution to this problem is obtained in closed form. The critical point for the structure is found to be an asymmetric branching point for =0, while for positive, the critical point is a snap-through type. The effect of is similar to that induced by initial imperfections in more complex structures. For very small , the critical load is markedly decreased from the value for =0. Moreover, the graph of the load vs. tip deflection has the appearance of having an acute discontinuity in slope at the critical point for very small, although it is actually found that the graph has a horizontal tangent there.

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Sommario Un esempio relativamente semplice di collasso asimmetrico per carico di punta in una struttura continua è il problema non lineare di una colonna incastrata ad una estremità e vincolata all'altra estremità da un filo rigido che forma un angolo acuto con l'asse della colonna e caricata a quella estremità con una forza perpendicolare allo stesso asse. Un parametro chiamato , che è il rapporto adimensionale fra la rigidità flessionale della colonna e la rigidezza longitudinale del filo e dell'asse della colonna, determina le caratteristiche essenziali del cedimento. Se è zero o è piccolo rispetto all'unità, l'inflessione della colonna è sufficientemente piccola per giustificare l'uso della teoria lineare di inflessione per la colonna. Di conseguenza anche se il vincolo non è lineare la soluzione del problema è ottenuta in forma compatta. Il punto critico della struttura si trova nel punto di biforcazione asimmetrica per =0, mentre per positivo, il punto critico rappresenta un punto di collasso. L'effetto di è simile a quello prodotto da imperfezioni iniziali in strutture più complesse. Per molto piccolo il carico critico è notevolmente ridotto rispetto al valore per =0. Inoltre il grafico del carico in funzione della curvatura all'estremità sembra avere una netta discontinuità nella pendenza dal punto di biforcazione per molto piccolo benchè, in realtà si trovi che il grafico ha lì una tangente orizzontale.

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This research was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) and was monitored by the U.S. Army Research Office, Durham, under Contract DA-31-124-ARO-D-257.     

Optical co-ordinates in general relativity 2 — the problem of distance

Summary Let denote the congruence of null geodesics associated with a given optical observer inV ₄. We prove that determines a unique collection of vector fieldsM₍₎ ( =1, 2, 3) and ₍₀₎ overV ₄, satisfying a weak version of Killing's conditions.This allows a natural interpretation of these fields as the infinitesimal generators of spatial rotations and temporal translation relative to the given observer. We prove also that the definition of the fieldsM₍₎ and ₍₀₎ is mathematically equivalent to the choice of a distinguished affine parameter f along the curves of, playing the role of a retarded distance from the observer.The relation between f and other possible definitions of distance is discussed.

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Sommario Sia la congruenza di geodetiche nulle associata ad un osservatore ottico assegnato nello spazio-tempoV ₄. Dimostriamo che determina un'unica collezione di campi vettorialiM₍₎ ( =1, 2, 3) e ₍₀₎ inV ₄ che soddisfano una versione in forma debole delle equazioni di Killing. Ciò suggerisce una naturale interpretazione di questi campi come generatori infinitesimi di rotazioni spaziali e traslazioni temporali relative all'osservatore assegnato. Dimostriamo anche che la definizione dei campiM₍₎, ₍₀₎ è matematicamente equivalente alla scelta di un parametro affine privilegiato f lungo le curve di, che gioca il ruolo di distanza ritardata dall'osservatore. Successivamente si esaminano i legami tra f ed altre possibili definizioni di distanza in grande.

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Work performed in the sphere of activity of: Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del CNR.     

Non linear transverse disturbances in plane poiseuille flow at low Reynolds numbers — Part I

Summary The behaviour and sign of the Reynolds stress for periodic perturbation of finite amplitude is studied in this paper for the plane Poiseuille flow. The case considered has Reynolds number 250 and wave number =1. The Reynolds stress that in the linear case was of opposite sign with respect to the viscosity, in the case considered becomes such for perturbation amplitudes which are still significant with respect to the dynamics of the mean flow. Some numerical results are given to characterize the phenomenon.

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Sommario In questo lavoro si studia nel moto piano di Poiseuille il comportamento ed il segno dello stress di Reynolds per perturbazioni periodiche di ampiezza finita. E' trattato il caso del numero di Reynolds 250 e del numero d'onda =1. Si osserva che lo stress di Reynolds, che nel caso lineare era di segno opposto alla viscosità, diventa tale per ampiezza della perturbazione rilevante rispetto alla dinamica del moto medio. Sono dati alcuni risultati numerici che caratterizzano il fenomeno.

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This work is part of a research program on hydrodynamics at the Istituto di Elaborazione dell'Informazione of the C.N.R., Pisa. The first Author has suggested and precisely formulated the problem, whereas the numerical work was carried out by the second Author.     

The Kepler problem spinor regularization and quantization on the manifolds S2

Summary In a previous research we have shown that the KS-transformation, developed by Kustaanheimo and Stiefel for the regularization of the Kepler problem, may be interpreted as the correspondence which associates to each null 4-vector of the space of Minkowski a one-index spinor, defined up to a phase factor, and we have obtained a new form of the KS-transformation. In the present research we show that this formulation allows a straight derivation of the Hopf fibering of the sphere S³ (characterized by unit spinors) having the base space given by the section (sphere S²) of the light cone, and we show that the KS-transformation allows the quantization of the symplectic manifold S² in the sense of Souriau. The sphere S³ turns out to be a contact quantized manifold. The bilinear relation characteristic of the KS-theory and the column vectors of the KS-matrix are intimately related to the contact structure.

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Sommario In un precedente lavoro si è mostrato che la trasformazione KS, introdotta da Kustaanheimo e Stiefel per regolarizzare il problema di Keplero, è riconducibile alla ben nota corrispondenza fra vettori del cono isotropo dello spazio di Minkowski e spinori semplici, definiti a meno della fase, e si è pervenuti ad una nuova formulazione della KS. Nel presente lavoro si mostra come da tale formulazione scaturisca in modo naturale la fibrazione di Hopf della sfera S³ (caratterizzata dagli spinori unitari) avente quale base una sezione (sfera S²) del cono isotropo e si mette in luce come la trasformazione KS consenta di effettuare la quantizzazione della varietà simplettica S² nel senso di Souriau e di ottenere la sfera S³ quale varietà quantica di contatto. La relazione bilineare caratteristica della teoria KS ed i vettori colonna della matrice KS risultano intimamente legati alla struttura di contatto.

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Presented at the VI Congresso Nazionale dell'Associazione Italiana di Meccanica Teorica ed Applicata (AIMETA), Genova, October 1982. Work performed under the auspices of G.N.F.M. of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Boundary integral equations in quasisteady problems of capillary fluid mechanics

Summary In this paper the motion of a viscous multiphase liquid occupying all the space under the action of surface tension is considered. Applying the quasisteady approximation, i.e. when mass forces including inertia terms are neglected, the flow is completely defined by the location of an interface for which the abstract Cauchy problem with nonlocal normal velocity operator is formulated. In order to obtain this operator a standard auxiliary problem for the Stokes system is to be solved which can be reduced to the Fredholm boundary integral equations by means of the application of the hydrodynamic potentials of simple layers. The stability problem of a spherical drop drift is investigated as an illustration of this method.

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Sommario Si studia il moto di un liquido viscoso a più fasi che occupa l'intero spazio ed è soggetto all'azione della tensione superficiale. Applicando l'approssimazione quasistazionaria (ossia trascurando forze di massa e termini di inerzia) il flusso è determinato dalla posizione di un'interfaccia per la quale viene formulato un problema di Cauchy astratto con operatore di velocità normale non locale. Per la definizione di questo operatore viene risolto un problema ausiliario standard per il sistema di Stokes, che può essere ridotto ad un'equazione integrale di contorno del tipo Fredholm, facendo uso della rappresentazione in semplice strato del potenziale idrodinamico. Come illustrazione del metodo viene trattato il problema della stabilità di una goccia sferica.

     

Oil whirl of rotors. Part I: Vertical shafts

Summary Self excited vibrations are studied which occur in a balanced vertical shaft running on plain lubricated bearings. The effect of weight is excluded; also conditions of full lubrication at the bearings are assumed.A linear theory predicts an exponential increase in the amplitude of vibration. The increase cannot be indefinite, it must be curbed (at the bearings in particular) by non-linear effects. Such effects are studied here and an analysis is carried out of the asymptotic behaviour of the vibrations for t .The research is concluded with a numerical analysis of the transition from a small perturbation to a fully developed whirl.

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Sommario Vengono studiate le vibrazioni autoeccitate di un asse verticale perfettamente bilanciato e privo di peso ruotante su cuscinetti lubrificati in cui non intervengono fenomeni di cavitazione.La teoria lineare predice un incremento esponenziale dell'ampiezza di vibrazione col tempo; però tale incremento non può essere indefinito (in particolare l'ampiezza di vibrazione non può eccedere il gioco radiale ai cuscinetti) e un modello adeguato deve tener conto degli effetti non lineari. Qui si esaminano tali effetti e si discute l'andamento asintotico delle vibrazioni per t .A completamento della ricerca vengono esposti i risultati di uno studio numerico del fenomeno conseguente una piccola perturbazione delle condizioni di rotazione stazionaria.

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On mean rotations in finite deformations

Summary Firstly, the classical interpretation of the mean rotation tensor of Cauchy and Novozhilov is revised. Indeed, two distinctive and defective features of this interpretation reflect a severe restriction on the class of admissible deformations. Secondly, an alternative measure of mean rotation is introduced and its explicit aspect for pure rotations, pure strains and additively pure rotations is determined.

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Sommario In questa nota viene riesaminata l'interpretazione classica del tensore di rotazione media di Cauchy e Novozhilov. Preliminarmente, si mostra come due tratti distintivi di questa interpretazione ne limitino l'ampiezza e riflettano una severa restrizione della classe delle deformazioni ammissibili. Successivamente, si perviene ad una misura alternativa di rotazione media, il cui calcolo esplicito è condotto nei casi di rotazioni pure, deformazioni pure e rotazioni additivamente pure.

     

Stochastic response of structures with small geometric imperfections

Summary A probabilistic model of the geometric imperfections of a real structure is proposed, in order to provide a general theory of the stochastic response of structures in presence of small random deviations from the perfect scheme. The main statistical measures of the stochastic response are derived and an application to the study of a particular conservative elastic system is developed.

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Sommario Si propone una teoria generale della risposta probabilistica di strutture, in presenza di piccole deviazioni aleatorie dei dati iniziali rispetto allo schema geometrico perfetto. Si deducono le principali proprietà statistiche della risposta della struttura a sollecitazioni esterne deterministiche, e si sviluppa una applicazione riguardante il comportamento aleatorio di un particolare sistema elastico conservativo.

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List of symbols element of the sample space of events - _kn random variables modelling the structural imperfections - P(o) probability density of random variables - random imperfection of the unloaded structure - u additional displacement of the loaded structure - u_o deterministic fundamental solution for the perfect structure - difference between the additional displacement of the loaded structure and the deterministic fundamental solution for the perfect structure - V₁=u₁ buckling mode of the perfect structure - _i intrinsic coordinates of the structure - suitable measure of the magnitude of the random imperfections - scalar geometric variable representing the internal product - random imperfection divided by - single scalar variable denoting the magnitude of the prescribed loads - potential energy of the structure - potential energy of the perfect structure - difference between and - _c lowest critical load - _s real local maximum for the magnitude of the prescribed loads - _c divided by _S - E{} expected value of a random variable - ² variance of a random variable - , random variables defined by Eq. (21)     

Scaling and intermittency in two-dimensional turbulence

In this paper we discuss several properties of two-dimensional decaying turbulence. In particular we analyze the intermittency of the vorticity field and the entrophy dissipation field. We find that strong intermittency acts upon the system which cannot be explained within an entrophy cascade. We propose different explanations based on the geometry of isovorticity lines and on conformal field theory.

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Sommario In questo lavoro vengono discusse alcune proprietà della turbolenza bidimensionale in decadimento. In particolare sono analizzate l'intermittenza del campo di vorticità e della dissipazione di enstrofia. Esiste una forte intermittenza della dissipazione di enstrofia che non può essere spiegata con una cascata di enstrofia simile a quanto avviene in tre dimensioni. Viene proposto un differente meccanismo basato sulla geometria delle linee di isovorticità e sulla teoria conforme.

     

Normal and oblique collisions of a vortex ring with a wall

The oblique collision of a vortex ring with a solid wall, atRe=/=1389, has been analysed by the direct simulation of the Navier-Stokes equations in Cartesian coordinates. In accordance with a previous experimental study [1], the secondary vorticity produced at the wall is organized into a loop-like vortex in the region of the ring furthest away from the wall. As the ring approaches the wall, the region closest is subjected to a high rate of stretching which increases the vorticity in the core. The vorticity gradients along the core generate bi-helical vortex lines continually displaced towards the region of the ring furthest away from the wall. The analysis of the vorticity and straining fields revealed that the pressure gradient along the core is responsible for the convective motion that displaces these vortex lines and accumulates secondary vorticity in the region far from the wall. This vorticity rolls up and forms a secondary structure which by self-induction moves away from the wall.The fundamental role of the differential stretching has been demonstrated by comparing the case of oblique collision with that of normal collision and with the collision of a two-dimensional vortex pair with an oblique wall.

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Sommario L'interazione di un vortice ad anello con una parete obliqua, aRe=1389, è stata analizzata mediante la simulazione diretta delle equazioni di Navier-Stokes in coordinate cartesiane. In accordo con un precedente esperimento [1] è stato evidenziato che la vorticità secondaria, prodotta alla parete, si organizza in una strutura vorticosa a loop nella regione dell'anello più lontana dalla parete. Quando il vortice si avvicina alla parete, la parte più vicina è soggetta ad un'elevata deformazione che aumenta il valore della vorticità nel core. La distribuzione non uniforme di vorticità lungo il core del vortice genera delle linee di vorticità elicoidali che vengono transportate verso la regione dell'anello più lontana dalla parete. L'analisi dei campi di vorticità e di deformazione ha rivelato che il gradiente di pressione, dovuto al campo di deformazione non uniforme lungo il core del vortice, è responsabile di un moto convettivo che trasporta le linee di vorticità ed accumula la vorticità secondaria nella regione del vortice più lontana dalla parete, dove la struttura secondaria viene generata.Il ruolo fondamentale della deformazione non uniforme è stato evidenziato mediante il confronto della collisione obliqua coni casi di collisione normale e di collisione di una coppia di vortici bidimensionali con una parete obliqua.

     

Second order gravitational field theories with hilbert gauge

Summary We consider, in the field-theoretical approach, a class of gravitational theories deducible by a variational principle in the unrenormalized pseudo-Euclidean space-time. At first order in the coupling constant f we require the theories to coincide with the Einstein one. Moreover we assume the Hilbert gauge which assure the exclusion of the vector component of the gravitational potential . To get the higher order consistency we substitute the most general energy-momentum tensor for the particle tensorT ^(p) in the field equations. Requiring the latter to be deducible by a variational principle varying the potentials , we get a Lagrangian which, varying the particle coordinates, gives the equations of motion. So we get a class of theories depending on 5 arbitrary parameters. To have observable quantities we have to renormalize. So we realize that, to satisfy the equivalence principle, we have to put one of the arbitrary parameters equal to zero. With this choice the class of theories coincides at second order with general relativity.

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Sommario Si vuole ottenere una classe di teorie gravitazionali deducibili da un principio variazionale, nell'ambito della teoria dei campi e nello spazio-tempo pseudoeuclideo non-rinormalizzato. Si richiede che tali teorie coincidano, al primo ordine nella costante di accoppiamento f, con la teoria di Einstein. Si assume inoltre la gauge di Hilbert al fine di escludere la presenza della componente vettoriale del potenziale . Per ottenere la consistenza al secondo ordine delle equazioni di campo, si sostituisce, in queste ultime, al tensore della particellaT ^(p) il più generale tensore energia-quantità-di-moto . Imponendo alle equazioni di campo di essere deducibili mediante un principio variazionale ove si varino i potenziali , si ottiene una lagrangiana che, ove si varino le coordinate della particella di prova, dà le equazioni di moto. In tal modo si ottiene una classe di teorie dipendenti da 5 parametri arbitrari. Per un confronto con i dati sperimentali è necessario rinormalizzare, onde esprimere quantità osservabili. Si dimostra così che per soddisfare il principio di equivalenza al secondo ordine è necessario porre uno dei 5 parametri uguale a zero e che, con tale scelta, l'intera classe di teorie coincide, al secondo ordine, con la relatività generale.

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Research sponsored by the CNR, Gruppi di ricerca Matematica     

On the Temperature of a Rarefied Gas in Non‐Equilibrium

This paper addresses the problem of the proper definition of temperature of a gas in nonequilibrium. It shows that the mean kinetic energy of the atoms of a rarefied gas is not a good measure for thethermodynamic temperature, because in general it jumps at a wall, and because it is nonmonotone in a onedimensional process of stationary heat conduction. The jump of the kinetic temperature is calculated and found to be about 5K in a rarefied gas. The basis for the calculations is provided by the arguments of extended thermodynamics of 14 moments. An essential tool is the minimax principle of entropy production recently postulated by Struchtrup Weiss [1], because it furnishes one important boundary condition.Sommario. Il lavoro riguarda la corretta definizione della temperatura di un gas in condizioni di nonequilibrio. Si mostra come lenergia cinetica media degli atomi di un gas rarefatto non sia una buona misura della temperatura termodinamica poiché in generale, essa risulta discontinua su una parete e nonmonotona in un processo unidimensionale di conduzione stazionaria del calore. Viene calcolato il salto della temperatura cinetica che risulta pari a circa 5K in un gas rarefatto. La base per il calcolo è fornita dal contesto della termodinamica estesa di 14 momenti. Uno strumento essenziale è rappresentato dal principio di minimax di produzione di entropia recentemente postulato da Struchtrup and Weiss [1], che fornisce unimportante condizione alcontorno.     

An “ideal equivalent gas method” for the study of shock waves in supersonic real gas flows

Summary A method developed by the author for the systematic study of the thermodynamic and dynamic properties of the gas behind a shock wave is reported.The method is applicable to supersonic flow regimes for which the excitation, dissociation and ionization effects invalidate the usually adopted hypothesis of ideal gas.An Ideal Equivalent Gas, having the ratio of the specific heats _s dependent on Mach number and altitude of flight is postulated.On the basis of the mass, momentum and energy conservation equations, valid through the shock wave, the relations defining the thermodynamic and dynamic state of the gas behind the shock wave are derived. These relations establish an extension of the classic relations valid for the ideal gas and reduce to them identically for _s=.The dependence of the ratio of specific heats _s of the Ideal Equivalent Gas on Mach number and altitude has been established, over a wide range, on the basis of the real gas solutions derived by Huber.

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Sommario Nella presente nota viene esposto un metodo sviluppato dall'autore per lo studio sistematico dello stato termodinamico e dinamico del gas a valle di un'onda d'urto in regime supersonico, allorchè cioè gli effetti dell'eccitazione dei gradi di libertà vibrazionali delle molecole e della loro dissociazione e successiva ionizzazione invalidano l'ipotesi di gas ideale generalmente adottata.Viene definito un gas ideale equivalente avente rapporto dei calori specifici _s funzione del numero di Mach e della quota di volo ed in base alle equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, valide attraverso all'onda d'urto, vengono derivate delle relazioni definenti lo stato termodinamico e dinamico del gas a valle dell'onda d'urto. Tali relazioni costituiscono una estensione delle classiche relazioni dell'urto valide per il gas ideale alle quali si riducono per _s=.La dipendenza del rapporto dei calori specifici _s del gas ideale equivalente, dal numero di Mach e dalla quota è stata stabilita sulla base delle soluzioni ottenute da Huber per il gas reale.

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Influence of stacking sequence and interlaminar layer on stress singularities at free edge of composite laminates

Summary The topic concerning the singularity in the state of stress existing at the free edges of plane composite laminates with resin interlaminar layer, has been dealth with. The problem has been studied by means of a F.E. approach, founded on a method able to determine the free edge state of stress without aprioristical hypotheses about the presence of a singularity. Then the singularity itself has been studied through a linear-logarithmic formulation which enables, for the stacking sequences considered — all belonging to the [°/°–90°] _s family — and for all meaningful stress components, to compute the power of the singularity and the boundary layer stress intensity factor (or free edge stress intensity factor). Taking into account these parameters, various laminations and stacking sequences have been compared, in order to provide a practical measure of the severity of the singular stress field and its influence on failure modes.Then a comparative analysis has been worked out, in order to evaluate the effects due to the thickness of the resin interlaminar layer between two fiber layers.

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Sommario Si prende in considerazione il problema connesso con l'esistenza di singolarità nel campo di sforzo presente ai bordi liberi di laminati piani in materialxe composito, in presenza di uno strato di resina interlaminare.La questione viene affrontata tramite un approccio numerico agli elementi finiti, basato su di un metodo in grado di determinare il campo di sforzo al bordo libero senza assumere aprioristicamente la presenza di singolarità. La eventuale singolarità viene poi studiata mediante una trattazione logaritmico-lineare che consente di calcolare, per tutte le laminazioni prese in considerazione, (appartenenti alla famiglia [°/°–90°] _s )e per le componenti di sforzo più significative, il valore della potenza della singolarità e quello che viene definito fattore d'intensità degli sforzi al bordo libero. Sulla scorta di tali valori si confrontano le varie laminazioni e sequenze di impaccamento.Per tuttii questi aspetti viene inoltre condotta un'indagine comparativa, per valutare l'effetto dovuto allo spessore dello strato di resina interlaminare.

     

Brittle to Quasi-Brittle Transition

Abstract. The present study focuses on the kinetic and non-deterministic aspects of the brittle to quasi-brittle transition. A solid is approximated by a lattice formed by the interacting continuum particles and the evolution of damage is estimated using particle dynamics. The onset of transition is measured by the rate of the change of correlation length. The proposed method is illustrated on the examples of creep rupture, strain localization and dynamic expansion of a circular void in a brittle plate.Sommario. Viene posta l'attenzione sugli aspetti cinetici e non deterministici della transizione dal comportamento fragile a quello quasi-fragile. Un solido viene approssimato da un reticolo formato da particelle interagenti e l'evoluzione del danno viene stimata tramite la dinamica delle particelle. L'inizio della transizione viene misurato tramite la variazione della lunghezza di correlazione. Il metodo proposto viene illustrato su esempi di rottura per creep, localizzazione della deformazione e l'espansione di un foro circolare in una piastra fragile.     

Surface waves in deep water due to arbitrary periodic surface pressure

Summary The expressions for the velocity potential and the surface elevation are obtained for the three dimensional motion on surface waves generated by a surface pressure F(x, y)e^{i t}, t>0, on the surface of a deep sea. The wave integrals are asymptotically evaluated for large distances and times by the method of stationary phase. By a direct passage to the limit t, the steady state solution of the problem is evaluated in exact terms. The results are illustrated for a class of physically plansible pressure distributions on the surface. Some features of the wave motions are discussed.

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Sommario Si ottengono le espressioni per il potenziale della velocità e la elevazione della superficie nel moto tridimensionale di onde superficiali generate da una pressione superficiale F(x, y)e^{i t}, t>0, sulla superficie di un mare profondo. Gli integrali di onde sono calcolati asintoticamente per grandi distanze e tempi con il metodo della fase stazionaria. Con un passaggio diretto al limite t, si calcola in termini esatti la soluzione di regime del problema. I risultati vengono illustrati per una classe di distribuzioni di pressione superficiale fisicamente plausibile, Si discutono alcune caratteristiche dei moti ondosi.

     

Dynamic shakedown by modal analysis

Summary Dynamic shakedown of discrete elastic-perfectly plastic structures under a specified load history is studied using the dynamic characteristics of the structure provided by modal analysis. Several statical and kinematical theorems are presented, including lower and upper bound theorems for the minimum adaptation time of the structure. In the formulation of the kinematical theorems a crucial role is played by the appropriate definition of admissible plastic strain cycle.

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Sommario Si studia il problema dell'adattamento dinamico (shakedown) di una struttura discreta elasto-perfetta-mente plastica e soggetta ad una storia di carichi prestabilita, facendo uso a tale scopo delle caratteristiche dinamiche della struttura fornite dalla analisi modale. Vengono presentati svariati teoremi, sia di tipo statico che cinematico, tra cui taluni teoremi di delimitazione superiore ed inferiore del tempo minimo di adattamento. Nella formulazione dei teoremi cinematici ha un ruolo cruciale la corretta definizione di ciclo deformativo ammissibile.

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This paper is part of a research project sponsored by the National (Italian) Research Council, C.N.R., Group of Structural Engineering, and by the National Department of Education (M.P.I.).     

Heat and “fictitious” forces in variable rest mass relativistic dynamics

Summary On the basis of the relativistic generalization of the classical variable mass equation, denoted as convective model, it is shown that the energy equation following from the general four-momentum conservation law can be interpreted in a natural way as an energy conservation law of both mechanical and thermal energy. The results are connected with the usual formulation of the point particle dynamics with variable rest mass.

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Sommario Sulla base della generalizzazione relativistica delle equazioni classiche del moto di una particella con massa variabile, generalizzazione che verrà denominata « modello convettivo », si mostra che l'equazione dell'energia che consegue dalla legge generale di conservazione del tetraimpulso può essere interpretata in modo naturale come la legge di conservazione dell'energia sia di natura meccanica che termica. I risultati ottenuti vengono ricollegati con la formulazione usuale della dinamica relativistica di una particella con massa di riposo variabile.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. groups for mathematical research.