三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

我們在平面三角教学改革中的一些作法

一、教材的改編我們对現行三角教材进行了如下的处理和安排: 1.在教材顺序上把原第二章变为第一章,原第一、三两章合并为第二章,原第四章变为第三章,原第八章变为第四章,接着讲原第九章、第五章、第六章。 2.在教材內容上作了如下的变动。 (1) 为了減少无益的循环,一开始就給出了任意角三角函数的定义: sinα=y/r,cosα=x/r,tgα=sinα/cosα,ctgα=1/tgα,secα=1/cosα,cosecα=1/sinα这样就更反映了三角函数之間的本貭联系,又节省了“同角的三角函数之間的关系”的教学。 (2) 为了克服支离破碎的現象,使教材的系統性更强,我们把課本§6,§14,§53的例4、例5,§54的例3,§55的例3等都合并到三角方程中进行讲授。为使教材更加符合实际的需要,加强数學与物理、实际的联系,我們补充下列內容: (1) 形如y=sin(nx α),y=cos(nx α)和     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

几个正(余)切函数公式的应用技巧

本文所谈及的系指如下公式:(1)tgα±tgβ=tg(α±β)(1tgαtgβ);(2)tgαtgβ=sin(α±β)/cosαcosβ(3)tgα/2=(1-cosα)/sinα,ctgα/2=(1 cosα)/sinα(4)     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

等变不等 应用升级

高中数学课本的各种版本都有如下两个优美的三角恒等式:(1)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2;(2)cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2.若从正余弦函数的有界性来分析研究,则可得到如下两个三角不等式:     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

α、60°-α、60°+α角的同名函数的积

这是教材上的一组习题: 求值①sin20°sin4O°sin8O°, ②cos20°cos40°cos8O°, ③tg10°tg50°tg70°。利用积化和差公式,不难求其结果。研究这类问题,还可发现如下规律:每组角可统一表示为α、60°-α、60°+α。上述题①、②中,α=20,题③中,α=10°。进一步研究还可得到:α、60°-α、60°+α角的同名函数的积都可用α的三倍角的同名函数表示出来,即是     

4三角函数

4.1 任意角的三角函数 内容概述 1.角的概念的推广,角的大小的表示法(角度制和弧度制),弧长公式,扇形面积公式. 2.任意角的三角函数的概念,三角函数线,三角函数在各个象限内的符号. 3.同角三角函数的基本关系式: sin2α+cos2α=1, (sinα)/(cosα)=tanα, tanαcotα=1.     

一堂习题课

高中《代数》第一册P115,第17题,已知tgα=2,求(sinα cosα)/(sinα-cosα)的值。此题虽浅显简单,但对学生培养能力、发展智力、引起兴趣,能起到相当的作用。我在讲完同角三角函数的基本关系式一节后,就此题并围绕它上了一节习题课。一题多解提问:上一节课布置的已知tgα=2,sinα、cosα的值各等于多少?同学们都解得sinα=±(2 5~(1/2))/5,cosα=±5~(1/2)/5。随即要大家练习P115。第17题,同学     

一种三角变形的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题二A组第十四题是:已知tgα=3,计算:(1)(4sinα-2cosα)/(5cosα+sinα);(2)2sin~2α/3+cos~2α/4;(3)sinαcosα;(4)(sinα++cosα)~2,这个题目的正确解法是:先将每个式子都变形为只含有tgα的式子,再把tgα=3     

一个恒等式的构造及证明

在一次考试中,我出了这样一道题:求证:(1-cosα+sina)/(1+cosα+sinα)=tga/2(用两种方法证明)。这个等式的构造是由半角公式tgα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)并再由等比定理直接推得: tgα/2=(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα) ①由①的构造过程我们可得到一种简单方法。证一:右边=(1-cosα)/sina=sinα/(1+cosα)==(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα)由于大部分学生不会用等比定理,该方法虽然简单,但问鼎者仅两人。大部分学生采取了下面的证法。证二:左边=(1-(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2))+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2)))/(1+(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2)+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2))=(1+tg~2(α/2)-1+tg~2(α/2)+2tg(α/2))/(1+tg~2(α/2)+1-tg~2(α/2)+2tg(α/2))=tgα/2证三:左边=(2sin~2(α/2)+2sin~2(α/2)cos(α/2))/(2cos~2(α/2)+2sin(α/2)cos(α/2))     

两角和的正弦及余弦的几何解释

三角学中两角和的正弦公式及余弦公式为 sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ, cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。这两个公式是一切三角公式的基础,从它們可以导出两角差的公式、倍角公式、牛角公式,甚至单角公式。使学生正确而牢固地掌握上述公式,是非常必要的。几何解释并不是严格証明,因为所列公式中,α与β为任意角,而我要介紹的几何解释是α,β都为銳角時的情形。     

三角函数

4.1　任意角的三角函数内容概述1.角的概念的推广 ,角的大小的表示法 (角度制和弧度制 ) ,弧长公式 ,扇形面积公式 .2 .任意角的三角函数的概念 ,三角函数线 ,三角函数在各个象限内的符号 .3.同角三角函数的基本关系式 :sin2 α cos2 α =1,　 sinαcosα=tanα,　 tanαcotα =1.4 .诱导公式 :α 2 kπ(k∈ Z) ,-α,π±α,2π -α的三角函数值 ,等于α的同名三角函数值 ,再在前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号 .5 .在三角函数的化简、求值、证明过程中 ,应该注意特殊数“1”的应用 .问题选编1.(2 0 0 4年辽宁省高考题改编 )若 …     

一道三角不等式的引申推广

最近笔者得到一个漂亮简洁的三角不等式(引理1),并由此引申、推广出若干个优美的三角不等式,现介绍如下,供参考.引理1设α,β均为锐角,则有1sin2α 1sin2β≥2sin(α β),当且仅当α=β时取等号.证1sin2α 1sin2β≥21sin2αsin2β=1sinαcosβ·cosαsinβ≥2sinαcosβ cosα     

解答三角题常用的几种方法

解答三角题,除了要掌握三角公式外,还要掌握一些常用的解题方法,下面分别介绍。一、变换角度许多三角题出现不同角或非特殊用,应从用的数量关系着眼,进行角度变换,常用的变换方法是或化为同角,或化为特殊角,或减少不同角。例1 求 cos°/cos35°(1-sin20°)~(1/2)的值. COO6O\/——SlllLU 解原式=cos~2 10°-sin~2 10°/cos35°(cos10°-sin10°)~2~(1/2) =cos10° sin10°/cos35° =sin80° sin10°/cos35°     

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

三角问题的解析法

我们知道,如果单位圆x^2＋y^2=1与任意角α终边交于点P（x,y）,则有正弦、余弦的定义sinα=y,cosα=x,这样我们遇到三角问题时,可考虑用这个定义把三角问题转化为单位圆上点P（x,y）的坐标问题,用解析几何知识给予解答,请看以下三例．