错解与剖析

<正>已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0.(1)若M(x,y)为圆C上任一点,求k=(y-3)/(x-6)的取值范围;(2)已知点N(-6,3),直线kx-y-6k+3=0与圆C交于点A、B,当k为何值时,     

构造圆锥曲线求最值

本文举例谈谈如何构造圆锥曲线求一类无理函数的最大值和最小值问题.一、构造圆求最值例 1　已知x2 +y2 =169,求 24y-10x+38+ 24y+10x+338的最大值和最小值.　　解:由x2 +y2 =169,把所求式子变形M = 24y-10x+169+25+144　+ 24y+10x+169+25+144= 24y-10x+x2 +y2 +25+144　+ 24y+10x+x2 +y2 +25+144= (x2 -10x+25)+(y2 +24y+144)　+ (x2 +10x+25)+(y2 +24y+144)= (x-5)2 +(y+12)2　+ (x+5)3 +(y+12)2.设P(x,y),A(5, -12),B(-5, -12),则所求式子M为圆x2 +y2 =169上一点到两定点A、B的距离的之和,即M= |PA|+ |PB|,如图.又∵|…     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…     

错解与剖析

已知圆C：x2＋y2-4x-14y＋45=0. （1）若M（x,y）为圆C上任一点,求k=（y-3）/（x-6）的取值范围; （2）已知点N（-6,3）,直线kx-y-6k＋3=0与圆C交于点A、B,当k为何值时,^→NK·^→NB取得最小值？     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

数量积在解析几何中的应用举例

平面向量的数量积在处理长度、角度、垂直等问题时有独到之处。本文举例如下。例1 已知点(x,y)满足(x-3)2 (y 2)2=25,求6x-8y的最值。解构造向量利用a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|解题。设a=x-3,b=y 2,则a2 b2=25,6x-8y=6a-8b 34,     

直线·斜率·相切·最值

第35届美国中学数学竞赛试题第29题为:对满足(x-3)~2+(y-3)~2=6的所有实数对(x、y),求y/x的最大值。该题解法很多,本文给出一种简捷而又直观的方法,即用斜率来解。条件(x-3)~2+(y-3)~2=6表示圆心在(3,3),半径为6~(1/2)的圆(如右图),y/x是过原点与动点(x,y)的直线斜率,显然当直线与圆相切     

相切问题与圆锥曲线

问题:“已知一动圆与⊙C1:(x 3)2 y2=4和⊙C2:(x-3)2 y2=1都相外切,求此动圆圆心的轨迹方程.”     

在直线与二次曲线围成的可行域上求目标函数最值

在线性规划中,可行域都是直线围成的平面区域,我们能求出目标函数的最值,当可行域由直线与二次曲线围成时,如何求目标函数的最值呢?现在就让我们一起来学习探讨.例1已知x,y满足(x-2)2 y2-1≤0,x-3y≤0,求x y3的最大值和最小值.分析x y3可看作动点M(x,y)与定点B(-3,0)所在直线的     

运用导数巧解题

导数是解决有关数学问题的有力工具,它的综合应用的多方面的,如求曲线上某点切线斜率、倾角、切线方程、判断单调性、求单调区间、函数的极值最值、运动物体速度、加速度等.而且导数与函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等重要内容有密切的联系.一、求值例 1　若 |x|<12,求3arccosx-arccos(3x-4x3 )的值.分析:设原式为y,取x=0,得y=π,由此猜想原式的值为π,要证y=π只证yx=0即可解:设y为原式,取x= 0,得y=π,猜想y=π,欲证yx=0.证法一:y′=-31-x2+3-12x21-(3x-4x3 )2=31-4x2(1-x)(1+2x)2·(1+x)(1-2x)2　-11-x2=31-4x2(…     

2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题解法探究

<正>2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题是以抛物线和圆为载体的最值问题,这类问题要求高、难度大,考生答题时容易出现耗时长、计算错误等困难,笔者通过切线的不同求法、三角形面积公式的选择和构造不同函数求最值的角度探究解法,特写此文与读者共鸣.试题呈现(2021全国乙卷理科21)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)2+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.     

新老教材习题一例浅探

在新旧教材中都有这样一道题目 :问题 1　求经过两圆 x2 y2 6 x - 4=0和 x2 - y2 6 y - 2 8=0的交点 ,并且圆心在直线 x - y - 4=0上的圆的方程 (老教材《平面解析几何》全一册 (必修 ) P70 ;新教材《数学》第二册 (上 ) (试验修订本 .必修 ) P82 ) .此题一般有两种解法 .简解 1　将两圆的方程联立解得x =- 1 ,y =3. 　或　 x =- 6 ,y =- 2 .知两圆的交点为 A( - 1 ,3) ,B( - 6 ,- 2 ) .而圆心在线段 AB的垂直平分线 x y 3=0上 ,由 x y 3=0 ,x - y - 4=0 .　 解得圆心坐标为C( 12 ,- 72 ) ,又圆的半径为 r =| AC| =12 1 7…     

对两道“希望杯”题的思考

1.二十二届希望杯高一第1试第十七题:已知点M(-2,-1)和N(1,-5),又点P在圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和     

趣味数学几例

1.今年元旦是星期日,试问今年元旦后的第1984~(1984)天是星期几。解:∵1984~(1984)=(283×7+3)~(1984) =7m+3~(1984),m∈N。而 3~6≡1(mod7),3~(1984)=3~4×3~(6×330) 3~4≡4(mod7),∴1984~(1984)≡4 (mod7)。答:今年元旦后的第1984~(1984)天是丛期四。 2.若f(x+1)=|x-1|,求f(1984)。解:令 x+1=1984,则x-1=1982, ∴ f(1984)=1982。 3.已知 f(x)=3x+1,g(x)=2x-1,h(g〔f(x)〕)=f(x)。求h(1984)。解:∵ f(y)=3y+1, ∴ g〔f(y)〕=2(3y+1)-1=6y+1, 故h(6y+1)=3y+1。令6y+1=1984,     

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...     

圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

圆是我们最熟悉的平面几何图形之一,它与椭圆、双曲线、抛物线同属于解析几何,它们之间必然存在着千丝万缕的联系.圆锥曲线的定义是高考重要考查形式之一,本文以2013年全国新课标卷中圆锥曲线问题为例,站在圆的视角下对圆锥曲线的定义进行再次解读,请同行指导.题目(2013年新课标1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)略.     

初二代数第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .当x时 ,分式 13x -2 的值为正 ,当x时 ,分式 x2 -9x-3 的值为零 .2 .a2 x2 -2a2 xy a2 y2 分解因式的结果是.3 .x2 mx 1 6是一个完全平方式 ,则m的值是.4.当m =时 ,方程2mx 1m -x =2的根为 12 .5 .化简 a b-1a -b 2b -1b-a=.6.当a ,b满足条件时 ,方程 (a -b)x =a2 -b2 的解是x =a b.7.已知 x3 =y4=z5 ,则2x y-3zx y z =.8.已知 xx -1 xx 1 =Ax2 Bxx2 -1 ,则A =,B =.9.如果ab≠ 0 ,a2 ab -2b2 =0 ,那么2a -b2a b的值为 .1 0 .解方程 2xx -1 -1 =ax -1 时 ,能使方程产生增根的a的值是 .二、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .把多项式 4x -x2 -4分解因式 ,结果正确的是(　 ) .A . -x( 4 -x) -4　　　　B .4x -(x 2 ) (x-2 )C . -(x-2 ) ...