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性质 设数列 {ａｎ}是等比数列 ,公比ｑ≠ 1,Ｓｎ 为它的前ｎ项和 ,规定Ｓ0 =0 ,则对任意的自然数ｍ ,ｎ ,当ｍ≠ｎ时 ,总有Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ =ａ1 ｑ -1=常数 .此性质的证明不难 ,只须将Ｓｎ =ａ1 ( 1-ｑｎ)1-ｑ ,Ｓｍ=ａ1 ( 1-ｑｍ)1-ｑ 代入便得 ,同时也可验证当ｍ和ｎ之一为零时 ,结论也成立 .本文主要利用 Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ 为常数这一特征简捷求解某些等比数列的“和”问题 .例 1 ( 1990年广东试题 )已知等比数列的公比为 2 ,且前 4项之和为 1,那么前 8项之和等于 ( )(Ａ) 15 . (Ｂ) 17. (Ｃ) 19. (Ｄ) 2 1.解 由性… 相似文献
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正项等差数列的不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证 由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 … 相似文献
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π和ｅ是数学中一对极为重要的无理数 ,对π其来源是人们所熟知的 ,但对ｅ见诸介绍的却很少 ,所以常有学生问及ｅ的来源 .本文就中学生能理解和接受的程度谈谈ｅ的来源 ,供同学们参考 . 让我们从如下重要不等式开始 .ａ1 ａ2 … ａｍ ａｍ 1 … ａｎｎ≥ ｎ ａ1·ａ2 ·…·ａｍ·ａｍ 1·…·ａｎ ( 1)其中ａｉ∈Ｒ ,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ,当且仅当ａ1=ａ2=ａ3=… =ａｎ 时取等号 .在 ( 1)中 ,若令ａ1=ａ2 =… =ａｍ=ａ ,且ａ≠ 1,ａｍ=ａｍ 1=… =ａｎ=1,则有 ｍａ (ｎ -ｍ)ｎ >ｎａｍ,即 1 ｍｎ(ａ - 1) >ａｍｎ,再令 ｍｎ =ｂ,则有… 相似文献
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数列求和的一个基本目标是 :减少项数 ,化成简单形式 ,便于求出结果 .同样等比数列求和也应按上述目标来实现 .怎样才能实现上述目标 ?应紧紧抓住等比数列的本身特点和规律 .方法 1 抓住等比数列的定义 ,联想等比定理 .设等比数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公比为 ｑ ,由等比数列定义知 :ａ2ａ1=ａ3ａ2=ａ4 ａ3=… =ａｎａｎ- 1=ｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ≠ - 1时 ,根据比例性质得 :ａ2 +ａ3+ａ4 +… +ａｎａ1+ａ2 +ａ3+… +ａｎ- 1=ｑ ,即 Ｓｎ-ａ1Ｓｎ-ａｎ=ｑ ,∴ (1- ｑ)Ｓｎ=ａ1-ａｎｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ =- 1时 ,上式也成立 .∴Ｓｎ=ｎａ1 (… 相似文献
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等差数列是一类特殊函数 ,用函数思想理解等差数列能加深对其概念和公式的理解和运用 ,加强知识点间的联系 .1 一次函数等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+ (ｎ - 1)ｄ =ｎｄ+ (ａ1-ｄ) ,它是关于ｎ的一次函数 ,其图象是一条直线上的点 ,求和公式Ｓｎ=ｎａ1+ ｎ(ｎ - 1)ｄ2 可变形为 Ｓｎｎ =ａ1+ ｎ - 12 ·ｄ ,也是关于ｎ的一次函数 .因此 ,对于涉及到等差数列的有关问题 ,有时可利用一次函数的性质及图象求解 .例 1 在等差数列 {ａｎ}中 ,ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ(ｍ≠ｎ) ,求ａｍ +ｎ.解 设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａｎ=ｎｄ +(ａ1-ｄ)是关… 相似文献
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关于公式学习的变式探究 总被引：1，自引：0，他引：1
公式学习是数学学习的中心环节 .掌握公式就意味着明确公式的结构特征 (条件和结论 ) ,弄清公式的来龙去脉、推证方法和适用范围 ,并能运用公式解题 .为此 ,要十分注重公式的变式探究 .例如 ,等比数列求和公式 ,课本采用“ｑ倍减法”推导该公式 (记为方法 1) ,若着眼于 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ 与ａｎ 之间的联系以及等比数列的定义 ,可得如下推导方法 .方法 2 :(方程法 )设 {ａｎ}是公比为ｑ的等比数列 ,则ａ2ａ1=ａ3 ａ2=… =ａｎａｎ -1=ｑ (ｎ≥ 2 ) ,∴ａ2 =ａ1ｑ ,ａ3 =ａ2 ｑ,… ,ａｎ=ａｎ -1ｑ ,相加得Ｓｎ-ａ1=ｑＳｎ -1(ｎ≥ 2 ) ,… 相似文献
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选择题1 数列 1,0 ,1,0 ,…的一个通项公式是 ( )(Ａ)ａｎ=1- (- 1) ｎ 12 .(Ｂ)ａｎ=1 (- 1) ｎ 12 .(Ｃ)ａｎ=(- 1) ｎ- 12 . (Ｄ)ａｎ=- 1- (- 1) ｎ2 .2 ａｃ =ｂ2 是ａ ,ｂ,ｃ成等比数列的 ( )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既非充分也非必要条件 .3 在等差数列 {ａｎ}中 ,Ｓ15=15 0 ,则ａ8为 ( )(Ａ) 10 . (Ｂ) 12 . (Ｃ) 15 . (Ｄ) 16 .4 在等比数列中 ,ａｍ ｎ=Ａ ,ａｍ -ｎ=Ｂ ,则ａｍ 等于( )(Ａ)ＡＢ . (Ｂ)±ＡＢ .(Ｃ)Ａ Ｂ . (Ｄ) Ａ Ｂ2 .5 若数… 相似文献
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200 1年北京市、内蒙古自治区、安徽省春季高考 (2 0 )题是 :在 1与 2之间插入ｎ个正数ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ,使这ｎ 2个数成等比数列 ;又在 1与 2之间插入ｎ个正数ｂ1,ｂ2 ,ｂ3,… ,ｂｎ,使这ｎ 2个数成等差数列 .记Ａｎ=ａ1ａ2 ａ3…ａｎ,Ｂｎ=ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ.1 )求数列 {Ａｎ}和 {Ｂｎ}的通项 ;2 )当ｎ≥ 7时 ,比较Ａｎ 与Ｂｎ 的大小 ,并证明你的结论 .下面 ,本文给出一种有别于参考答案的解答 .解 1 ) 设等比数列的公比为 ｑ ,等差数列的公差为ｄ ,则据题意得ａｎ=ｑｎ 1=2 ,ｂｎ=1 (ｎ 1 )ｄ =2 ,即 ｑｎ 1=2 ,(ｎ … 相似文献
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新教材第 117页练习 2 ( 2 )题是 :在等差数列中 ,已知ａ3=9,ａ9=3 ;求ａ12 的值 .这是一道很简单的等差数列问题 ,易求得ａ12 =0 ,但细看数字特征 ,会发现这是等差数列的一个有趣性质 .更一般地有 :在等差数列中若ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ ,则ａｍ +ｎ=0 .证明一 ａｍ=ａ1+ (ｍ -1)ｄ =ｎ和ａｎ=ａ1+ (ｎ -1)ｄ =ｍ ,联合两式解方程组得ａ1=ｍ +ｎ -1和ｄ =-1.所以 ａｍ +ｎ=ａ1+ (ｍ +ｎ -1)ｄ =0 .证明二 ａｎ=ａｍ+ (ｎ -ｍ)ｄ ,即 ｍ =ｎ + (ｎ -ｍ)ｄ ,从而有ｄ =-1,所以ａｍ +ｎ=ａｍ+ (ｍ +ｎ -ｍ)ｄ =ｎ -ｎ =0 .这里巧用通项与某项的… 相似文献
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中师教材《代数与初等函数》(人民教育出版社1994年12月第一版)第二册第30页有这样一个习题.等比数列的首项是358,末项是18,而各项的和是5,求这个等比数列的公比.这个问题从表面看非常简单,只要利用等比数列前ｎ项和的公式ｓｎ=ａ1-ａｎｑ1-ｑ,则有:ｓｎ·(1-ｑ)=ａ1-ａｎ... 相似文献
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性质 设数列 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓｎ 为它的前ｎ项和 ,则对任意的自然数ｍ ,ｎ ,当ｍ≠ｎ时 ,总有 ｍＳｎ-ｎＳｍｍ·ｎ(ｎ -ｍ) =12 ｄ .证 ∵数列 {ａｎ}是等差数列 ,∴Ｓｎ=ｎａ1 12 ｎ(ｎ -1)ｄ ,Ｓｍ=ｍａ1 12 ｍ(ｍ -1)ｄ ,∴ｍＳｎ -ｎＳｍ =ｍ·ｎａ1 12 ｍ·ｎ·(ｎ -1)ｄ -ｎ·ｍａ1 -12 ｎ·ｍ (ｍ -1)ｄ =12 ｍｎ(ｎ -ｍ )ｄ ,∴ ｍＳｎ-ｎＳｍｍ·ｎ(ｎ -ｍ ) =12 ｄ .上述性质公式结构优美 ,便于记忆 ,且只含项数与前ｎ项和 ,公差 .在解只含上述条件的题目时 ,运用它可以很方便地解题 ,下面举例说明 .例 1… 相似文献
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20 0 0年人教版《全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修 )数学第一册 (上 )》第 133页§ 3.5练习第 4题如下 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证 :Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列吗 ?与教材配套的《教师教学用书》第 87— 88页对此题给出如下参考解答 :由Ｓ7=ａ1(1- ｑ7)1- ｑ ,Ｓ14 =ａ1(1- ｑ14 )1- ｑ ,Ｓ2 1=ａ1(1- ｑ2 1)1- ｑ ,可得Ｓ7(Ｓ2 1-Ｓ14 ) =(Ｓ14 -Ｓ7) 2 ;此结论也可如下证明Ｓ14 -Ｓ7=(ａ1 ａ2 … ａ14 ) - (ａ1 ａ2 … ａ7) =ａ8 … 相似文献
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题目 :{ａｎ}是等比数列 ,且Ｓ =ａ1 +ａ2 +…ａｎ,Ｔ =1ａ1 +1ａ2 +… +1ａｎ,求 {ａｎ}的前ｎ项之积 .苏州大学出版的 2 0 0 1版《高三数学教学与测试》(教师用书 )中给出的解答如下 :解 设ｑ为公比 Ｓ =ａ1 -ａｎｑ1 -ｑ ,Ｔ =1ａｎ- 1ａ1ｑ1 -ｑ =ａ1 -ａｎｑａ1 ａｎ(1 -ｑ) ＳＴ =ａ1 ａｎ,又ａ1 ａｎ=ａ2 ａｎ- 1 =… ａ1 ａ2 ａ3…ａｎ =(ａ1 ａｎ) ｎ2 ,即所求之积为 ＳＴｎ2 .笔者在探究其解法的过程中 ,发现上面的解答是错误的 .无独有偶 ,中国青年出版社 1 998年 8月出版的《中学生同步学习参考书》(高二数学)Ｐ98页也有此… 相似文献
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20 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题中的第 1 5题是这样的 :设数列 {ａｎ}是一个公差不为零的等差数列 ,ａ5 =6 .1 )当ａ3 =3时 ,请在数列 {ａｎ}中找一项ａｍ,ｍ >5,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｍ 成等比数列 ;2 )当ａ3 =2时 ,若自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,… ,满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,且ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…是等比数列 ,求ｎｔ.3)如果存在自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,…满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…构成一个等比数列 ,求证整数ａ3 必为 1 2的正约数 .这是一道很好的考题 … 相似文献
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形如ａｘ~2 +ｂｘｙ +ｃｙ~2 (ａ ,ｂ ,ｃ是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 ｙ≠ 0的情况下 ,可变形为 ｙ2 [ａ( ｘｙ) 2 +ｂ( ｘｙ) +ｃ] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 ｘｙ的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1 设数列 {ａｎ}是首项为 1的正项数列 ,且 (ｎ + 1 )ａ2 ｎ + 1 -ｎａ2 ｎ+ａｎａｎ + 1 =0 (ｎ =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是ａｎ=.分析 已知等式是关于ａｎ,ａｎ + 1 的二次齐次式 ,因为ａｎ>0 ,两边同除以ａ2 ｎ 得 (ｎ + 1 )·( ａｎ + 1ａｎ) … 相似文献
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习题 在数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ 1=3Ｓｎ(ｎ≥1) ,求证 :ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .这是高中数学 (试验修订本·必修 )第一册 (上 )Ｐ142第 5题 ,“通过一道题 ,就好象通过一道门户 ,把学生引入到一个完整的理论领域”(波利亚语 ) .我们先从它的解题思路上引入到一个发散思维的领域 .思路 1 从等比数列的定义入手 ,同时利用等式Ｓｎ=Ｓｎ -1 ａｎ.当ｎ≥ 2时 ,ａｎ 1ａｎ=3Ｓｎ3Ｓｎ -1=ＳｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 ａｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 3Ｓｎ -1Ｓｎ -1=4.故ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .思路 2 先把和式转化为通项 ,这时利用… 相似文献
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等差数列的通项公式为ａｎ=ａ1 (ｎ - 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,这表明ａｎ 与ｎ成线性关系 .它的前ｎ项和公式为Ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ - 1)2 ｄ ,变形后得 Ｓｎｎ =ｄ2 ｎ (ａ1- ｄ2 ) ,显然 ｆ(ｎ) =Ｓｎｎ 与ｎ也成线性关系 .从解析几何的观点看 ,点集 {Ｐｎ(ｎ ,ａｎ) }和{Ｑｎ(ｎ ,Ｓｎｎ) }中的点分别共线 ,把此关系与直线方程的形式作比较 ,不难得出关于ａｎ,Ｓｎｎ 的以下三种形式 :①ｄ =ａｎ-ａｍｎ -ｍ ;○1′ ｄ2 =Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ .② ａｎ-ａｍｎ -ｍ =ａｋ-ａｎｋ -ｎ ;○2′Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ =Ｓｋｋ - Ｓｎｎｋ -ｎ … 相似文献
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在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1 当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1 满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2 当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为 ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2 数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得… 相似文献
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题 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )… 相似文献