椭圆中弦长最值问题的探究

<正>与长度有关的最值问题是解析几何中的常见题型,解这类问题的一般方法是选择一个自变量,利用距离公式,建立函数解析式,分析解析式的结构特征,确定求函数最值的方法,下面举例说明.问题设点B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的上顶点,过点B作直线l交椭圆于另一点A,求|AB|的最大值.分析一因为点B确定,欲确定|AB|,只需确定点A的位置,点A的位置由其坐标来     

一道距离最值问题的解法探讨

近日,笔者遇到一道问题,颇觉有趣,值得探究. 问题 已知直线y=a分别与曲线l:y=2(x+1),E:f(x) =x+lnx交于A、B,则|AB|的最小值为 1 解法初探 思路1:借助图形分析,画出两个曲线图形,如图1,联想到曲线上的动点到直线距离的最值问题,可以过点B作BC⊥l于点C.     

数学竞赛申几类限定几何极值问题

已知直线l或圆O及两定点A、B，在其上求一点P，使PA＋PB为最小．此问题称为限定几何极值问题，本文对它拓广，并对由此衍生的竞赛题的背景进行探讨及给出新解法．一般可表述为：A、B为已知圆锥曲线M外的两定点，求M上任一点P到A、B距离之和的最值．1．当线段AB与曲线M有公共点P。时．（1）PA＋PB有最小值，最小值即为线段AB的长．（2）①若M是无界曲线，PA＋PB无最大值．②若M是有界且连续的曲线，当点P为以A、B为焦点的椭圆系与M的“最后”一个公共点（再扩大一点即把M内含）时，PA＋PB最大，最大值即为此时椭圆长轴的长．…     

双曲线定义的应用

<正>一、巧用定义,求双曲线的轨迹方程例1在△ABC中,B、C是两个定点且|BC|=12,点A为动点,满足||AC|-|AB||=1/2|BC|,求顶点A的轨迹方程.解析以B、C所在直线作为x轴,线段BC的垂直平分线作为y轴,建立平面直角坐标系.由已知得B(-6,0),C(6,0),     

与直线有关的最值问题的求解

<正>解析几何知识是高考的主干内容,直线又是学好解析几何知识的基础.本文将借助两种题型对与直线有关的最值问题作一些探讨.一、与线段长度有关的最值问题例1已知直线m过点P(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当|PA|·|PB|取得最小值时,求直线m的方程.     

第十一章 直线方程

§1 基本公式要点有向线段,两点间的距离公式,线段的定比分点公式,三角形的重心公式。例1 A、C、B、D是直线l上的顺次四点。且|AB|=5,|BC|=3,|CD|=7,E、F分别为线段AC、BD的中点。求|AC|、|BD|、|BE|。解如图11-1。选定直线l的正向。则有向线段AB=5,BC=-3,CD=7。得     

一个数学问题的探究

文[1]最后提出了一个待解决的数学问题:过∠MON(∠MON=θ,θ为定值,且θ∈(0,π))内一定点P做直线l分别交射线OM、ON于A、B两点(A、B异于顶点O),求|OA|+|OB|-|AB|的取值范围.     

抛物线中的若干最值问题

<正>过抛物线的对称轴上一定点引直线交抛物线于两点,则以这两点为端点的弦被对称轴上的定点截成两部分,本文给出这两部分组合的五个最值问题,并用统一的方法给以解答.问题1给定抛物线E:y2=2px(p>0),M(m,0)(m>0)是x轴(即E的对称轴,下同)上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B,求|AB|的最小值.     

一个面积最大值问题的海伦解法

题目已知椭圆 的焦点为F1,F2直线l过F1且与椭圆交于A、B两点,求△F2AB面积的最大值. 这是一道常见题,解法较多.湖北《中学数学》2001年第11期P10页提供了以下四条解题途径: (1)以弦AB为底,点F2到直线l的距离为高解之; (2)以|F1F2|为底,点A、B到x轴的距离|y1|,|y2|为高解之;     

对一类轨迹问题的探究

1问题的提出在"圆锥曲线"一章中,我们研究过平面内到两个定点的距离的和、差、商为定值的点的轨迹.这里还有"积"没有研究,为此我们提出如下的问题1.问题1平面内到两个定点A,B的距离的积为常数的点P的轨迹是什么曲线?2问题的探究在解析几何中我们研究曲线的一般方法是先建立曲线的方程,然后根据曲线的方程来研究曲线的性质并画出曲线.令|AB|=2c(c>0),|PA|与|PB|的乘积为a2(a>0),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,可知A(-c,0),     

关于一道高中联赛试题的一般性结论

题 定A(-,2),已知B是椭圆x^2/25+y^2/16=1上的动点,F是左焦点．当|AB|+5/3|BF|取最小值时,求B的坐标．     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

圆锥曲线有关切点问题探究

<正>一、2017年全国Ⅰ卷文科数学圆锥曲线题探源原题设A,B为曲线C:y=x²/4上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB     

消失的“长度”——车轮悖论之我见

<正>1问题与初步分析2300多年前,古希腊哲学家亚里士多德在教科书《论力学》中提出了“车轮悖论”:在轮子上有两个同心圆,轮子滚动一周,从A点移动到B点,这时|AB|相当于大圆的周长．此时小圆也正好“转动”一周,并走过了长为|AB|的距离,这不是表明小圆的周长也是|AB|吗?     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

一个三角形面积公式在立体几何中的应用

定理S△ABC=21AB2·AC2-(AB·AC)2.证S△ABC=21|AB|·|AC|sin〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-cos2〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-|AABB|·|AACC|2=21|AB|2|AC|2-(AB·AC)2=21AB2·AC2-(AB·AC)2.例1已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).试求:1)△ABC的面积;2)△ABC的AB边上的高.解1)     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

曲线方程证三角恒等式一例

例题在△ABC中,已知a=10,c-b=8求证tg(B/2)ctg(C/2)=(1/9)。分析由a=10,c-b=8可知|BC|=10|AB|-|AC|=8,即动点A到两定点B,C的距离的差为定值,故A在某双曲线上。证明如图,以BC中点为原点建立坐标系,则点A(x_1,y_1)在双曲线x~2/16-y~2/9=1的右支上。由双曲线的焦点半径公式得     

“中点重合”的应用举隅

众所周知:同一直线上顺次是A、B、C、D的四点构成线段|AB| |CD|的充要条件是线段AD与BC的中点重合。在求解直线与二次曲线相交所得的线段相等的有关问题时,合理地运用这一结论,可以将距离计算转化为中点坐标的比较,收到避开求交点、减少