因式分解的教学

因式分解这一章是初中代数的一个重要內容。学生以后学习分式时,要先学会約分和通分;而約分和通分都要用到因式分解。不但如此,它可以用来簡化数字計算。例如根据給定的字母的值計算某些多項式的值时,先把原式分解因式,再求它們的值,就可以使計算簡便。在解二次或二次以上的方程和不等式时,也常要利用因式分解。在高中数学里,某些超越方程(指数方程、对数方程、三角方程等)的特殊解法也需要利用因式分解。有时利用因式分解,还可以把某些式子化为适于对数計算的形式。总之,教会学生掌握因式分解的一些常用方法,对今后的学习有着重要的作用。 現行課本首先說明因式分解的意义。接着提出四种主要的因式分解方法(提取公因式法、分組分解法、应用公式法和十字相乘法)。在学生熟习了这些方法的基础上,再提出因式分解的一般步驟,并讲解上面四种方法的綜合应用。最后讲利用因式分解求最高公因式和最低公倍式。     

谈谈因式分解的方法与技巧

因式分解是一种重要的代数式变形方法。因式分解不仅用于计算代数式的化简、求值解方程和不等式等代数内容,而且在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色,在高等数学中也有一定的应用,它是解决许多数学问题的有力工具,所以,掌握因式分解的方法和技巧是很重要的。     

不等式的性质与证明

1．本单元重、难点分析本单元的重点： 1）理解不等式的性质及其证明．不等式的基本性质包括：比较实数大小的方法、五个定理和两个推论．比较两个实数a，b的大小通常转化为比较它们的差a-b与0的大小，而判断a-b的正负往往先要将其因式分解或配方．应注意五个定理和两个推论中有的是充要条件，有的是充分不必要条件．在充分不必要条件的应用中应注意最大值（或最小值）是否可以取到．     

活的“ax~2+bx+c”—“双基”教学点滴

ax~2+bx+c是一个x的二次三项式(a、b、c为常数,且a≠0)。若ax~2+bx+c=0(a≠0)则表示一个x的二次方程。本人在数学复习的教学实践中,把二次三项式、二次方程的一些常用结论与因式分解,不等式的证明,解三角问题以及处理一些解几问题结合起来,引导学生学活ax~2+bx+c,启发学生注重“双基”训练,收到了较好的效果。一因式分解对于含几个字母的多项式的因式分解,往往需要通过恰当的分组。而如何分得恰当又无一般规律,因而学生较难把握。我选了以下三个例题     

不等式的性质与证明

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)理解不等式的性质及其证明.不等式的基本性质包括:比较实数大小的方法、五个定理和两个推论.比较两个实数a,b的大小通常转化为比较它们的差a-b与0的大小,而判断a-b的正负往往先要将其因式分解或配方.应注意五个定理和两个推论中有的是充要条件,有的是充分不必要条件.在充分不必要条件的应用中应注意最大值(或最小值)是否可以取到.2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.均值不等式的应用应遵循“一正二定三相等”的原则.“一正”是指用均值不等式时需保…     

连续代数扩域上多项式因式分解的Trager算法

多项式的因式分解是符号计算中最基本的算法,二十世纪六十年代开始出现的关于多项式因式分解的工作被认为是符号计算领域的起源．目前多项式的因式分解已经成熟,并已在Maple等符号计算软件中实现,但代数扩域上的因式分解算法还有待进一步改进．代数扩域上的基本算法是Trager算法．Weinberger等提出了基于Hensel提升的算法．这些算法是在单个扩域上做因式分解．而在吴零点分解定理中,多个代数扩域上的因式分解是非常基本的一步,主要用于不可约升列的计算．为了解决这一问题,吴文俊,胡森、王东明分别提出了基于方程求解的多个扩域上的因式分解算法．王东明、林东岱提出了另外一个算法Trager算法相似,将问题化为有理数域上的分解．他们应用了吴的三角化算法,因此算法的终止性依赖于吴方法的计算．支丽红则将提升技巧用于多个扩域上的因式分解算法．本文将Trager的算法直接推广为连续扩域上的因式分解,只涉及结式计算与有理数域上的因式分解,给出了多个代数扩域上的因式分解一个直接的算法．     

谈有关无理数等问题的教学——中学数学笔谈之十三

在现行初中代数的教学大纲中,在“有理数”之后,引进无理数之前,包括了许多内容：整式和分式及其运算、一元一次方程和二元一次方程组、一元一次不等式、因式分解等．然后从数的开方问题引起,说明了无理数和实数的概念．在１９９３年的教材中,无理数的引进是这样开始...     

不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc的新证法

对于三元基本不等式“若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ” ,老教材是利用因式分解的办法 ,将ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃ化为12 (ａ +ｂ +ｃ) [(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ]后 ,再判断其值的正负而获证的 ,新教材是利用构造的办法 ,联想构造不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3≥ａ2 ｂ +ａｂ2 ” ,后利用二元基本不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ +ｂ≥ 2ａｂ”而证得的 .显然老教材中的证明对因式分解要求较高 ,学生较难掌握 ,故老教材中的证明被新教材中的证明取而代之了 ,但新教材中的构造证法技巧性亦较强 ,且构造的是一个一般性…     

关于非实验区中考数学考查内容的要求

要严格按照《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）修订版》（以下简称为教学大纲）所规定的数学教学内容范围确定试题所涉及的数学内容．整卷所涉及的数学知识应该覆盖教学大纲所列出的有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组、整式的乘除、因式分解、分式、数的开方、二次根式、一元二次方程、     

一元二次方程问题选析

一元二次方程是初中数学的重头戏,它涉及了初中代数的各种知识与技巧,象因式分解、式子的变形、代换与简单的参数讨论、基本不等式(组)的求解等。它不仅是初中代数的一个小结,同时也是将来学习高中代数的一个重要基础,处理一元二次方程(ax~2 bx c 0)的问题主要用到三件工具:根与系数的关系(即韦     

因式分解的方法和技巧

<正>因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,是处理数学问题重要的手段和工具.因式分解不仅用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数内容,而且在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色,在高等数学中也有一定的应用,它是解决许多数学问题的有     

初高中数学教学内容的脱节及解决措施

随着我国教育体制改革的不断推进,素质教育理念已经深入人心,课程改革在全国大多数中小学都已经开始实施.实践表明:课程改革可以充分调动学生学习的自主性,思维的广阔性,师生的互动性.但课程改革也有局限性,包括思维的严谨性以及推理的逻辑性,主要表现在教学内容上有明显“脱节”,学生从初中进入高中出现“不适应”现象等等.因此解决初高中数学教学内容的衔接问题势在必行.1初高中教学内容的“脱节”点(1)初中对立方和与差的公式已不作要求,而高中的许多题目还在运用这个公式.(2)初中对因式分解一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的因式分解方法只作了解,但许多初中的题目还在运用这种方法解决一元二次方程;对三次或高次多项式因式分解初中不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到.(3)二次根式中对分子、分母有理化,初中要求学生理解和掌握,并会求最简二次根式.而到高中要求更加严格和规范,它是高中函数、不等式常用的解题技巧.(4)初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基...     

因式分解概念三问三答

<正>问1什么叫因式分解?因式分解的对象是什么?答把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形就叫做这个多项式的因式分解.因式分解的对象是多项式,因式分解不针对单项式,因为单项式本身已经是整式的积的形式了,无需再进行因式分解.如:多项式x²-3x+2,可以进行因式分解,结果是(x-1)(x-2);而对单项式(1/2)ab2-3x+2,可以进行因式分解,结果是(x-1)(x-2);而对单项式(1/2)ab²就不再考虑进行因式分解.     

挖掘教材内涵 突破教学难点 提高思维能力──谈“因式分解”的教学

因式分解是初等代数恒等变形的重要内容和方法之一，历来是初中教学的难点．难就难在：一是师生认识上的反差．对于教师来讲，已经是"过来人"，驾轻就熟，各种套路心中有数，似乎好教．而对于学生来讲，上一章是乘法公式，几番下来，好象是有章可循，而因式分解则不然．这两种反差若处理不当会增大教学难度．二是因为因式分解内容涉及面广，方法灵活．如二次三项式ax2 bx c在什么情况下能分解，什么情况下不能分解，涉及一元二次方程判别式，教师清楚，学生不清楚．方法活就活在因式分解思维的逆向性和发散性、解题思维的灵活性和探索性．如…     

化繁就简是因式分解的关键

虽然对因式分解的学习 ,课本循序渐进地介绍三种方法 ,利于学生理解 .但是在学习过程中 ,因式分解往往包含多种方法 ,需要同时展开 .下面举例说明之 .例 1　将多项式a2 -b2 +4a +4b因式分解 .原式 =(a2 -b2 ) +( 4a +4b)=(a +b) (a -b) +4 (a+b)=(a +b) (a -b+4 ) .第一步先分组 ,第二步运用公式法展开 ,第三步才提取出公因式 .从此例可知 ,学生在复习本章节的过程中务必充分运用三种因式分解方法 ,在复杂的题目中寻找可能相关的部分 ,使用更合适的方法进行 .如果发现其蛛丝马迹 ,再抽茧剥皮 ,就会豁然开朗 .例 2　将 (x +y) 2 +4 (x+y) +4…     

多元二次式因式分解的一个简便方法

本刊84年第七期《二元二次式因式分解的一个简便方法》一文(下面称为“上文”)中,讨论了“取零凑尾法”在二元二次式因式分解中的应用。本文接着讨论“取零凑尾法”在多元(多于二元)二次式因式分解中的应用。为叙述方便,将上述有关结论写在这里,作为     

例谈应用导数证明不等式的解题策略

<正>函数与不等式结合的问题,通常应用导数对函数单调性进行判断,转化为函数最值问题,进而求解．下面结合一道函数不等式问题,谈谈应用导数证明不等式的解题策略．题目(2018年海淀期中文科20)已知函数f(x)=(x²-x)lnx．(Ⅰ)求证:1是函数f(x)的极值点;(Ⅱ)设g(x)是函数f(x)的导函数,求证:g(x)>-1．解析第(Ⅰ)问比较基础,证明留给读者自行完成．下文使用五种方法就第(Ⅱ)问的解答进行分析．     

浅谈解不等式（方程）组的几种思维方法

中学课本里不等式(方程)组的解法多是常规方法，用来解一些结构比较特殊的不等式(方程)组，或难以奏效，或过于繁琐．本文给出解这类问题所涉及到的几种方法，供读者参考．     

高考复习课堂实录

课题:函数初步适用年级:高三年级学期:2006～2007学年度第一学期要点提示函数思想贯穿高中数学始终,函数一章历来是高考的重点,试题大致分为两类:一是考查函数的基础知识和基本方法;二是对函数与其他数学问题如导数、方程、不等式和数列的综合考查．函数的三要素是对应法则、定义域和值域．函数y =f(x)中x与y的对应关系可采用解析法、列表法、图像法等形式,其中解析法应用最普遍,函数的解析表达式的确定常采用待定系数法．函数定义域的确定常采用解不等式(组)的方法;而函数值域确定的基本方法是由自变量x所满足的不等式,通过变换导出因变量y的不等式．函数的奇偶性是函数值所满足的一个特定的等量关系;函数的单调性则是不等式x1f(x2)的转换关系,或是与f'(x)>0或f'(x)<0成立与否密切相关．函数图像直观形象地反映了函数的性质,要深刻体会数形结合的数学思想,并应用数形结合的方法解决函数问题．     

不等式等号成立条件的探求及应用

纵观有关不等式的证明问题，大致可以分为两大类：如果不等式的条件(若有条件)和结论皆为对称表达式，我们称这样的不等式为对称不等式．如果不等式的条件(若有条件)和结论至少有一个为非对称表达式，我们称这样的不等式为非对称不等式．