巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理 :“若实数ｘ1 、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,则有ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ” .其逆定理是 :“若实数ｘ1 、ｘ2 满足ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ,则ｘ1 、ｘ2是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ +ｂ2 =1,且ｔ =ａｂ -ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是.(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 )解　由ａ2 +…     

浅谈求无理型函数值域的方法与技巧

利用导数与微分固然可以解决一切无理型函数的值域 ,但并不一定简单明快 ,相反有时采取一些初等方法与技巧 ,却可以收到意想不到的效果 .本文试图从初等数学的角度 ,探求竞赛中常见的求无理型函数值域的方法与技巧 .[技巧一 ]———两边平方或配方例 1　设ａ、ｂ是不等正数 ,求ｙ =ａｃｏｓ2 ｘ +ｂｓｉｎ2 ｘ +ａｓｉｎ2 ｘ +ｂｃｏｓ2 ｘ的最值 .解　显然ｙ>0 ,ｙ2 =ａ +ｂ +2 (ａ -ｂ) 24ｓｉｎ2 2ｘ +ａｂ .∵　 0≤ｓｉｎ2 2ｘ≤ 1 ,∴　ａ +ｂ≤ｙ≤ 2 (ａ +ｂ) .∴　ｙｍｉｎ=ａ +ｂ ,　ｙｍａｘ=2 (ａ +ｂ) .[技巧二 ]———构造对…     

上期课外练习参考解答

初一年级1 .两边连续乘以 2 ,得　12 ｘ + 2 =4,∴　ｘ =4.2 .∵　ＡＢ·ＡＡＡＡ =ＡＢ·ＡＡ·1 0 1 ,ＡＢＡＢ·ＡＡ =ＡＢ·1 0 1·ＡＡ ,∴　等式成立 .3.分类比较三个有理数的两种表达形式 ,得出ａ =-1 ,ｂ =1 .故所求式的值为 0 .初二年级1 .由已知得　 5 =ｘ -1 .∴　原式 =ｘ3 -( 2 +ｘ -1 )ｘ2 + ( 1 + 2ｘ-2 )ｘ -ｘ + 1 + 2 0 0 3=ｘ2 -2ｘ + 2 0 0 4=(ｘ -1 ) 2+ 2 0 0 3=2 0 0 8.2 .原式 =ａ2 ｄ2 -2ａｂｃｄ +ｂ2 ｃ2 +ａ2 ｃ2+ 2ａｂｃｄ +ｂ2 ｄ2=(ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )=1× 2 0 0 3=2 0 0 3.3.如图 ,记Ａｉ(ｉ =1 ,2 ,…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

巧换元解不等式

在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设ａ ,ｂ,ｃ为三角形的三边 ,求证 :ａｂ +ｃ-ａ+ ｂａ +ｃ-ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ≥ 3.解答如下 :证明　令ｂ +ｃ -ａ =ｘ ,ａ +ｃ -ｂ =ｙ ,ａ+ｂ -ｃ =ｚ .则ａ =ｙ +ｚ2 ,　ｂ =ｘ +ｚ2 ,　ｃ =ｘ + ｙ2 .∴　 ａｂ +ｃ -ａ+ ｂａ +ｃ -ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ　 =ｙ +ｚ2ｘ + ｘ +ｚ2ｙ + ｘ + ｙ2ｚ　 =12 (ｙｘ+ ｚｘ+ ｘｙ+ ｚｙ+ ｘｚ+ ｙｚ)　≥ 12 ·66ｙｘ·ｚｘ·ｘｙ·ｚｙ·ｘｚ·ｙｚ　 =3.(证毕 )总结　对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

浅析与一元二次方程有关的竞赛题

一元二次方程是初中数学的重要内容 .在近几年的各类初中数学竞赛中 ,涉及一元二次方程的试题频频出现 ,备受青睐 .常见的与一元二次方程有关的竞赛题有如下几种 ,供读者参考 .一代数式的条件求值1.求对称式的值例 1　如果ａ、ｂ是质数 ,且ａ2 -13ａ +ｍ =0 ,ｂ2 -13ｂ+ｍ =0 ,那么 ｂａ+ ａｂ的值为 (　　 ) .(Ａ) 12 32 2 (Ｂ) 12 52 2 或 2 (Ｃ) 12 52 2 (Ｄ) 12 32 2 或 2(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛 )解　当ａ =ｂ时 ,ｂａ+ ａｂ=1+ 1=2 ;当ａ≠ｂ时 ,ａ、ｂ是方程ｘ2 -13ｘ +ｍ =0的两根 ,所以ａ +ｂ =13 .又ａ、ｂ是质数 ,所以…     

例谈构造法解竞赛题

“构造法”是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 ,且有助于发展创造性思维品质和探索创新能力 .本文以各类竞赛题为例 ,对常用的构造法予以说明 .一构造方程例 1　若ａｂ≠ 1,且有 5ａ2 + 2 0 0 1ａ + 9=0及 9ｂ2 + 2 0 0 1ｂ + 5 =0 ,则 ａｂ的值是 (　　 ) .　 (Ａ) 95 (Ｂ) 59(Ｃ) -2 0 0 15 (Ｄ) -52 0 0 1(2 0 0 1年全国初中数学联赛题 )分析　抓住题设两等式的结构特征 ,对其中一等式稍加变形 ,即可利用方程根的定义构造一个一元二次方程 ,再由韦达定理迅速获解 .解　∵　…     

巧用一元二次方程的根与系数的关系解题

在初中代数里 ,一元二次方程的根与系数的关系 ,是一个很重要的知识 ,要求学生切实掌握 ,并能灵活应用 .下面三个例子 ,属于巧用类型 ,简化了计算 ,可能有助于开拓学生解题思路 .例 1　如果ａ、ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根 ,那么 (ａ2 +ｍａ+ 2 ) (ｂ2 +ｍｂ+ 2 )的值为 (　　 )(Ａ)　 6　　 (Ｂ)　 2　　 (Ｃ)　 4　　 (Ｄ)　 0解　由于ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根所以ａ2 + (ｍ- 1 )ａ + 2 =0 ,　　ｂ2 + (ｍ - 1 )ｂ+ 2 =0所以ａ2 +ｍａ+ 2 =ａ ,ｂ2 +ｍｂ+ 2 =ｂ又因为ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )…     

2003年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列单项式中 ,不是同类项的是 (　 ) .Ａ .5ｘ2 ｙ与 -4ｘ2 ｙ　　　Ｂ .15 ｘ3ｙ与 15 ｘｙ3Ｃ .8ａｂｃ2 与 8ｂａｃ2 Ｄ .5ｍ2 ｎ与 -3ｎｍ22 .下列属于因式分解的是 (　 ) .Ａ .2ｘ -2 ｙ +4 =2 (ｘ -ｙ) +4Ｂ .ａ2 ｂ +ａｂ2 =ａ2 ｂ2 ( 1ａ+1ｂ)Ｃ .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2Ｄ .ａ2 -12 ａ +11 6=(ａ -14) 23 .已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 的半径分别为 3ｃｍ和 5ｃｍ ,Ｏ1Ｏ2 =5ｃｍ ,这两圆的公切线最多有 (　 ) .Ａ .1条　　Ｂ .2条　　Ｃ .3条　　Ｄ .4条4.用一个平面去截一个正方体 ,得…     

一个条件不等式的应用与推广

定理 1　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且ａ ｂ =1 ,则ａｂ 1ａｂ≥ 414.(当且仅当ａ =ｂ =12 时 ,等号成立 )证　ａｂ 1ａｂ≥ 414 4ａ2 ｂ2 - 17ａｂ 4≥ 0 ( 4ａｂ - 1 ) (ａｂ - 4 )≥ 0 ;∵ａｂ =(ａｂ) 2 ≤ ( ａ ｂ2 ) 2 =14,∴ 4ａｂ≤ 1 ,而又知ａｂ≤14<4,故 ( 4ａｂ - 1 ) (ａｂ - 4 )≥ 0成立 ,即ａｂ 1ａｂ≥ 414获证 .1　巧用ａｂ 1ａｂ≥ 414解题　例 1　设ｘ ,ｙ∈Ｒ ,解方程组ｘ ｙ =1 ,( 2ｘ 3ｙ) ( 2 ｙ 3ｘ) =49.解　考察 49=4ｘｙ 9ｘｙ 1 2 =4(ｘｙ 1ｘｙ) 5·1ｘｙ 1 2≥ 4·414 5·4 1 2 =49,可见当ｘ …     

初二代数第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 36分 )1.916 的算术平方根是 ,2 7的立方根是 .2 .4的平方根是 ,立方根是 .3.化简下列各式 :94 9= ;27=;2ａａ+ｂ=.4 .已知ａ =2 ,ｂ =3,ｃ=5,则 ｂ2ａｂｃ的值是 .5.若 (ｘ - 5) 2(ｘ - 6 ) 2 =ｘ - 5ｘ - 6 ,则ｘ =.6 .计算 :( 1) 1010 0 0 =;( 2 ) 0 .0 1× 6 40 .36× 5=.( 3) 12÷ 2 7× 50 =.7.合并下列各式中的同类根式 :8+ 33+ 13- 52 =.ｘ4 + 2 1ａ - 4ｘ +ａ =.8.已知 5≈ 2 .2 36 ,3≈ 1.732 ,则 45- 3的值 (精确到 0 .0 1)是 .9.若ａｂ <0 ,则ａｂ2 =.10 .计算 ( 3+ 2 ) 2 0 0 3 ·( 3- 2 ) 2 0…     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

一元二次方程求根公式的推导

初三代数课本中介绍了一种一元二次方程求根公式的推导方法 ,笔者想在这里给同学们介绍另外几种方法 .一、印度方法此法起始于印度 ,通常认为是斯利德哈拉(Ｓｒｉｄｈａｒａ,印度人 ,生卒年不详 )在公元 1 0 2 5年之前作出的 .具体做法是 :解　对于方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,移项 ,得ａｘ2 +ｂｘ =-ｃ,两边同乘以 4ａ ,然后再加上ｂ2 ,得4ａ2 ｘ2 +4ａｂｘ +ｂ2 =ｂ2 -4ａｃ,左端化为完全平方式 ,得( 2ａｘ +ｂ) 2 =ｂ2 -4ａｃ,当ｂ2 -4ａｃ≥ 0时 ,开方得2ａｘ +ｂ=±ｂ2 -4ａｃ,所以得ｘ =-ｂ±ｂ2 -4ａｃ2ａ .印度方法十分简捷 ,…     

在代数式求值中数学思想运用举隅

数学思想是数学的精髓 .运用数学思想求代数式的值是初中数学比较常见的问题 ,特别是在初中数学竞赛中应用比较多 .下面举例谈谈数学思想在代数式求值中的应用 .一、整体思想例 1　已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ +1ｂ =4 ,那么4ａ+3ａｂ +4ｂ- 3ａ+2ａｂ - 3ｂ=.(第九届全国希望杯数学邀请赛题 ) .分析 :原式视 1ａ+1ｂ为一个整体来处理 ,再用已知条件代入便求得所求代数式的值 .解 :∵ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,∴ａｂ≠ 0 .用ａｂ分别除原式的分子分母得 ,原式 =4ｂ+3+4ａ- 3ｂ+2 - 3ａ=4 ( 1ａ+1ｂ) +3- 3( 1ａ+1ｂ) +2.∵ 1ａ+1ｂ=4 ,∴原式 =4× 4…     

分解因式前的基本变形

初中数学教材中关于分解因式有四种基本方法:提公因式法、公式法、分组分解法及式子ｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ａｂ=(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)法.但是,有些多项式是无法直接使用这些方法进行分解的,必须经过适当的变形后才能分解因式.为使读者正确、熟练地掌握分解因式,现介绍几种基本变形.一.符号变形例1　分解因式ｍ(ａ-ｂ)-ｎ(ｂ-ａ).分析:由于ａ-ｂ和ｂ-ａ互为相反数,因此需把ａ-ｂ变形为-(ｂ-ａ)或把ｂ-ａ变形为-(ａ-ｂ).解:原式=ｍ(ａ-ｂ)+ｎ(ａ-ｂ)=(ａ-ｂ)(ｍ+ｎ).二.组合变形例2　分解因式3ａ2+ｂｃ-3ａｃ-ａｂ.分析:选择系数成比例的项进行调项变换组合…     

一个不等式的加强及证法

《中学生数学》2 0 0 2年 5月上期课外练习中 ,杨大为先生提出如下不等式 :设正实数ａ、ｂ满足ａ +ｂ =1,求证 :1+ａ2 + 1+ｂ2 >2 2 -1.若将此不等式下界加强且给出上界 ,则更能体现其严密性及简洁性 .其结果为 :5≤1+ａ2 + 1+ｂ2 <1+ 2 ,以下给出两种证法 .证法 1　 (放缩法 )∵　ａ、ｂ∈Ｒ+ ,　ａ +ｂ =1,∴　 0 <ａｂ≤14 .∴　ａ2 +ｂ2 =1-2ａｂ≥ 12 .∵　 (1+ａ2 + 1+ｂ2 ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ａ2 +ｂ2 +ａ2 ｂ2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 2 -2ａｂ + (ａｂ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ (1-ａｂ) 2　≥ 2 + 12 + 2 1+ (1-14 ) 2　 =52 +…     

善做事后诸葛亮

在解 (证 )数学题的过程中 ,题目的条件有时难以“一眼望穿” .随着解题的深入和解题后的回顾反思 ,再对条件进行重新组配、挖掘 ,有利于我们选择最佳的逻辑通道、优化解法、现举例加以说明 .例 1　若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数 ,且 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ -ａ,求ｘ +ｙ +ｚ的值 .分析　由于 (ａ -ｂ) +(ｂ -ｃ) +(ｃ -ａ)≥ 0 ,故不能对条件用等比定理 ,可设 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ-ａ=ｋ.则得ｘ=ｋ(ａ-ｂ) ,ｙ=ｋ(ｂ -ｃ) ,ｚ=ｋ(ｃ-ａ) .故ｘ +ｙ +ｚ=ｋ(ａ -ｂ) +ｋ(ｂ -ｃ) +ｋ(ｃ -ａ) =0 .反思　由ｘ+ｙ+ｚ=0这一结论信息知ｘ +ｙ =…