2002年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

参考公式三角函数的积化和差公式sinα cosβ =12 [sin(α β) sin(α -β) ]cosα sinβ =12 [sin(α β) - sin(α -β) ]cosα cosβ =12 [cos(α β) cos(α -β) ]sinα sinβ =- 12 [cos(α β) - cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c) l;其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球体的体积公式V球 =43πR3 ,其中 R表示球的半径 .1.选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)不等式组 x2 - 1<0x2 - 3x <0 的解集是 (　…     

几个正(余)切函数公式的应用技巧

本文所谈及的系指如下公式:(1)tgα±tgβ=tg(α±β)(1tgαtgβ);(2)tgαtgβ=sin(α±β)/cosαcosβ(3)tgα/2=(1-cosα)/sinα,ctgα/2=(1 cosα)/sinα(4)     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

为几例三角题解把脉

三角函数是中学数学的重要内容之一 ,它除具有一般函数性质外 ,还具有一系列特殊的性质 ,同学们在求解时 ,稍有不慎就会“误入歧途”且不易觉察 .本文为几例三角题解把把脉 ,望同学们能从中有所领悟 .病因 1　忽视三角函数的有界性例 1　已知sinαcosβ =12 ,求t =sinβcosα的范围 .病解　把sinαcosβ =12 与t=sinβcosα相加 ,得sin(α +β) =12 +t .∵ - 1≤sin(α +β)≤ 1,∴ - 1≤ 12 +t≤ 1,即 - 32 ≤t≤ 12 .诊断　未能充分挖掘正、余弦函数的有界性 .事实上 ,由sinαcosβ =12 ,得sin(α +β) +sin(α - β) =1,即sin(α +β) =1…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

再谈一类三角问题解的讨论

题目 1已知cosα -cosβ =12 ,sinα -sinβ =- 13,求cos(α +β) ,sin(α +β) ,cos(α - β) ,sin(α -β) .解　设z1=cosα +isinα ,z2 =cosβ +isinβ则 |z1|=|z2 |=1,且由题意可得z1-z2 =12 - 13icos(α +β) ,sin(α +β)即为z1z2 的实部和虚部 ;cos(α - β) ,sin(α - β)即为 z1z2的实部和虚部 ;1)∵z1z1=|z1|2 =1,z2 z2 =|z2 |2 =1,易得z1z2 =- z1-z2z1-z2=-12 - 13i12 +13i=- 513+1213i,即cos(α +β) =- 513,sin(α +β) =1213.2 )设 z1z2=z1z2z2 z2=z1z2 =1z2 z1=x .∵ (z1-z2 ) (z1-z2 ) =z1z1-z1z2 -z2 z1+z2 z2 ,∴ (12 - …     

三角函数与反三角函数

1 已知12sinα=5cosα,求α角的六个三角函数值。 2 α是锐角,在单位圆中,用三角函数线证明:(1)sinα cosα>1;(2)tgα ctgα≥2;(3)sinα<α0的解集。 5 求使等式(ctg~(2α)-cos~(2α)~(1/2)=sina-cscα成立的α的范围。 6 已知函数f(x)=3sin(kπ/7 π/4),其中k≠0,如果要使x经历任意两个整数之间时,函数都至少有一个最大值和最小值,求最小的正整数k之值。     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

构造法解三角函数题

一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解　∵　sinα +cosα =2× 110 ,∴　sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵　sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴　tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解　∵　sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴　sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴　sinα =125 q ,…     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

一道三角不等式的引申推广

最近笔者得到一个漂亮简洁的三角不等式(引理1),并由此引申、推广出若干个优美的三角不等式,现介绍如下,供参考.引理1设α,β均为锐角,则有1sin2α 1sin2β≥2sin(α β),当且仅当α=β时取等号.证1sin2α 1sin2β≥21sin2αsin2β=1sinαcosβ·cosαsinβ≥2sinαcosβ cosα     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

一堂习题课

高中《代数》第一册P115,第17题,已知tgα=2,求(sinα cosα)/(sinα-cosα)的值。此题虽浅显简单,但对学生培养能力、发展智力、引起兴趣,能起到相当的作用。我在讲完同角三角函数的基本关系式一节后,就此题并围绕它上了一节习题课。一题多解提问:上一节课布置的已知tgα=2,sinα、cosα的值各等于多少?同学们都解得sinα=±(2 5~(1/2))/5,cosα=±5~(1/2)/5。随即要大家练习P115。第17题,同学     

(三)和差角公式一例

解评 “裂项求和法”求等差角同名函数的和:设有等差角a_1,a_2,a_3,…,a_n,为求其同名三角函数的和,如求 cosα_1 cosα_2 … cosα_n 可先配以“积因子”,如sinβ而得 cscβ(cosα_1sinβ cosα_2sinβ … cosα_nsinβ) 并使括号中各积化成和差形式后能够消项。     

一种三角变形的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题二A组第十四题是:已知tgα=3,计算:(1)(4sinα-2cosα)/(5cosα+sinα);(2)2sin~2α/3+cos~2α/4;(3)sinαcosα;(4)(sinα++cosα)~2,这个题目的正确解法是:先将每个式子都变形为只含有tgα的式子,再把tgα=3     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

两个引理及其推广的再推广

文[1]介绍了有关不等式的两个引理及其推广命题1-4.本文将两个引理及其推广命题再作进一步推广.引理1的推广设α,β均为锐角,n∈N ,则1sinn2α sin1n2β≥sinn(2α β)(1)当且仅当α=β时取等号.证sin1n2α sin1n2β≥2sinn2α1sinn2β=12n-1(sinαcosβ.cosαsinβ)n≥(sinαc