图的边覆盖染色中的分类问题(英文)

设 G是一个图 ,其边集是 E( G) ,E( G)的一个子集 S称为 G的一个边覆盖 ,若 G的每一点都是 S中一条边的端点 .G的一个 (正常 )边覆盖染色是对 G的边进行染色 ,使得每一色组都是 G的一个边覆盖 ,使 G有 (正常 )边覆盖染色所需最多颜色数 ,称为 G的边覆盖色数 ,用χ′c( G)表示 .已知的结果是对于任意简单图 G,都有 δ- 1≤ χ′c( G)≤ δ,δ是 G的最小度 .若 χ′c( G) =δ,则称 G是 CI类的 ;否则称为 CII类的 .本文主要研究了平面图及平衡的完全 r分图的分类问题     

边覆盖临界图的一些性质

设G是一个简单图,其顶点集为V(G)而边集为E(G),S∈E(G)称为 G的一个覆盖,如果由S导出的子图为G的一个生成子图. G的边覆盖色数χ'c(G)是E(G,)所能划分成的最大边覆盖数.已知δ-1 ≤χ'c(G)≤δ,由此将χ'c(G)=δ的图称为CI类图,否则称为CII类图.若G是连通CII类图,且G不是完全图,对任意的u,u∈V(G),e=uv( )E(G),都有χ'c(G+e)＞χ'c(G)成立,则称G为边覆盖临界的.本文研究了边覆盖临界图的一些性质.即若G为边覆盖临界图,则对任意的u,v∈V(G),若e=uv( )E(G),总存在w∈{u,v},有d(w)≤2δ-2,且w至少与max{d(w)-δ+1,3d(w)-4δ+4}个最小度顶点相邻.     

图的f-边覆盖染色

设G(V,E)是至少含有一条边的无环图,f厂是定义在V上的整值函数且对任意的v∈V,有1≤f(v)≤d(v).若边染色C使所用的每一种颜色在任一顶点v上至少出现f(v)次,则称该染色C为,f-边覆盖染色.能对图G进行,f-边覆盖k-边染色的最大颜色数k,称为图G的,f-边覆盖色数,记为X'fc(G).本文提供了一个关于X'fc(G)的Vizing型定理,使一些已有重要结论得以推广;研究了一些使X'fc(G)达到该Vizing型定理上界的几类图或函数f,还讨论了f-边覆盖染色的变型,提出了一些可进一步研究的问题.     

边覆盖染色问题的有效算法

设G=(V,E)是一个重图.若边子集F的导出子图是G的一个生成子图,则称F为G的一个边覆盖.G的边覆盖色数ξ(G)是使得G可划分的最大不交边覆盖数.用δ(G)表示G的最小阶,令ρ(G)=min{2|?(U)|/(|U|+1):U?V(G),|U|≥3为奇数},其中?(U)表示至少有一个端点在U中的边集合.显然,ξ(G)≤min{δ(G),「ρ(G)」}.本文证明了,对系列平行重图和近似二部重图,此处等号成立,并且通过证明得到计算这两类重图的边覆盖色数的多项式时间算法.     

扇的倍图的邻点可区别边色数

设G(V,E)是阶数至少是3的简单连通图,若f是图G的k-正常边染色,使得对任意的uv∈E(G),C(u)≠C(v),那么称f是图G的k-邻点可区别边染色(k-ASEC),其中C(u)={f(uw)│uw∈E(G)},而χa′s(G)=min{k│存在G的一个k-ASEC},称为G的邻点可区别边色数.本文给出扇的倍图D(Fm)的邻点可区别边色数.     

围长至少为4的平面图的邻点可区别边色数

图G的邻点可区别边染色是G的正常边染色,使得每一对相邻顶点有不同的颜色集合．G的邻点可区别边色数X＇a（G）是使得G有一个k-邻点可区别边染色的最小正整数七．本文证明了：若G是围长至少为4且最大度至少为6的平面图,则X＇a（G）≤△＋2．     

不含三角形图的正常染色路和正常染色圈

图G为边染色图,对G中的任一顶点v,定义v的色度dc（v）：G中与顶点v相关联的边中不同染色的数目.用δc（G）表示图G的最小色度,即δc（G）=min{dc（v）：v∈G}.若图G为不含三角形的边染色图,且δc（G）≥2,则G含长为4d-2的正常染色路或长至少为2d-2的正常染色圈.     

重图的超f - 边覆盖染色

图G的一个超f - 边覆盖染色就是它的一个f - 边覆盖染色并且使得图G中的重边染上不同的颜色. 令χ^H_fc(G)是图G存在一个超f - 边覆盖染色时所需最大的颜色数k. χ^H_fc(G)称作是图G的超f - 边覆盖染色色数. 本文讨论重图的超f - 边覆盖染色的存在性并且给出了重图的超f - 边覆盖染色的色数下界.     

Pm□Pn的Smarandachely-邻点可区别边色数

图G的正常边染色f满足相邻点的色集合相不互包含时,该染色称为图G的Smarandcchely-邻点可区别边染色,其中S(x)={f(xw)|xw∈E(G)}称之为在f下的顶点x的色集合.该染色称为图G的Smarandchely-邻点可区别边染色.对图G进行的.Smarandchely-邻点可区别边染色所用最少颜色数称为图G的Smarandachely-邻点可区别边色数.讨论了Pm□Pn的Smarandchely-邻点可区别边色数.     

关于图的点可区别边染色猜想的一点注

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别的是指任意两点的点及其关联边所染色集合不同,所用最少颜色数被称为G的点可区别边色数,张忠辅教授提出一个猜想即对每一个正整数k≥3,总存在一个最大度为△(G)=k≥3的图G,图G一定有一个子图H,使得G的点可区别的边色数不超过子图的.本文证明了对于最大度△≤6时,猜想正确.     

最大度为6的图的邻点可区别边色数

图G的邻点可区别边染色是G的一个正常边染色,使得每一对相邻顶点有不同的颜色集合.图G的邻点可区别边色数χ′_α(G)是使得G有邻点可区别边染色的最少颜色数.本文证明了:若G是一个最大度为6的图,则χ′_α(G)≤12.     

星扇轮联图的邻点可约边染色

对简单图G(V,E),若存在自然数κ(1≤κ≤Δ(G))和映射f:E(G)→{1,2,…,κ}使得对任意相邻两点u,v∈V(G),uv∈E(G),当d(u)=d(v)时,有C(u)=C(u),则f为G的κ-邻点可约边染色(简记为κ-AVREC of G),而x′_(aur)(G)=max{κ|κ-AVREC of G}称为G的邻点可约边染色数.其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)}.证明了联图在若干情况下的邻点可约边染色定理,得到了S_n+S_n,F_n+F_n,W_n+W_n,S_n+F_n,S_n+W_n和F_n+W_n的邻点可约边色数.     

关于图P_n~k的均匀染色

对简单图G=〈V,E〉及自然数k,令V(Gk) =V(G) ,E(Gk) =E(G)∪{uv|d(u,v) =k},其中d(u,v)表示G中u,v的距离,称图Gk为G的k方图.本文讨论了路的k方图Pkn的均匀点染色、均匀边染色和均匀邻强边染色,利用图的色数的基本性质和构造染色函数的方法,得到相应的色数χev(Pkn) ,χ′ee(Pkn) ,χ′eas(Pkn) .并证明猜想“若图G有m -EASC,则一定有m +1 -EASC”对Pkn是正确的.     

关于图K_(2n)-E(C_4)的点可区别边色数

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别边染色是指任何两点的点及其关联边的色集合不同,所用最小的正整数k被称为G的点可区别边色数,记为x′_(vd)(G).用K_(2n)-E(C_4)表示2n阶完全图删去其中一条4阶路的边后得到的图,文中得到了K_(2n)-E(_4)的点可区别边色数.     

围长不小于6且最大度至少为8的平面图的无圈列表边染色

对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染三种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色φ,如果对任意e∈E(G)都有ф(e)∈L(e),则称ф为无圈L-边染色.用a′_(list)(G)表示图G的无圈列表边色数.证明若图G是一个平面图,且它的最大度△≥8,围长g(G)≥6,则a′_(list)(G)=△.     

两类Mycielski图及一些平面图的均匀全色数

对于图G(V,E)的正常k-全染色φ称为G(V,E)的k-均匀全染色,当且仅当任意两个色类中的元素总数至多相差1.xvee(G)=m in{k存在图G的一个k-均匀全染色}称为G的均匀全色数.本文得到了两类M ycielsk i图及圈,轮图和扇形的均匀全色数.     

极大外平面图的星边染色

如果图G的一个正常边染色使得G中没有长为4的路或4-圈是2-边染色的,则称此染色是G的一个星边染色.对G进行星边染色所需的最少颜色数称为G的星边色数,记作x′s(G).该文证明了最大度为4的极大外平面图的星边色数等于6,对任一n(≥8)阶极大外平面图Gn,有6≤x′s(Gn)≤n-1成立,并且上界和下界都是可达的.     

二部平面图的邻点可区别边色数

图G的邻点可区别边染色是G的一个正常边染色,使得每一对相邻顶点有不同的颜色集合.图G的邻点可区别边色数χ′_a(G)是使得G有邻点可区别边染色的最少颜色数.2006年,Edwards等证明了对最大度至少为12的连通二部平面图,有χ′_a(G)?+1.本文改进了上述结果,证明了若G是最大度至少为7的连通二部平面图,则χ′_a(G)?+1.     

关于图的点可区别边染色的一个猜想

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别的是指任意两个不同点的点及其关联边所染色集合不同,所用最少染色数被称为G的点可区别边色数,张忠辅教授提出一猜想即对每一个正整数k≥3,总存在一个最大度为△(G)=k≥3的图G,,满足图G一定有一个子图H,且母图的点可区别的边色数小于子图的.本文证明了对于最大度小于9时,此猜想正确.     

关于积图点可区别边染色的若干结论

如果图G的一个正常边染色满足任意两个不同点的关联边色集不同, 则称为点可区别边染色(VDEC), 其所用最少颜色数称为点可区别边色数. 利用构造法给出了积图点可区别边染色的一个结论, 得到了关于积图点可区别边色数的若干结果, 并且给出25个具体积图的点可区别边色数, 验证了它们满足点可区别边染色猜想(VDECC).