用逆推法求解一类数列题

<正>数列是高中数学学习的重点和难点,也是近几年来高考数学的一个重要考点.通过对高中阶段数列知识点和高考试题的梳理分析,发现有这样一类数列问题:已知数列的递推式和某一项(通常不是首项),通过数列间的递推关系,求解出该数列的首项或该项前的一些项.对于此类问题,在实际的解题操作中,如     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6：已知数列{an}中,a1=5,a2=2、an=2an-1＋3an-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升．本文试从这道题的类型展开加以研究．     

借助三角代换求解非线性递推数列问题

大家知道,由数列的非线性递推式确定其通项或其他性质,一般来讲是较困难的,对某些非线性递推数列问题,我们如能抓住递推式的外形结构特征,类比有关的三角公式,通过相应的三角代换,借助三角     

构造新数列求通项

构造思想的实质是根据已知条件的特征 ,创造一个新的数学对象 ,从而实现问题的转化 .显然 ,它对培养学生的创新意识和创新能力有很重要的作用 .本文举例探讨如何构造新数列来解决求数列通项的问题 .许多数列问题中的通项主要是由递推关系给出的 .如果这个递推关系正好是 an 1=an d(d是常数 )或 an 1=qan(q是常数 ,q≠0 ) ,则非常简单 ,前者是等差数列 ,后者是等比数列 .如果是其他递推关系 ,则可以考虑转化为上述两种基本的数列 .例 1　已知 a1=1 ,an 1=2 an 1 ,求 an.分析　在递推关系 an 1=2 an 1中 ,如果没有后面的“ 1”,则此数列…     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

迭代法是解决递推数列问题的通解常法

1 问题的提出在近几年全国各省市的高考试题中,数列是重点考查内容,其中有许多试题都涉及到递推数列问题( 2008～2011年共有28道试题),它们通常是已知数列的前一项(或两项)和递推关系式,然后要求出数列的通项公式,并在此基础上再解决其他综合问题.其中解决递推数列的通项公式是此类试题的基础,不能做到这一步,后面的问题解决不易.     

一个数列的通项公式

由一个数列的递推公式得到数列的通项公式,是我们的期望. 新编高中教材第一册(上)P109:数列的例3给出了数列的首项和递推公式,但没有求出它的通项公式,总觉得有些美中不足,本文现作一个补充. 题目已知数列{an}的第1项是1,以后     

递推数列问题的再探究

<正>数列是高中数学的难点,是高考的热点,同时它也是一类特殊的函数,它广泛地存在于科学研究、工程技术、日常生活中.已知数列的递推公式,求数列的通项公式是高考常考的内容,但是由于数列的表现形式各异,有些数列     

递推数列与函数“不动点”

数列综合题是高考数学中的热点和难点之一，特别是已知递推关系但又难求通项的数列综合题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，这里我们以例题的形式说明函数“不动点”与递推数列之间的关系，以及怎样利用函数“不动点”来分析、解决与递推数列有关的综合题，以期对同学们有所帮助．     

从递推关系求通项公式课例

含递推关系的数列问题，是近几年各省市高考命题的热点问题之一．数列递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系，它是数列中的重要内容．笔者以一节课为例，展现如何通过递推关系，观察、探究数列的规律，进而求出数列的通项公式．     

利用函数不动点求数列的通项公式

递推公式是给定数列的一种重要的方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

二元变系数递推数列的求解

运用矩阵理论给出一类二元变系数递推数列的求解公式,此方法适用于变系数分式递推式及m元变系数递推式的求解问题。     

用“替换相减”法解一类竞赛题

大家知道,数列递推公式与一般的方程不同,其显著特点是可将其中的变元n替换成(n 1)或(n-1).由于这样替换前后两个等式中的n值相同,故可将两式相减,得出一个易于转化的新递推公式.许多递推数列竞赛题利用“替换相减”法,往往能巧妙获解.[例1] 已知数列{an}满足:a0=0,an-1,n=0,1,2,…,其中k为给定的正整数,证明:数列{an)的每一项都     

由递推公式求数列的通项公式

递推公式是给出数列的一种方法 .这个内容在《中学数学教学大纲》和《高考数学科的考试说明》中 ,只要求学生能够根据递推公式写出数列的前几项 .所以 ,在已知数列的递推公式 ,求数列的通项公式等问题时 ,一般的方法是先根据递推公式写出数列的前几项 (一般是四、五项 ) ,然后通过观察、比较、猜测写出数列的一个通项公式 ,最后用数学归纳法证明该通项公式确为所求 .其过程为“递推—猜想—证明”.不过 ,高中数学的数列部分 ,是以等差数列、等比数列为基础和重点的 ,一些数列是在等差数列、等比数列的基础上构成的 (某些递推公式也反映了这…     

直观促巧思 点阵解难题

求一阶线性递推数列形如an+1=can+d(c≠1)的通项是高中数列教学的难点内容,并且数列章节教学时间短,大概只有三周15个课时,教学跨度大,从小学的找数字变化规律到大学的简单差分方程内容,教到最后如已知递推式求通项式的内容时,时间紧,难度大,就极易陷入解题教学,     

巧用递推关系求数列通项公式

<正>数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化规律,而且有利于求数列前n项和.而利用递推关系求数列的通项公式又是数列的核心问题之一.因此,本文通过举例来介绍几种常用的求法.1.辅助数列法利用数列的递推关系,构造一个新的数列     

从简单的做起

讨论了一个常系数数列,已知递推式求通项公式.先假设该数列为最简单的等差或等比数列,产生矛盾后尝试连续两项满足线性关系的数列,仍然失败,再引入新的数列来代替线性函数中的常数项,再从简单做起,验证引入的新数列为等比数列,逐步推理后得到原数列的通项公式.最后指出了常系数数列的通项公式与常系数微分方程解的关系.     

由递推公式给出的数列的常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题 ,通常可通过对递推式的变换转化成等差数列或等比数列问题 ,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化 .1　ａｎ + 1=ａｎ+ｆ(ｎ)型例 1　在数列 {ａｎ}中 ,已知ａｎ + 1=2 ｎ + 1·ａｎａｎ+2 ｎ + 1,ａ1=2 ,求通项公式ａｎ.解　已知递推式化为1ａｎ + 1=1ａｎ+12 ｎ + 1,即　 1ａｎ + 1- 1ａｎ=12 ｎ + 1,∴ 1ａ2- 1ａ1=12 2 ,1ａ3- 1ａ2=12 3 ,1ａ4- 1ａ3=12 4,… ,1ａｎ- 1ａｎ -1=12 ｎ.将以上 (ｎ - 1 )个式子相加得1ａｎ- 1ａ1=12 2 +12 3 +12 4+… +12 ｎ,1ａｎ=12 +12 2 +12 3 +… +12 ｎ=12 1 …     

含有根式的递推数列问题求解策略

某些含有根式的递推数列问题,用三角代换法使其根式脱去非常奏效,即借助于同角三角函数的平方关系式sin2α cos2α=1、1 tan2α=sec2α、1 cot2α=csc2α以及倍角公式,将已知递推数列问题转化为角成等比数列问题,进而使问题迅速获解.观察递推公式的根式结构待征,选择恰当的三角