Some properties of generalized epicycloids applied to fracture mechanics

Résumé La réflexion partielle d'un faisceau lumineux sur le revers d'une plaque mince en plexiglas comportant une fissure intérieure symétrique formant un angle quelconque avec l'axe d'application de la charge extérieure, crée des déviations des rayons réfléchis dans la zone contractée qui entoure l'extrémité de la fissure. Ces déviations forment une caustique. On montre, dans cet article, que cette caustique prend la forme d'une courbe épicycloïdale générale, valable pour tous les matériaux qui ont un comportement élastique. Cette courbe est créée par l'extremité du vecteur résultant qui représente les rayons de lumière réfléchis et déviés sur la plaque fissurée. On étudie ensuite les proprietés caractéristiques de ce type d'épicycloïdes en relation avec le facteur complexe d'intensité des contraintesK ^*. Les résultats des essais faits à l'aide des plaques munies des fissures intérieures symétriques d'orientation différente par rapport à l'axe d'application de la charge extérieure sont en parfait accord avec les résultats de la théorie.     

The behavior of elastic heat conductors with second-order response functions

Second-order forms for the material response functions of an elastic heat conductor are derived by approximating the response functions by polynomials in the appropriate invariants. Solutions based upon these forms of the response functions are exact for special materials and approximate for general materials. The second-order dependence on temperature of isothermal elasticity solutions is found, and the results are shown to agree well with experimental data taken on rubber. Within the second-order theory for incompressible and isotropic bodies, the problems of biaxial stretching of a plate with transverse heat flow and the simultaneous extension and shear of a cylindrical annulus with radial heat flow are solved.

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Résumé Les termes du deuxième ordre des fonctions de réponse d'un conducteur de chaleur élastique sont dérivés dans une approximation basée sur le développement en polynomes d'invariants appropriés de ces fonctions. Les solutions qui en résultent sont exactes pour certains matériaux et approchées dans le cas général. Une dépendance du second ordre en température de l'élasticité isotherme est établie et il est montré que, dans le cas du caoutchouc, les résultats sont en bon accord avec les données expérimentales. Les problèmes de l'état de tension bidimensionnel d'une plaque soumise à un flux de chaleur transversal et de l'allongement et du cisaillement simultanés d'un anneau cylindrique parcouru par un flux radial sont résolus dans le cadre de la théorie du second ordre pour les corps incompressibles et isotropes.

     

Représentation des fonctionnelles surmédianes

Summary Considérons la théorie du potentiel définie par un noyau de Hunt: si F est une fonction complètement additive de certaines mesures et croissante en ordre du balayage, il existe une (classe de) fonction borélienne représentant F; c'est le résultat principal de ce travail, et il se révèle extrêmement commode pour l'étude des fonctions fortement surmédianes.On en déduit un théorème de convergence du type de Cartan-Brelot pour les familles monotones de fonctions fortement surmédianes, et un critère de compacité relative inspiré de celui de Dunford-Pettis. On précise les termes de la décomposition de Mertens à l'aide du cône C des fonctions fortement surmédianes quasi-s.c.s. modérées.Comme application, on introduit et on étudie la «quasi-topologie fine» et les ensembles réguliers.Toute cette étude repose presque uniquement sur deux propriétés fondamentales, à savoir d'une part le caractère régularisant des opérateurs de réduction, et d'autre part la grande propriété des ensembles semi-polaires qui se trouve originellement chez R.M. Hervé [8] et dont nous donnons ici une version un peu plus forte.Dans un deuxième chapitre, nous signalons les généralisations possibles, et nous obtenons sans affaiblissement les mêmes énoncés en théorie des résolvantes de Ray ou en théorie des surmartingales.     

Un modèle stochastique pour l'étude du bruit de fond dans un réacteur contrôlé par un dispositif de réglage automatique

Résumé On essaie de trouver l'équation du mouvement de la barre de contrôle d'un réacteur en théorie ponctuelle à un groupe de neutrons retardés à partir des principes stochastiques.     

The motion of incompressible fluids with electrical resistivity past thin airfoils in oblique fields

Résumé Le problème de l'écoulement des fluides à résistivité électrique en présence d'un profil mince, dans le cas des champs obliques, est réduit à la résolution d'une équation intégrale du type Fredholm. L'équation peut être résolue à l'aide de la méthode des approximations successives. Dans le cas des champs alignés et dans celui des champs perpendiculaires, lorsque pourR (nombre magnétique de Reynolds) nous considérons des valeurs petites, les équations se résolvent de façon explicite et exacte. On détermine la portance dans le cas d'une plaque et on montre la manière dont la portance décroit à mesure queR augmente. On montre également que dans le cas des champs orthogonaux, la portance est plus petite que dans celui des champs alignés. De la solution générale on obtient, comme cas particulier, la solution de l'aérodynamique classique ainsi que la solution du cas du fluide à résistivité négligeable.     

Contact problem of a rigid indentor in second order elasticity theory

Summary A solution to the contact problem of a rigid indentor in an elastic half space is derived by employing the theory of second order elasticity. The formulae for the distribution of pressure under the punch, shape of the deformed surface, total load on the punch and the depth of penetration are given in the general terms. The results are illustrated by considering the indentation of the half space by a rigid sphere. Amongst other results it is found that for a compressible material the depth of penetration is larger and the total load is smaller as compared to their values in classical elasticity; for an incompressible material the effects observed are exactly reversed to those of the above.

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Résumé La solution du problème de contact d'un corps rigide arrondi s'appuyant sur un demi-espace élastique est dérivée en employant la théorie de l'élasticité du second ordre. Les formules pour la distribution de la pression sous le poinçon pour la configuration de la surface déformée, pour la charge totale sur le poincon et pour la profondeur de pénétration sont données en termes généraux. Les résultats sont illustrés en considérant la cavité due à la pénétration d'une sphère rigide dans le demi-espace. Parmi d'autres resultats on trouve que pour une matière compressible, la profondeur de penetration est plus grande et que la charge totale est plus petite par rapport aux valeurs obtenues à l'aide de la theorie classique de l'elasticite; par une matière incompressible les effets observés sont exactement inverses.

     

Effects of a magnetic field on streamlines in Bénard convection cells induced by surface tension and buoyancy

Résumé En complément des résultats théoriques [2] déjà obtenus sur les lignes de courant dues à la tension superficielle et à la convection thermique dans les cellules de convection deBénard, on considère un liquide conducteur de l'électricité, en présence d'un champ magnétique vertical. On présente des résultats numériques. Outre les effets signalés dans [1] on a trouvé les effets suivants qui résultent de la présence du champ magnétique: (i) Dans les cellules dues à la convection le groupement des lignes de courant est plus symétrique par rapport au milieu du liquide, que lorsqu'il n'y a pas de champ magnétique. (ii) Dans les cellules dues à la tension superficielle les lignes de courant sont plus resserrées près de la surface supérieure que près de la surface inférieure. (iii) En général les lignes de courant dépendent de la condition thermique à la surface supérieure. Lorsque cette surface est conductrice de la chaleur, la transition du mode de la tension superficielle au mode de la convection est discontinue pour un champ magnétique assez intense.     

On the back-scatter cross-sections of ice spheres

Résumé La section droite de diffusion arrière de sphères de grand diamètre constituées par de la glace ou une matière (Stycast) ayant le même indice de réfraction est envisagée d'une manière à la fois théorique et expérimentale. La section droite est évaluée théoriquement par l'application d'une méthode d'optique géométrique simplifiée dans laquelle on considère seulement les réflexions sur les faces avant et arrière de la sphère. Dans le domaine du rapport diamètre/longueur d'onde de l'ordre de 1,3 à 6,7, les résultats obtenus par cette méthode s'accordent bien avec le calcul rigoureux de la section droite obtenu par la solution de l'équation demie. Pour des diamètres plus grands, la solution approchée sous-estime la section droite demie par un facteur qui est cependant plus petit que 3. La théorie simplifiée est étendue au cas de sphères diélectriques ayant leur surface partiellement couverte par une couche réfléchissante.Des données expérimentales sur la diffusion arrière, à une longuer d'onde de 3,22 cm, par des sphères en Stycast recouvertes d'une calotte sphérique de petite dimension, sont présentées dans le but d'illustrer la théorie précédente. En effet, les résultats obtenus, pour toutes les positions de la calotte sphérique au cours de sa rotation autour d'un axe vertical, sont en plein accord, dans la limite des erreurs expérimentales, avec la théorie faisant intervenir la composition de 3 parcours optiques principaux.

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A summary of this work was presented at the Tenth Weather Radar Conference, Washington, D. C., April 22–25, 1963.     

The decay of a magnetohydrodynamic shock wave

Résumé On utilise l'analyse linéaire pour étudier les faibles perturbations non-isentropiques des équations relatives aux écoulements unidimensionnels et non-stationnaires d'un fluide non visqueux idéal, parfaitement conducteur de l'électricité et compressible, soumis à l'action d'un champ magnétique transversal. On utilise la solution générale de la perturbation non-isentropique d'un écoulement par ondes simples centrées pour déterminer la perturbation qui se manifeste lorsqu'une onde de choc magnétohydrodynamique, tout d'abord uniforme et de force arbitraire, rencontre le régime d'onde simple.Dans le cas limité d'un champ magnétique nul, la solution se réduit exactement à celle du problème correspondant de la dynamique classique des gaz. C'est la une confirmation de la validité de la théorie.

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This research was supported by National Science Foundation grant GP 87190.     

Atmospheric ice nuclei

Résumé L'auteur examine les connaissances actuelles des noyaux glaçogènes naturels et décrit brièvement les méthodes utilisées pour mesurer des concentrations à des températures variables, les résultats obtenus et la répartition géographique des noyaux glaçogènes. La majorité de ces noyaux, paraît-il, est composée de particules solides insolubles, d'un diamètre inférieur à 2 microns. Il discute sous des rubriques diverses leur comportement, tel qu'il a été décélé par des expériences en laboratoires: a) congélation contre sublimation, b) retard de nucléation, c) les résultats des congélations, répétées 4) préactivation et désactivation, 5) les résultats de leur immersion dans l'eau et les résultats de l'addition de substances solubles.L'auteur décrit les méthodes variées dont on se sert pour résoudre le problème de la composition des noyaux glaçogènes naturels et arrive à la conclusion que les noyaux plus actifs répandus à l'échelle mondiale sont des poussières du sol aussi bien que des particules d'origine extra-terrestre. Les mesures de la répartition verticale des noyaux de glace et la variation, récemment découverte, de la concentration des noyaux glaçogènes au cours de la phase lunaire sont favorable à la thèse de leur origine extra-terrestre.L'auteur souligne la pauvreté de nos connaissances en ce qui concerne le processus de congélation des nuages naturels.     

Asymptotic partition of energy in linear generalized thermoelasticity

Summary The asymptotic partition of energy is investigated within the context of linear theory of thermoelasticity proposed by Green and Lindsay in [1]. The asymptotic equipartition occurs between the Cesàro means of the kinetic and strain energies.

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Résumé On étudie la partition asymptotique de l'énergie dans la théorie linéaire de la thermoélasticité proposée par Green et Lindsay [1]. L'équipartition asymptotique a lieu entre les moyens Cesàro des énergies cinétiques et de déformation.

     

The stability of a column of liquid to torsional oscillations

Résumé On fait appel à la théorie linéaire de stabilité pour démontrer que des perturbations axisymétriques d'une colonne infinie de fluide en rotation continue et entourée d'un autre fluide noncompressible peuvent être représentées comme la somme des oscillations méridionales et des oscillations de torsion, pourvu que les nombres de Reynolds soient petits. Dans ce cas, le composant de torsion ne peut conduire à des instabilités.     

Anatomy of the Shape Hessian

Summary The computation of the Shape Gradient with respect to domain perturbations plays a central role in the theory and numerical solution of Shape Optimization problems. In 1907 J. Hadamard introduced a method which has been and still is widely used to obtain many useful results for applications. The mathematical limitation of his method rests in the fact that the deformations of the domain are a function of the smoothness of the normal to the boundary (hence the smoothness of the boundary). New developments by the Nice School (J. Cea and J. P. Zolesio) using arbitrary velocity fields of deformation relaxed the condition that the deformation be carried by the normal to the boundary. Finally the use of «Shape Lagrangians» by Delfour and Zolésio made it possible to obtain Shape Gradients by a simple constructive method which does not require the derivative of the state with respect to the domain. In this paper we apply this last method to semi convex cost functions. This extension makes it possible to compute the «Shape Hessian» or «Shape directional second derivative». We give several expressions for the «Shape Hessian» and a set of equations characterizing its kernel.

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Résumé En Optimisation de forme le calcul du gradient par rapport aux déformations du domaine joue un rôle central dans la théorie et la résolution numérique de ces problèmes. C'est en 1907 que J. Hadamard montra comment obtenir ces gradients par une méthode originale de perturbations du domaine portées par la normale à la frontière du domaine. La «méthode d'Hadamard» a permis jusqu'à nos jours de traiter ces problèmes et d'obtenir de nombreux résultats utiles pour les applications. La limitation mathématique de cette méthode réside dans le fait que les déformations sont liées à la régularité de la normale (donc celle de la frontière). De nouveaux développements utilisant la méthode des champs de vitesse de déformation de l'École niçoise (J. Céa et J. P. Zolésio) ont permis de séparer les contributions respectives de ces deux variables. Enfin l'utilisation du «lagrangien de forme» par Delfour et Zolésio a permis d'obtenir les gradients de forme par une méthode simple et constructive ne nécessitant pas la dérivée de l'état par rapport au domaine. Dans cet article nous appliquons cette dernière méthode à des fonctions coût semi convexes ce qui permet d'obtenir l'«hessien de forme» ou derivée directionnelle seconde par rapport aux domaines. On donne plusieurs expressions de cet hessien ainsi que des équations caractérisant son noyau.

     

The damping force on a body oscillating in an elastico-viscous fluid

Résumé On calcule la force d'amortissement agissant sur un corps de forme arbitraire auquel on fait subir de petites oscillations latérales dans une expansion infinie de liquide élastique et visqueux. On montre que l'élasticité a pour effet de réduire la résistance à des fréquences hautes et de l'augmenter à des fréquences basses.     

The relation between director and multipolar theories in continuum mechanics

Résumé On décrit la théorie thérmo-mécanique d'un milieu continu dans laquelle la déformation est décrite par plusieurs champs directeurs. Il est demontré qu'une des formes de la théorie est equivalente à une théorie de directeurs. Une théorie dans laquelle la déformation est décrite par plusieurs champs de déplacement est discutée et il est demontré qu'elle est equivalente à une théorie de directeurs sous une condition restrictive.     

Problème de Cauchy non autonome pour des équations d'évolution

Nous étudions dans un espace de Banach le problème de Cauchy pour des équations d'évolution gouvernées par des opérateurs dépendant du temps dans un cadre plus général que les hypothèses d'accrétivité. D'une part, ce cadre s'adapte bien à des perturbations continues vérifiant des conditions de type Osgood, d'autre part, l'essentiel des résultats de la théorie moderne des équations d'évolution abstraites se trouve prolongé à ce nouveau contexte.     

Streamlines in Bénard convection cells induced by surface tension and buoyancy

Résumé L'équation différentielle obtenue en appliquant la théorie des perturbations au problème de la convection cellulaire a déjà été résolue par rapport aux valeurs propres définissant le début de l'instabilité. Dans ce travail on cherche les fonctions propres correspondant à diverses combinaisons des forces de poussée et de tension superficielle et différentes conditions thermiques à la surface libre. On discute la relation entre la disposition des lignes de courant et le degré d'interdépendance des deux agents d'instabilité. On a tracé les lignes de courant dans le cas où la convection résulte de la tension superficielle seule sur une surface libre isolée thermiquement. Ces lignes sont peu différentes de celles qu'on trouve dans les mêmes conditions lorsque la convection est due à la poussée seule. Ceci explique le haut degré d'interdépendance entre les deux phénomènes, lorsque la surface supérieure est isolée thermiquement.     

A type of solution for thin shells in the form of an hyperbolic paraboloid

Résumé Pour le problème du paraboloïde hyperbolique une solution est présentée qui se base sur la théorie linéaire des voiles minces peu incurvés. La solution prend en considération l'effet de la flexion; c'est une extension du type de solution indiqué parM. Lévy pour la plaque rectangulaire (théorie classique). Un exemple d'application termine cette étude.     

Optimal coordinates for three-dimensional incompressible laminar boundary layers

This paper summarizes the basic theory of optimal coordinates for the three-dimensional incompressible boundary layers. Though in essence the results obtained in this paper form an extension of Kaplun's work in two dimensions, the additional considerations due to three-dimensionality have extended the scope and applicability of the theory of optimal coordinates to more complicated situations.

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Résumé Cet article résume la théorie fondamentale des coordinées optimales pour les couches limites incompressibles à trois dimensions. Les résultats donnés dans cet article ne sont essentiellement que la continuation des recherches de Kaplun faites sur les couches limites à deux dimensions; mais les considérations supplémentaires dues à la tri-dimensionalité ont permis d'augmenter la portée et les applications de la théorie des coordinées optimales à des situations plus compliquées.