A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration Waves. 2. An approximate ordinary differential equation formulation of the problem

Summary This is the second of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In the first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation was shown. In this second paper, a transformation of the mathematical problem into an ordinary differential equation is performed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions made are: quasi-steady gas phase, optically opaque condensed phase; collapsed burning surface layer and constant ambient temperature. Under these assumptions, it is found that the dynamics of a deflagrating substance is governed by a nonlinear first order (approximate) ordinary differential equation in the unknown surface temperature history. From this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la seconda di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. Nella prima memoria è stato rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. In questa seconda memoria il problema matematico è riformulato in termini di una equazione differenziale ordinaria. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la fase gassosa quasi-stazionaria, la fase condensata otticamente opaca, lo strato reagente superficiale di spessore nullo e la temperatura ambiente costante. Sotto queste ipotesi si trova che la dinamica di una deflagrazione è retta da una equazione (approssimata) differenziale ordinaria nonlineare del primo ordine che descrive la storia della temperatura di superficie. Tale equazione permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

Nonasymptotic solution for antiplane cracks

The nonasymptotic stress and displacement fields, in other words, those valid for points far from the crack tip, are determined for cracks under antiplane strain condition. The solution of the problem is obtained by using the Mellin transform and the calculus of residues. Finally, the stress distribution along the crack plane is compared with that provided by the classic asymptotic solution.

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Sommario Per fessure in condizione di deformazione antipiana si calcolano i campi di spostamento e di tensione non asintotici, validi cioè anche per punti distanti dall'apice della fessura. La soluzione del problema è ottenuta impiegando la trasformata di Mellin e la teoria dei residui. Infine, la distribuzione di tensione lungo il piano della fessura viene confrontata con quella fornita dalla soluzione classica asintotica.

     

A physical-mathematical model describing the interface and transport kinetic properties fo a liquid-vapour system in non-equilibrium conditions

Summary This paper deals with a physical model, based on the analysis of the physical properties of liquid surfaces and on the kinetic theory of gases and liquids, which gives a detailed picture, on a molecular scale, of the phase-transition and transport phenomena at the interface between liquid and vapour. Some numerical calculations relating to water-vapour systems and comparisons with experimental results have been performed.

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Sommario Nel presente lavoro è proposto un modello fisico, basato sulla teoria cinetica dei liquidi e dei gas e su alcune proprietà delle superfici liquide, il quale descrive, a scala molecolare, i fenomeni di trasporto di massa ed energia, con cambiamento di fase, all'interfaccia fra una superficie liquida in presenza di gasvapore. Sono stati effettuati calcoli numerici e confronti con risultati sperimentali.

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Work performed under the auspices of the National Research Council (C.N.R. Gruppo nazionale per la Fisica Matematica) and presented at the 57 Euromech Colloquim on Rarefied Gas Dynamics (Glasgow 19-3-75).     

On the elastic problem of the orthotropic thick plate

Summary Equilibrium equations for orthotropic media are written taking the displacement components as unknowns; these equations are integrated with operational methods by separation of the variables.The unknown quantities are six « initial funcitons » that is, displacements and their partial derivatives with respect toz, calculated on the planez=0.Following a method of structural mechanics, the cases of symmetrical and nonsymmetrical loading of plate, namely compression and flexion, are considered separately.The separation of the variables allows us to resolve in two successive stages the problem of the boundary conditions: the Cauchy conditions on the surfacesz=± h become differential equations to which we associate the condition on the cylindrical surface.The process leads to a symbolic solution of the problem from which we construct the resolvent equations in the form of power series of operators. If terms of a higher order are retained in these equations, a more accurate theory is obtained; it is shown that if only the first term is assumed, the equation for the ortho tropic plate in the Kirchhoff-Love sense is obtained.The method is applied in order to resolve a problem numerically; the results are compared with those deduced by the usual theory.

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Sommario Si scrivono le equazioni indefinite dell'equilibrio dei mezzi ortotropi assumendo come incognite le componenti di spostamento; se ne effettua l'integrazione con metodi operazionali per separazione delle variabili. Le incognite risultano esplicitate attraverso sei « funzioni iniziali », cioè spostamenti e loro derivate rispetto a z calcolate sul piano medio.In relazione ad una decomposizione dei carichi si individuano due problemi distinti, di compressione e di flessione, che vengono trattati parallelamente.La separazione delle variabili permette di risolvere in due fasi successive il problema dei valori al contorno: le condizioni di Cauchy sulle facce parallele al piano medio si traducono di fatto in equazioni differenziali cui vanno associate le condizioni sulla superficie cilindrica.Il procedimento conduce ad una soluzione simbolica del problema, a partire dalla quale si costruiscono le equazioni risolventi sotto forma di sviluppi in serie di potenze di operatori. L'ordine delle equazioni risolventi, e quindi il numero di condizioni che si possono soddisfare sulla superficie laterale, è fissato dal numero di termini che si considerano in questi sviluppi; si dimostra che il solo primo termine conduce all'equazione della piastra ortotropa ricavata sotto le ipotesi di Kirchhoff-Love.Il metodo è applicato alla soluzione di un problema concreto; i risultati sono messi a confronto con quelli dedotti dalla teoria ordinaria.

     

A rationally based yield criterion for work hardening materials

Summary The paper is concerned with the development of a rationally based yield criterion for work hardening materials. In an attempt to construct a single analytical function to represent yield behaviour the mathematics of continuum mechanics is combined with a statistical argument to produce a yield criterion which takes into account the inherent inhomogeneity of stress and strain distribution throughout a polycrystalline aggregate.A mathematical model is proposed which consists of spherical, anisotropic inclusions embedded in an elastic-plastic matrix. The yield criterion derived from this model is based on three main considerations, (a) arguments involving the local value of shear strain energy density, (b) Eshelby's solution for the local stress acting on a spherical inclusion in an infinite matrix and (c) the statistics of extreme values.An example is given on the fitting of the yield criterion to the results of thin-walled aluminium tubes prestrained in tensiontorsion space.

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Sommario Si considera lo sviluppo di una razionale condizione di plasticità per materiali con incrudimento. Nel tentativo di costruire una sola funzione analitica per rappresentare il comportamento plastico del materiale, la matematica della meccanica dei continui è combinata con considerazioni statiche onde definire una condizione di plasticità che tenga conto dell'implicita inomogeneità nella distribuzione di sforzi e deformazioni in un aggregato policristallino.Si propone un modello matematico che prende in considerazione inclusioni sferiche anisotrope avvolta da materiale elastoplastico. La condizione di plasticità derivata da questo modello è basata su tre considerazioni principali, (a) argomenti che involvono il valore locale della densità di energia di deformazione al taglio, (b) la soluzione di Eshelby per lo sforzo locale che agisce su ogni inclusione sferica in una matrice infinita e (c) la statistica dei valori estremi.Si dà un esempio sulla capacità del criterio di plasticità di interpretare i risultati ottenuti su tubi di alluminio sottile precaricato nello spazio tensione-torsione.

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Theoretical studies on heterogeneous deflagration waves. 1. A partial differential equation formulation of the problem

Summary This is the first of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In this first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation is reviewed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions are quasi-steady gas phase and collapsed reacting layer in the condensed phase. The model developed is the starting point for a transformation into an ordinary differential equation formulation of the problem (second part of the study); from this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la prima di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. In questa prima memoria viene rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la quasi-stazionarietà della fase gassosa e lo spessore trascurabile dello strato reagente in fase condensata. Il modello cosi sviluppato costituisce il punto di partenza per una formulazione del problema basata su di una equazione differenziale ordinaria (seconda memoria), che permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

Boundary integral equations in quasisteady problems of capillary fluid mechanics Part 2: Application of the stress-stream function

In this paper planar viscous flows with a free boundary are further studied using the quasisteady approximation [1]. The introduction of the bianalytical stress-stream function provides an opportunity to adopt the theory of analytical functions. The mode of construction of the Fredholm boundary integral equations is here proposed through the explicit solutions of two Hilbert problems for holomorphic functions with the application of the conformal mappings. The stabiligy of the equilibrium of the annulus liquid layer is investigated by way of example.

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Sommario Si prosegue lo studio di flussi piani viscosi con frontiera libera applicando l'approssimazione quasistazionaria [1]. L'introduzione della funzione stress-stream bianalitica consente l'uso della teoria delle funzioni olomorfe. La costruzione delle equazioni integrali di Fredholm al contorno proposta qui si basa sulla risoluzione esplicita di due problemi di Hilbert per funzioni analitiche mediante applicazione della tecnica delle trasformazioni conformi. Come esempio si studia la stabilità dell'equilibrio di uno strato liquido anulare.

     

On the pysical mathematical theory of the trapping probability as a function of the energy and angle of incidence

Summary In the present paper the phenomenon of the dynamics of adsoprtion-desorption, when a monocromatic gas hits a solid wall, has been taken into account. Starting from a model of the kinetic theory recently proposed, the trapping probability of the molecules of the incident beam on the surface itself has been determined. This probability is a function of the energy and of the angle of incidence, and depends also on some phenomenological parameters which take into account the physical-chemical conditions of the gas-surface pair. In this sense a qualitative analysis has been carried on, showing also that the phenomenological parameters can be related to mechanical quantities which can be directly measured. Finally the results of the proposed theory have been successfully compared with very accurate experimental results recently found.

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Sommario Nel presente lavoro è stato preso in considerazione il fenomeno di assorbimento-desorbimento cinetico quando un gas monocromatico urta una parete solida. Partendo da un modello della teoria cinetica dei gas recentemente proposto è stata determinata la probabilità di intrappolamento di particelle del fascio incidente sulla superficie stessa. Tale probabilità risulta essere funzione dell'energia e dell'angolo di incidenza e di alcuni parametri fenomenologici che tengono conto delle condizioni fisico-chimiche dell'accoppiamento gas-superficie. In tal senso è stata condotta un'analisi qualitativa di tale funzione, mostrando altresi come i parametri fenomenologici possano essere correlati a grandezze meccaniche direttamente misurabili. Infine i risultati della presente teoria sono stati confrontati con successo con alcuni recenti accurati risultati sperimentali.

     

A Riemann-Hilbert boundary value problem in neutron transport theory

Summary A Riemann-Hilbert boundary value problem, occurring in neutron transport theory, is presented and solved in this note for the case of an infinite straight line and zero index.

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Sommario Viene presentato e risolto in questa nota un problema al contorno di Riemann-Hilbert di indice zero e relativo ad un intervallo infinito. Esso ha origine da un problema di diffusione di neutroni, studiato nell'ambito della teoria del trasporto.

     

Energy and radiation transfer in a finite convex body with general boundary conditions

Summary We consider a nonlinear system of equations describing the interaction of radiation with matter through a balance of the specific intensity of radiation and the specific internal energy in a convex bounded body.The boundary conditions are not homogeneous. However, suitable additive decompositions of the unknown functions lead to systems with homogeneous boundary conditions and known source terms. We give two such decompositions: one of these, suggested by physical considerations, arises from the study of a nonhomogeneous linear integral equation in a convenient Banach space. The system is studied by using the theory of semigroups of linear operators and nonlinear perturbations in an L ₁ setting. We prove the existence and uniqueness of a positive differentiable solution, which is global in time.

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Sommario Si considera un sistema non lineare di equazioni che descrivono l'interazione della radiazione con la materia e rappresentano il bilancio dell'intensità specifica di radiazione e dell'energia specifica internu in un mezzo finito convesso. Le condizioni al contorno sono di tipo generale e non omogenee; l'introduzione di opportune scomposizioni della funzione incognita permette di ricondurci a sistemi con condizioni al contorno omogenee; ciò comporta l'introduzione di termini di sorgente noti. Si presentano due esempi di scomposizione, uno dei quali, suggerito da considerazioni fisiche, scaturisce dallo studio di un'equazione integrale lineare non omogenea in un opportuno spazio di Banach. Si riduce quindi il problema ad un'equazione di evoluzione non lineare in uno spazio di Banach di norma L ₁.Si prova l'esistenza di un'unica soluzione forte non negativa, utilizzando la teoria dei semigruppi e delle perturbazioni non lineari; tale soluzione risulta inoltre globale nel tempo.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica) and partially supported by M.P.I.     

On the Prigogine theory of traffic flow: Driver's program independent of concentration

Summary The Prigogine kinetic equation for traffic flow is considered. It is shown that the relaxation term, whose actual form was introduced by Prigogine for reasons of mathematical simplicity, can be derived from two «structural» assumptions. This procedure shows that the relaxation term is effectively able to account for the time spent in a queue by the vehicles. Since the factorization of the desired velocity distribution is uncompatible with the assumption that the program of each driver is independent of the local concentration, a modification of the Prigogine theory was recently introduced by Paveri Fontana replacing the relaxation term by a new term. We prove that the Paveri term implies a vanishing queueing time. We show also that the assumption of an invariant driver's program can be taken into account without introducing the factorization of the desired velocity distribution with no modification of the basic assumptions of the Prigogine model.

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Sommario Si considera l'equazione cinetica del traffico di Prigogine. Si dimostra che il termine di rilassamento, la cui forma fu introdotta da Prigogine per ragioni di semplicità matematica, si può ricavare da due ipotesi «strutturali». Si dimostra cosi che il termine di rilassamento tiene conto del tempo trascorso in coda dal veicolo. Poichè la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata è incompatibile con l'ipotesi che il programma di ciascun guidatore sia indipendente dalla concentrazione locale, Paveri Fontana introdusse una modificazione della teoria di Prigogine sostituendo il termine di rilassamento con un nuovo termine. Si dimostra che il termine di Paveri implica un tempo di residenza in coda nullo. Si dimostra anche che l'ipotesi di programma invariante si può tenere in conto senza introdurre la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata e senza modificare le ipotesi fondamentali del modello di Prigogine.

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This work was supported by the Italian Consiglio Nazionale delle Ricerche, under a research contract of the Mathematical Committee.     

Experimental behaviour of the free surface in a uniform laminar stream

Summary It has been experimentally shown that in a uniform laminar free surface flow, the boundary conditions at the free surface cannot be represented by a simple non-shear condition.This statement is in particular supported by some experiments performed by the author on a high viscosity oil flow in a rectangular pipe. A surface shear viscosity may be introduced in order to characterize the behaviour of the free surface (Boussinesq).The velocity profile was measured along the axis of simmetry of the cross section. The results were in agreement with these of some numerical computations based on the above model. Similar agreement was not achieved on comparing the experimental and theoretical values obtained for the shape factor, a global parameter depending on the shape of the cross section.Such a disagreement cannot be due to experimental error and suggests that the above model is unable.

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Sommario E' fatto sperimentalmente accertato che in un moto laminare uniforme le condizioni al contorno sulla superficie libera non possono essere rappresentate dalla semplice assenza di tensioni tangenziali superficiali. Una chiara conferma viene dalla attuale serie di misure eseguite su una condotta rettangolare percorsa da olio.Per caratterizzare il comportamento della superficie libera si introduce un coefficiente di viscosità tangenziale superficiale, nell'ipotesi di comportamento newtoniano della superficie stessa (Boussinesq).I confronti fra i nostri risultati sperimentali ed i risultati numerici derivanti da tale ipotesi mostrano una possibile concordanza nella distribuzione di velocità sull'asse di simmetria della condotta ma mettono in evidenza andamenti decisamente discordanti per quanto riguarda il comportamento di un coefficiente globale, variabile con la forma della sezione.Tale discordanza non è attribuibile ad errori di misura ed indica l'inadeguatezza di un modello basato sull'ipotesi di comportamento newtoniano della superficie libera.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

Frequency response function of burning solid propellants

Summary Burning stability analyses of solid propellants are performed, within the framework of a thermal theory of monodimensional heterogeneous deflagration waves, from a linearized point of view. The frequency response function is determined both for pressure and radiation driven combustion waves. Two limiting schemes for the quasi-steady gas phase are implemented: distributed and sharp flame models. Work available from the literature in this field is reviewed, corrected, and extended. Particular attention is given to the connection between pressure and radiation driven admittance functions. Burning stability properties predicted from linear and nonlinear theories are compared. A way to rate experimentally the dynamic burning stability of condensed substances with optically opaque condensed phase and transparent flame is suggested.

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Sommario Vengono svolte analisi lineari della stabilità di combustione di propellenti solidi per endoreattori, nell'ambito di una teoria termica di onde eterogenee di deflagrazione monodimensionale. Si determina la funzione di risposta in frequenza, o ammettenza acustica, per onde di combustione pilotate sia dalla pressione sia da un fascio di luce monocromatica. Sono discussi due casi limite di modelli di fiamma per la fase gassosa supposta quasi-stazionaria: fiamma distribuita e fiamma concentrata. I lavori svolti in precedenza nel settore in esame sono rivisti, corretti ed estesi. Particolare attenzione viene dedicata alla corrispondenza tra la funzione di ammettenza pilotata dalla pressione e la funzione di ammettenza pilotata da radiazione. Sono confrontate le proprietà di stabilità della combustione predette dalle teorie lineari e dalle teorie non lineari. Viene suggerito un possibile criterio per classificare sperimentalmente la stabilità dinamica di combustione di sostanze condensate con fase condensata otticamente opaca e fiamma trasparente.

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Paper presented at the V Congresso Nazionale dell'Associazione Italiana Di Aeronautica ed Astronautica (AIDAA), Milano, 22 – 26 October 1979. Project supported by Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sulla Energetica. Milano, 24 September 1979.     

On plastic dynamic flexure of plates

Summary This paper discusses the rigid-plastic flexure of plates subjected to dynamic loading. A piecewise linear yield surface and small displacements are assumed. The plate is discretized by assuming the constant moment mixed triangular element of Herrmann. Under the above assumptions the dynamic loading of plates is turned into a problem in linear inequalities which is a priori discretized in time. An approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material. Some numerical examples of plates subjected to a given velocity distribution confirm the efficiency of this approach.

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Sommario Si analizza il problema della flessione rigidoplastica di una lastra soggetta a carichi dinamici. La lastra viene discretizzata assumendo l'elemento triangolare misto a stato di sollecitazione costante di Herrmann. Tale assunzione insieme alle ipotesi di piccoli spostamenti e di superficie di plasticizzazione lineare a tratti, consente di ricondurre il caricamento dinamico della lastra ad un problema retto da diseguaglianze lineari, che risulta discretizzato a priori nel tempo. Attraverso una tecnica approssimata si valuta l'influenza che hanno sulla risposta dinamica della struttura, l'incrudimento e la sensibilità alle velocità di deformazione del materiale. L'efficienza del procedimento è verificata attraverso alcuni esempi numerici di lastre di diversa geometria sottoposte ad una prefissata distribuzione di velocità.

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Research supported by the National Research Council (C.N.R.P.A.d.I.S.) of Italy.     

Some finite extremum principles in piecewise linear elasto-plasticity

Summary The paper discusses the boundary value problem for isotropic continua with elastic-linear hardening stress-strain laws of conventional deformation theory. A pair of dual extremum theorems are proven: the first, which takes as variables stresses and plastic strains, reduces the problem to the minimization of a quadratic functional subject to convex quadratic inequalities and linear equalities; the latter, which takes as variables displacements and plastic strains, reduces the problem to the minimization of a non-quadratic functional subject to linear equalities. In absence of hardening the first principle reduces to the well-known Haar-Kármán theorem for elastic perfectly plastic bodies. Some extensions of the above principles to piecewise linear hardening bodies and the connections of the deformation theory with the flow theory of linear kinematic hardening are reported at the end of the paper.

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Sommario Si discute il problema dell'analisi elastoplastica dei mezzi isotropi dotati d'incrudimento lineare adottando le ipotesi della teoria della deformazione.Vengono dimostrati due principi di estremo duali che consentono di ricondurre la soluzione dei problemi al contorno alla minimizzazione di opportuni funzionali.Il primo di tali principii, in assenza d'incrudimento, si riduce al ben noto teorema di Haar-Karman che viene quindi generalizzato ai mezzi incrudenti.Viene discussa anche l'estensione di quanto sopra accennato al caso d'incrudimento lineare a tratti e la Nota è chiusa da alcune considerazioni in merito alla connessione fra la teoria della deformazione e la teoria incrementale dell'incrudimento cinematico.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

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Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

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Work performed under contract C.N.R.     

Analytical formulation of the theoretical subsequent yield surfaces of metals with strain-hardening and Bauschinger effect in an ideal tension-torsion test

Summary The evolution of the yield locus of metals in the strain-hardening range is analytically studied in the - plane. The problem, of theoretical and technical interest, is completely solved by applying the theory of slip and by taking into account the Bauschinger effect.

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Sommario Si studia analiticamente l'evoluzione della superficie di plasticizzazione dei metalli in fase di incrudimento nel piano - . Il problema, che riveste notevole interesse teorico ed applicativo, viene risolto in forma completa nell'ambito della teoria degli slip e prendendo opportunamente in conto l'effetto Bauschinger.

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This work was done under the auspices of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.