The torsional oscillations of a rigid spherical inclusion embedded in an elastic stratum

In this paper we investigate the axisymmetric harmonic torsional vibrations of a rigid spherical inclusion, embedded centrally in an elastic stratum of finite thickness. For an infinite solid the problem has a simple closed form solution. Here the stratum problem is formulated as a Fredholm integral equation of the first kind, and a perturbation method employed to solve this equation approximately for large values of the ratio of sphere radius to stratum depth. Approximations are given for quantities of physical interest such as the stress distribution at the inclusion-elastic medium interface, and the stress couple on the sphere.

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Résumé Dans cette étude on recherche les vibrations axisymmétriques harmoniques et torsionales d'une inclusion sphérique et raide, située centralement dans une couche d'une épaisseur bornée. Pour un solide infini le problème a une solution élémentaire.On formule le problème de couche comme une équation intégrale de Fredholm de la première sorte. On se sert d'une méthode de perturbation pour résoudre cette équation d'une façon approximative pour les grandes valeurs de la proportion du rayon de la sphère contre la profondeur de la couche. Les approximations sont calculées pour la distribution d'effort employée sur l'inclusion et pour la couple de torsion employée sur la sphère.

     

The problem of interaction between a misfitting inclusion and a crack in an infinite elastic medium

The problem of interaction between a curvilinear crack (or a system of such cracks) and a misfitting inclusion of arbitrary shape (or a system of such inclusions) inside an infinite isotropic elastic medium of the same material as the inclusion was solved by using the complex potential technique and reducing the problem to a complex Cauchy type singular integral equation along the crack only (or the system of cracks).

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Résumé Le problème de l'influence mutuelle d'une fissure curviligne (ou d'un système de telles fissures) et une inclusion malajustée de forme arbitraire (ou un système de telles inclusions) dans un milieu infini élastique isotrope du même matériau que l'inclusion a été résolu en utilisant la technique des potentiels complexes et en réduisant ainsi le probléme à une équation intégrale singulière complexe du type Cauchy seulement le long de la fissure (ou du système des fissures).

     

Comportement des matériaux plastiques parfaits,non visqueux

Résumé Dans une première partie, partant d'une relation générale entre contraintes, vitesses de déformations et masse spécifique, nous démontrons l'existence d'une surface d'écoulement (critère d'écoulement en contraintes). Dans une deuxième partie, nous proposons une loi d'écoulement. Celle-çi admet comme cas particuliers: la théorie du potentiel plastique pour les matériaux incompressibles à critère d'écoulement indépendant de la contrainte moyenne, la théorie deBrown etGudehus pour les matériaux compressibles à critère d'écoulement indépendant de la contrainte moyenne, et la théorie de la courbe intrinséque (cisaillement selon un plan) pour les matériaux à critère d'écoulement indépendant de la contrainte intermédiaire.Avec 3 figures     

Effect of friction on the interface crack loaded in shear

The conventional formulation used in the past for problems involving interface cracks leads to a physical contradiction: The two sides of the crack are assumed to be free of tractions in the formulation, but the crack faces are seen to overlap after the solution is constructed. This unsatisfactory feature can be eliminated by introducing contact zones at the tips of an interface crack. The present article investigates the effect of friction in the contact zones for loads that start from zero and are increased monotonically. As an application, shear loading is considered, and the problem is reduced to a singular integral equation with a Cauchy-type kernel which is solved numerically. The results show that one of the contact zones is large and that friction affects the global nature of the stress fields. The results worked out include also the stress intensity factors, crack opening displacement, and the pressure distribution in the larger contact zone.

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Résumé La formulation habituelle utilisée dans le passé pour des problèmes de fissures interfaciales conduit à une contradiction physique: Les deux lèvres de la fissure doivent être libres de contraintes, mais la solution peut impliquer une interpénétration des bords. Il est possible d'éliminer cette contradiction physique en introduisant des zones de contact aux pointes de la fissure. Le présent article étudie l'effet du frottement dans les zones de contact pour des charges croissantes à partir de zero. Comme application, on considère une charge de cisaillement et le problème se réduit à une équation intégrale singulière avec un noyau de type Cauchy. Cette équation est résolue numériquement. Les résultats montrent que l'une des zones de contact est grande et que le frottement modifie l'ensemble du champ de contraintes. On a aussi obtenu les facteurs d'intensité de contraintes, l'ouverture de la fissure et la distribution du pression dans la plus grande zone de contact.

     

Existence theorems for nonlinear elastic plates with periodic boundary conditions

The implicit function theorem is applied to the general three-dimensional equations for the equilibrium of a rectangular nonlinearly elastic plate subjected to suitable applied forces. The plate is assumed to have periodic boundary conditions or else to be with sliding edges. Regularity results in Sobolev spaces are used to define the equations in a suitable Banach space. Then, it is shown that the problem has a solution if the applied forces are small enough in a certain Sobolev norm.

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Résumé On applique le théorème des fonctions implicites au problème non linéaire de l'équilibre d'une plaque rectangulaire élastique soumise à des forces convenables. Cette plaque est supposée à bords glissants ou bien soumise à des conditions aux limites de type périodique. On utilise des résultats de régularité dans les espaces de Sobolev pour poser les équations dans un cadre fonctionnel adéquat. On montre alors que ce problème admet une solution si les forces appliquées sont assez petites dans une certaine norme de Sobolev.

     

Loss of contact between an elastic layer and half-space

The plane problem of smooth contact between an elastic layer and a half-space is analyzed. The layer is pressed against the half-space by a uniform load applied over its entire surface except for one region of finite length. The solution is given as the sum of solutions to two plane problems, one of which is known a priori. The analysis of the other problem leads to an inhomogeneous Fredholm integral equation for an auxiliary function that is related to the contact pressure. The boundedness of the contact stress at the end of the contact is used to determine the region of separation. The integral equation is solved numerically and the relevant physical quantities are computed and presented in the form of curves.

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Résumé On analyse le problème du contact glissant entre une couche élastique et un demi-espace. La couche est pressée sur le demi-espace par une charge uniforme appliquée à sa surface entière, à l'exception d'une région de longueur finie. La solution est donnée comme une somme des solutions de deux problèmes plans, dont l'une est connue à priori. L'analyse de l'autre est amené à une équation intégrale non-homogène de Fredholm pour une fonction auxiliaire qui dépend de la pression de contact. Le fait que la pression du contact ne peu pas être infinie aux extrémités du contact est utilisé pour déterminer la région de séparation. L'équation intégrale est résolue de façon numérique et les quantités physiques importantes sont calculées et présentées en forme des courbes.

     

Line integral representations for the traction problem of the elastic halfspace and their application to a study of the singular effects of load jumps

Line-integral representations for the solution of the elastostatic traction boundary-value problem of the half space are derived for the case of polyharmonic surface loading. For load regions of essentially arbitrary shape, bearing uniform tractions, these line-integral representations are applied to the analysis of the stress singularities present at the edges of the load region.

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Resume On dérive des représentations par intégrales curvilignes de la solution du problème aux conditions limites de traction élasto-statique dans le demi espace.On applique, pour des régions de charge de forme essentiellement arbitraire, ces représentations par intégrales curvilignes à l'analyse des singularités de tension qui apparaissent aux bords de la région de charge.

     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

Etude viscosimétrique des effets structuraux du cation calcium sur des solutions contenant l'anion alginate

Résumé Le comportement en viscosité sous différentes vitesses de cisaillement, à différentes températures, de solutions d'alginate de sodium à des concentrations variant entre 0,05% et 1%, auxquelles on a ajouté du chlorure de calcium en quantité variable, est qualitativement toujours le même; pour des quantités croissantes de chlorure de calcium, à concentration fixe en alginate de sodium, à une phase de dépression de la viscosité succède une phase de croissance très rapide, suivie à nouveau d'une phase de décroissance. Dans la première phase les variations de la viscositè avec la vitesse de cisaillement sont représentables par un modèle répondant à la Théorie d'Eyring; dans les phases suivantes l'écoulement est représenté par une loi du type =a^b avec b<0. Cette différence dans le mode d'écoulement tiendrait à l'apparition, à partir d'une concentration en chlorure de calcium suffisante, d'une structure tridimensionelle plus ou moins stable suivant la concentration en ions calcium.Discours prononcé lors du congrès annuel des rhéologues allemands à Berlin le 9 juin, 1966.     

Examen de l'état de fatigue statique et dynamique d'un matériau par tomodensitométrie

Résumé L'observation par tomodensitométrie de la section transversale d'une poutre soumise à un moment de flexion met en évidence d'une part une zône isodensitométrique stable correspondant à la concentration des contraintes, d'autre part un décalage très net du maximum de la répartition densitométrique par histogramme pouvant être interprêté comme une certaine hétérogénéité. Ces phénomènes existent pour tous les matériaux que nous avons testés: plexiglass, nylon, rilsan, delrin. En fatigue dynamique, après 20 × 10⁶ cycles, l'histogramme comparatif révèle un décalage encore plus significatif que dans le cas statique; tout ceci apporte ainsi un élément positif à la nouvelle utilisation de cet appareil médical.

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Summary Observation by scanner of the cross section of a beam submitted to a bending moment gives evidence of a stable isodensitometric area in agreement with the concentration of stresses, as well as of a very sharp displacement of the maximum of the densitometric distribution by histogram which can be expounded as a certain heterogeneity. These phenomena exist for all materials we have studied: plexiglass, nylon, rilsan, delrin. In the case of dynamic fatigue, after 20 × 10⁶ cycles, the comparative histogram shows a displacement more significant than in the static case and gives in this way a positive argumentation to the new use of this medical apparatus.

Avec 11 figures     

A uniqueness theorem in the theory of Cosserat surface

Within the scope of the non-isothermal theory of an elastic Cosserat surface and for a system of linear equations characterizing the initial mixed boundary-value problems of thermoelastic shells, a uniqueness theorem is obtained without the use of definiteness assumption for the free energy. The theorem holds for nonhomogeneous and anisotropic shells undergoing small motions (and small temperature change) superposed on a large deformation.

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Résumé Dans le cadre de la théorie d'une surface élastique de Cosserat et pour un système d'équations linéaires décrivant les problèmes à conditions initiales et à conditions aux frontières mixtes de coques thermoélastiques, on obtient un théorème d'unicité sans faire appel à une hypothèse de définition pour l'énergie libre. Le théorème est valable pour des coques non-homogènes et anisotropes soumises à de petits mouvements (et petits changements de température) superposés à une grande déformation.

     

Les contraintes normales et les spectres de relaxation dans les systèmes polymères

Résumé Ce mémoire considère les relations entre les contraintes normales qui naissent au cours des déformations de cisaillement des systèmes polymères fluides (effetWeissenberg) et leurs spectres de relaxation. Les auteurs montrent que la croissance des contraintes tangentielles et leur relaxation évoluent plus rapidement que celles des contraintes normales. Une formule qui a été établie de déterminer le spectre de relaxation en fonction des variations des contraintes normales en régime transitoire de de déformation. Il a été démontré que le coefficient des contraintes normales dans le domaine linéaire est identique à la déformabilité (compliance) d'équilibre. Cette conclusion est confirmée par plusieurs résultats expérimentaux. Il découle de là l'applicabilité de la formule deLodge qui donne une relation entre les contraintes et les déformations élastiques dans le domaine linéaire de comportement méchanique des systèmes visco-élastiques. Les auteurs examinent les relations entre les contraintes et la vitesse de cisaillement et entre le module dynamique et la fréquence aussi bien dans les domaines linéaire et non linéaire.     

Note sur les vitesses critiques d'un arbre muni de disques

Conclusions Les démonstrations que nous avons été amené à développer au sujet du problème particulier des vitesses critiques, s'adaptent sans plus à une large classe de problèmes aux valeurs propres [6]. C'est plutôt comme illustration d'une théorie générale à un cas simple, qu'il faut considérer les développements précédents; ce n'est que le n 14 qui est particulier au problème traité.Au point de vue physique, l'introduction de disques, comme d'ailleurs de façon générale l'introduction de masses concentrées dans un système continu quelconque, ne modifie pas l'aspect qualitatif; aussi il n'est pas étonnant que nous retrouvions les propriétés des vitesses critiques d'arbres continus [1], [2].Au point de vue mathématique par contre, une nette séparation est généralement faite entre les systèmes continus et les systèmes discrets; les premiers sont souvent considérés comme un cas limite des seconds. Du point de vue de l'esthétique des démonstrations, il est cependant satisfaisant de traiter simultanément les deux cas.A cette fin une première méthode consiste à traiter l'équation différentielle à laquelle sont jointes les conditions aux limites, et les conditions de discontinuité de certaines dérivées aux endroits de masses concentrées. C'est particulièrement dans cette voie qu'on constate que les démonstrations ne sont pas une simple généralisation du cas continu [6]. Une autre méthode consiste à traiter les problèmes aux valeurs propres sous forme d'équation intégrale [3]. Une large classe de problèmes peut ainsi être traitée, en introduisant un noyau réel symétrique, grâce à des changements de variables et de fonctions analogues à ceux du n 4.La théorie des équations intégrales à noyaux symétriques est immédiatement applicable. La théorie est également développée pour le cas de noyaux complexes hermitiques: K(s, t)=K(t, s). Le problème que nous avons traité est un peu différent puisque nous avons introduit un noyau complexe symétrique. Il est remarquable que les résultats sont également valables dans ce cas.La méthode des itérations et la détermination de bornes supérieures et inférieures peuvent être aisément transposées. Pour ces questions, nous renvoyons le lecteur à [6].     

On Saint-Venant's principle in plane anisotropic elasticity

Methods involving energy-decay inequalities are applied in investigating Saint-Venant's principle for the planproblem of linear elastostatics for a wide class of anisotropic media. A lower bound (in terms of the elastic constants) is obtained for the rate of exponential decay of stresses and this is compared with the known result for the isotropic case.

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Résumé Par une méthode applicable à un très grand nombre de milieu anisotropique, l'auteur utilise les inégalités concernant la décroissance de l'énergie dans le cas d'un problème plan et dans l'hypothèse de conditions élastostatiques linéaires, l'auteur précise la validité du principe de Saint-Venant dans le cadre de ses applications. Une limite inférieure (en fonction des constantes élastiques) de la décroissance exponentielle des contraintes est mise en évidence et comparée aux résultats obtenus en milieux isotropes.

     

An explicit method to determine response coefficients in finite elasticity

Some classical solutions to problems involving controllable deformations of isotropic incompressible elastic solids are recapitulated. It is shown that, when only one deformation mechanism is inhomogeneous, a parametric differentiation of the load-deformation relations yields a possibility to determine explicitly the material response coefficients from data conveniently measurable at tests. The method is illustrated for two cases; extension, inflation and torsion of a tube and inflation of a spherical shell.

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Résumé Quelques solutions classiques de problèmes en déformation pour des solides élastiques isotropes incompressibles sont rappelies. On montre que, quand un seul mécanisme est nonhomogène, une dérivation parametrique des relations force-déformation rend possible la détermination explicite des coefficients characteristiques du solide à partir de données expérimentales facilement accessibles.Deux examples illustrent la méthode: cas d'un tube soumis à une extension, une expansion et une torsion et cas d'une coque sphérique en expansion.

     

Fracture and contact problems for and elastic wedge

The paper deals with the plane elastostatic contact problem for an infinite elastic wedge of arbitrary angle. The medium is loaded through a frictionless rigid wedge of a given symmetric profile. Using the Mellin transform formulation the mixed boundary value problem is reduced to a singular integral equation with the contact stress as the unknown function. With the application of the results to the fracture of the medium in mind, the main emphasis in the study has been on the investigation of the singular nature of the stress state around the apex of the wedge and on the determination of the contact pressure.

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Résumé Dans cet essai le problème plan élastostatique de contact pour un coin élastique d'angle arbitraire est étudié. Le milieu est chargé à travers un coin rigide de profil symétrique sans friction. En utilisant la transformation de Mellin le problème de valeurs limites mixtes, est réduit à une équation intégrale singulière où l'effort de contact est la fonction inconnue. Avec l'application des résultats de la rupture du milieu, l'étude est concentrée principalement sur l'investigation de la nature singulière de l'état d'effort autour du sommet du coin et sur la détermination de la pression de contact.

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This work was supported by NSF under the Grant GK 42771X and by NASA under the Grant NGR 39-007-011.     

On superposed small deformations on a large deformation of an elastic Cosserat surface

Within the scope of the theory of a Cosserat surface, this paper is concerned with small deformations superposed on a large deformation in elastic shells and plates together with some related aspects of the subject. Special attention is given to problems of stability and vibrations of initially stressed isotropic plates.

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Résumé Dans le cadre de la théorie d'une surface de Cosserat, le présent rapport étudic, pour des plaques et coques élastiques, de petites déformations superposées à une grande déformation, ainsi que certains aspects connexes du sujet. Une attention particulière est accordée aux problèmes de stabilité et de vibrations de plaques isotropiques initialement sous tension.

     

Precision refractometer with simple measuring prism

Summary The construction of the refractometer described in a previous article has been simplified. The measuring prism consists of one piece of glass on the top surface of which the solid or liquid sample is put and of which one of the lateral surfaces receives light from the same light source as the sample by means of an auxiliary reflector. The opposite side of the prism is not limited by one plane surface, but by two planes inclined to each another, thus splitting up the pencil into two. These pencils are then split into four pencils each by means of a fourfold mirror as in the original apparatus; the pencil given by the sample also is split into four pencils by the same mirror. The range of temperatures at which observations can be made is greatly enlarged. The precision is again about 0.000 01, the range 1.31 to 1.67.

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Sommaire La construction du réfractomètre déjà décrit a été simplifié. Le prisme étalon ne consiste que d'une pièce, portant à sa surface supérieure l'échantillon solide ou liquide et dont une des surfaces latérales est illuminée par la même source, qui illumine l'échantillon, ce qui est effectué par un réflecteur auxiliaire. La coté latérale opposée du prisma n'est pas limitée par une surface, mais par deux surfaces planes, faisant un angle entre eux, de sorte que le faisceau émergent est dédoublé. Chacun de ces deux demi-faisceaux est divisé en quatre faisceaux par un miroir quadruple, comme dans l'appareil original. Le faisceau produit par l'échantillon aussi est divisé en quatre faisceaux par le même miroir. A cause de la simplicité du prisme les observations peuvent être faites dans une domaine de températures beaucoup plus grande. La précision est encore 0.000 01 environ, la région des indices de 1.31 à 1.67.

     

Contact problems involving a cooled punch

Certain problems in which a cooled rigid punch indents an elastic half-space have no steady state solution. A simple model is described in which it is shown that this paradox is avoided by the assumption of a thermal resistance varying inversely with contact pressure. A limiting case of this system retains linearity and introduces a state of imperfect contact in which contact pressure is negligible but there is significant thermal contact resistance.This approach is generalized to permit the formulation of three dimensional contact problems and one such problem is solved for an axisymmetric geometry. Particular results are given for the identation of a half-space by a cooled rigid sphere.

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Résumé Les problèmes de contact thermoélastiques pour un demi-espace entaillé par un poinçon rigide refroidi n'ont pas parfois de solution établie. On décrit un modèle simple demontrant qu'on évite ce paradoxe en supposant une résistance thermique varient en raison inverse du pression de contact. On retiens linearité avec un cas limitatif de ce système en introduisant une condition de contact imparfait ou le pression de contact est négligeable mais il y a de la résistance thermique de contact significative.On généralise cette méthode pour permetter la formulation des problèmes de contact thermique dans trois dimensions et un problème de ce type est résolu en cas de symetrie axiale. On donne des resultats particulières pour le demi-espace entaillé par une sphère rigide refroidie.

     

Plasticité et élasticité des pâtes argileuses

Résumé Dans l'introduction, l'auteur rappelle que peu de chercheurs ont consacré leur activité à l'étude des phénomènes élastiques présentés par les pâtes argileuses.Afin de mieux connaître ces phénomènes, un appareil a été construit. Il permet l'enregistrement simultané des efforts appliqués et des déformations présentées par une éprouvette soumise à un couple de cisaillement.Des essais faits sur une pâte d'argile pure ont permis, entre autres conclusions, de constater que:la forme du cisaillement varie suivant la valeur de la contrainte.pour un cisaillement déterminé, le cisaillement élastique est indépendant de la contrainte appliquéele cisaillement permanent dépend du temps de maintien de la contrainte.Enfin, l'auteur signale que les modèles proposés jusqu'à maintenant pour représenter le comportement d'une pâte argileuse ne conviennent pas.