Uniqueness in boundary/initial value problems for a thermoviscoelastic solid of integral type

A general boundary/initial value problem for a linear thermoviscoelastic solid of integral typs is posed, and a uniqueness theorem is proved which holds for both bounded and unbounded domains. In the latter case we do not impose conditions on the behaviour of the unknown fields at infinity. Mild definiteness hypotheses on the initial values of the relaxation functions are assumed throughout.

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Sommario Dopo aver formulato un problema ai limiti generale per solidi lineari termoviscoelastici di tipo integrale, si stabilisce un teorema di unicità della soluzione valido per domini limitati e per domini illimitati. In questo secondo caso non viene imposta alcuna condizione sul comportamento all'infinito delle variabili di campo; si suppongono verificate solamente certe deboli condizioni di segno sui valori iniziali di alcune funzioni di rilassamento.

     

Continuation of the solution of a free boundary problem in cylindrical symmetry

Summary We perform an a priori analysis of the behavior of the solution to a Stefan type free boundary problem in cylindrical symmetry, in arbitrarily large time intervals; a nonlinear flux condition is prescribed on the fixed boundary, for t>0.Next we find some relations between the occurrence of each possible case and the behavior of the initial datum, assuming that the flux is null on the fixed boundary for t>0.

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Sommario Si esegue un'analisi a priori del comportamento, in intervalli di tempo arbitrariamente grandi, della soluzione di un problema a frontiera libera del tipo di Stefan in simmetria cilindrica; sulla frontiera fissa, per t>0, è stabilita una condizione di flusso non lineare.Si trovano quindi relazioni tra i vari casi possibili e il comportamento del dato iniziale, sotto l'ulteriore ipotesi che il flusso sulla frontiera fissa, per t>0, sia nullo.

     

On three dimensional transient wave motions on a running stream

Summary This paper considers the three-dimensional transient wave motions in a fluid produced by a moving oscillatory disturbance of frequency acting on the free surface of the fluid. The problem is treated as an initial value problem and is solved by the joint Laplace-Fourier transform method combined with the asymptotic treatment for the double Fourier inversion integrals. The explicit representation of the steady state as well as the transient solution of the problem is presented. It is shown that the ultimate steady is set up in the limit. A brief discussion on the principal behaviour of the wave motions is made.

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Sommario Si considerano i moti ondosi transitori tridimensionali prodotti in un fluido da una eccitazione oscillatoria, in movimento, di frequenza che agisce sulla superficie libera. Il problema è trattato come problema di valori iniziali e viene risolto con il metodo della trasformata congiunta di Laplace-Fourier combinata con il trattamento asintotico per gli integrali doppi di inversione di Fourier. Si espone la rappresentazione in forma esplicita della soluzione di regime e di quella transitoria. Si dimostra che la condizione finale di regime viene stabilita nel passaggio al limite. Si esegue una breve discussione del principale comportamento del moto ondoso.

     

A mathematical model of the arterial system

Summary A mathematical model of the major arteries of sistemic circulation in the man is proposed. According to the model, flow is regarded as a one-dimensional whole. The numerical solution is obtained with the method of characteristics, applied to the case of an elastic, incompressible vessel wall. The model is applied to study the behaviour of six different cases. The results show that the model provide an appropriate representation of the behaviour of the major arteries in the sistemic circulation.

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Sommario Viene proposto un modello matematico per lo studio del comportamento meccanico del sistema circolatorio arterioso. Il modello utilizza lo schema di processo unidimensionale normalmente impiegato in meccanica dei fluidi; la soluzione è ottenuta con il metodo delle caratteristiche per il caso di tubi con comportamento elastico. Il modello à stato applicato a sei diverse situazioni. I risultati ottenuti mostrano la buona validità del modello matematico proposto.

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Research supported by C.N.R.     

A combustion problem in cylindrical and spherical symmetry

Summary We study a system of partial differential equations describing the behaviour of a perfect, viscous, polytropic, compressible, chemically reactive gas in a bounded container, under assumptions of cylindrical symmetry. The global existence in the time of a classical solution is proved by some a priori estimates. One extension at the spherical case is given.

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Sommario Si studia un sistema di equazioni a derivate parziali che descrive il comportamento di un gas perfetto, viscoso, politropico, comprimibile che reagisce chimicamente in un recipiente limitato, con simmetria cilindrica. Si prova I'esistenza globale nel tempo di una soluzione classica per mezzo di stime a priori. Si estende poi questo procedimento al caso delta simmetria sferica.

     

On the operator (utt-εuxx)t-(utt-uxx)xx related to thermomechanics of fluids

Summary A fourth-order operator, related to thermomechanics of fluids, is analyzed by studying its characteristic polynomial. This analysis is then used to solve a mixed operator-related problem. The solution is shown to have a dissipative behavior in accordance with the physical meaning of the problem.

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Sommario Si analizza un operatore del quarto ordine, collegato con la termomeccanica dei fluidi, studiando il suo polinomio caratteristico. Tale analisi è successivamente utilizzata per risolvere un problema misto relativo a tale operatore. Si mostra come la soluzione abbia un comportamento dissipativo in accordo con il significato fisico del problema.

     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

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Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

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Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

A numerical method for solving equilibrium problems of masonry-like solids

This paper proposes a numerical method for the solution of equilibrium problems of solids which do not support tension. Some boundary-value problems are solved numerically and the solution obtained is compared to the exact one.

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Sommario In questo lavoro viene proposto un metodo numerico per la soluzione di problemi di equilibrio di solidi non resistenti a trazione. Vengono successivamente risolti numericamente alcuni problemi di equilibrio e la soluzione ottenuta è confrontata con quella esatta.

     

A rationally based yield criterion for work hardening materials

Summary The paper is concerned with the development of a rationally based yield criterion for work hardening materials. In an attempt to construct a single analytical function to represent yield behaviour the mathematics of continuum mechanics is combined with a statistical argument to produce a yield criterion which takes into account the inherent inhomogeneity of stress and strain distribution throughout a polycrystalline aggregate.A mathematical model is proposed which consists of spherical, anisotropic inclusions embedded in an elastic-plastic matrix. The yield criterion derived from this model is based on three main considerations, (a) arguments involving the local value of shear strain energy density, (b) Eshelby's solution for the local stress acting on a spherical inclusion in an infinite matrix and (c) the statistics of extreme values.An example is given on the fitting of the yield criterion to the results of thin-walled aluminium tubes prestrained in tensiontorsion space.

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Sommario Si considera lo sviluppo di una razionale condizione di plasticità per materiali con incrudimento. Nel tentativo di costruire una sola funzione analitica per rappresentare il comportamento plastico del materiale, la matematica della meccanica dei continui è combinata con considerazioni statiche onde definire una condizione di plasticità che tenga conto dell'implicita inomogeneità nella distribuzione di sforzi e deformazioni in un aggregato policristallino.Si propone un modello matematico che prende in considerazione inclusioni sferiche anisotrope avvolta da materiale elastoplastico. La condizione di plasticità derivata da questo modello è basata su tre considerazioni principali, (a) argomenti che involvono il valore locale della densità di energia di deformazione al taglio, (b) la soluzione di Eshelby per lo sforzo locale che agisce su ogni inclusione sferica in una matrice infinita e (c) la statistica dei valori estremi.Si dà un esempio sulla capacità del criterio di plasticità di interpretare i risultati ottenuti su tubi di alluminio sottile precaricato nello spazio tensione-torsione.

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Hemivariational inequalities for linear and non linear elastic materials

Summary In the present paper we study hemivariational inequalities arising in linear and nonlinear elastic bodies which are subjected to boundary conditions of nonmonotone multivalued type. After the formulation of the boundary conditions and the derivation of the variational principles we study a hemivariational inequality for a plane elastic body concerning the approximation of its solution. The proposed method is illustrated by an example dealing with the adhesive contact problem of two cylinders and another one concerning an adhesively supported beam.

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Sommario Nel presente lavoro si studiano diseguaglianze semivariazionali che nascono in relazione a corpi elastici lineari e non lineari, sottoposti a condizioni al contorno di tipo a più valori non monotono. Dopo la formulazione delle condizioni al contorno e la derivazione dei principi variazionali si studia una diseguaglianza semivariazionale per un corpo elastico piano, con particolare riguardo per l'approssimazione della sua soluzione. Il metodo proposto viene illustrato con un esempio che tratta il problema del contatto con adesione di due cilindri.

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On leave from School of Technology. Aristotle University Thessaloniki, Greece. Fulbright Visiting Scholar.     

Asymptotic behaviour of solutions to the equation of constant mean curvature on a three-dimensional region

A first order differential inequality is derived for the cross-sectional energy flux of the solution to the equation of constant mean curvature defined on a three-dimensional prismatic cylinder of convex cross-section. Integration of the inequality yields estimates which are employed to prove for large values of the axial variable that the solution in measure either grows at least algebraically or decays at most exponentially to the lower dimensional cross-sectional solution. This result generalises that previously obtained by the authors for the corresponding two-dimensional problem.

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Sommario Si dimostra una disequazione differenziale del primo ordine per il flusso di energia attraverso la sezione trasversale della soluzione dell' equazione della curvatura media costante definita in un cilindro prismatico tridimensionale a sezione trasversale convessa. L'integrazione della disuguaglianza fornisce stime che sono impiegate a provare che, per grandi valori della variabile assiale la soluzione in misura o cresce almeno algebricamente o decade al più esponenzialmente alla soluzione per la sezione trasversale più piccola. Questo risultato generalizza quello ottenuto in precedenza dagli autori per il corrispondente problema bidimensionale.

     

The instability of an axially loaded viscoelastic constrained bar in the large displacement range

Summary This paper deals with the behaviour of an axially loaded viscoelastic structure at one degree of freedom in the large deformation range; the stress-strain relation assumed is linearly viscoelastic, with the kernel at non invariant memory, typical of concrete.The study is rigorously conducted for two types of restraint, characterizing, in the elastic range, the instability of both first and second kind; the problem is then stated in respect of a type of mixed restraint, such as can be found in some real structures, an approximate solution of which is here supplied.

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Sommario Vengono analizzate le caratteristiche di comportamento nel tempo di una struttura viscoelastica a un grado di libertà, caricata di punta, nel campo delle grandi deformazioni; il legame sforzi-deformazioni assunto è viscoelastico lineare, con il nucleo a memoria non invariante caratteristico dei calcestruzzi.Lo studio è svolto in forma rigorosa per due tipi di vincolo che caratterizzano, in campo elastico, l'instabilità di prima e quella di seconda specie; viene inoltre impostato il problema corrispondente ad un tipo di vincolo misto, presentato da alcune strutture reali, del quale si fornisce una soluzione approssimata.

     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

On induced discontinuities in a class of linear materials with internal state parameters

Summary The governing differential equations of induced discontinuities behind longitudinal and transverse shock waves are derived for a class of linear materials with internal state parameters. These equations indicate that the behavior of the induced discontinuities depends, in particular, on the behavior of the shock amplitudes and non-linearly on the wave surface geometries. Solutions for the case of plane waves with initially flat profiles are obtained, and they indicate that the global behavior of the induced discontinuities need not be monotone depending on the interpretation of the material responses.

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Sommario Le equazioni di evoluzione per discontinuità indotte da onde d'urto longitudinali e trasversali sono ricavate per una classe di materiali lineari con parametri di stato interni. Tali equazioni indicano che il comportamento delle discontinuitá indotte dipende, in particolare, dall'ampiezza dell'onda d'urto e, non linearmente, dalla seconda forma fondamentale della superficie. Le soluzioni, ottenute in corrispondenza di onde piane con profilo iniziale piatto, mostrano che il comportamento delle discontinuità indotte non è monotono ed é legato ai parametri che caratterizzano il materiale.

     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

Diffusion of a velocity discontinuity according to kinetic theory

Summary The problem of describing the smoothing out and diffusion of an initial velocity discontinuity is solved analytically by means of the linearized Bhatnager, Gross and Krook model of the Boltzmann equation. The solution is compared with previous approximate solutions and with the solution arising from a continuum treatment based on Navier-Stokes equations.

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Sommario Si risolve analiticamente per mezzo del modello linearizzato di Gross, Bhatnagar e Krook dell'equazione di Boltzmann, il problema dell'evoluzione temporale di una discontinuità iniziale di velocità.La soluzione che così si ottiene viene confrontata con precedenti soluzioni approssimate e con la soluzione ottenuta dalle equazioni di Navier-Stokes che descrivono macroscopicamente il fluido.

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Research developed in the frame of the activity of the CNR group for Fluid Dynamics at the Istituto di Scienze Fisiche dell'Università di Milano, Grant N. 02/100/5/2001.     

Induced vibrations and dynamic instabilities of a non linear structural model due to pulse loading

Summary In this paper we present some results from a model of Shanley type, used as a tool to investigate anomalous computed response behavior of a pin-ended beam subjected to a short pulse of transverse force. The nature of critical load values is here studied, using both exact solutions and an approximate step-by-step numerical integration of standard type. It is shown that convergence with decreasing time step may fail, near a critical value. The significance of these results for the original beam computational problem, and for other physical structures, is indicated briefly.

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Sommario Il presente lavoro illustra alcuni risultati ottenuti mediante un modello alla Shanley, usato per analizzare anomalie ottenute numericamente nel comportamento di una trave incernierata soggetta a un carico trasversale, applicato nella forma di un breve impulso. Viene studiata la natura di alcuni valori critici del carico, facendo uso sia di soluzioni esatte che di metodi approssimati di integrazione numerica. Si mostra che al crescere della accuratezza può non esservi convergenza dei risultati, e che vi è anzi divergenza per alcuni valori critici del passo di integrazione. Si discute brevemente l'interesse di tali risultati nei confronti delle difficoltà numeriche ottenute studiando il problema originale di trave incernierata.

     

Natural convection in a rectangular cavity. An analytic solution

Summary An analytic solution is given to a problem of natural convection in a rectangular cavity, by means of a Papkovich-Fadle series. The convergence of the method is numerically proven and the results are compared with those obtained by several other methods. The considered solution procedure shows definite advantages with respect to the other techniques.

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Sommario Si fornisce, per mezzo della serie di Papkovich-Fadle, una soluzione analitica per un problema di convezione naturale in una cavità rettangolare. La convergenza del metodo è numericamente provata e i risultati sono confrontati con quelli ottenuti con altri metodi. La soluzione proposta tramite la serie è in tal caso vantaggiosa rispetto alle altre tecniche.

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This work has been partially supported by C.N.R. through grant n. 81.01501.11.     

Nonasymptotic solution for antiplane cracks

The nonasymptotic stress and displacement fields, in other words, those valid for points far from the crack tip, are determined for cracks under antiplane strain condition. The solution of the problem is obtained by using the Mellin transform and the calculus of residues. Finally, the stress distribution along the crack plane is compared with that provided by the classic asymptotic solution.

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Sommario Per fessure in condizione di deformazione antipiana si calcolano i campi di spostamento e di tensione non asintotici, validi cioè anche per punti distanti dall'apice della fessura. La soluzione del problema è ottenuta impiegando la trasformata di Mellin e la teoria dei residui. Infine, la distribuzione di tensione lungo il piano della fessura viene confrontata con quella fornita dalla soluzione classica asintotica.