The problem of interaction between a misfitting inclusion and a crack in an infinite elastic medium

The problem of interaction between a curvilinear crack (or a system of such cracks) and a misfitting inclusion of arbitrary shape (or a system of such inclusions) inside an infinite isotropic elastic medium of the same material as the inclusion was solved by using the complex potential technique and reducing the problem to a complex Cauchy type singular integral equation along the crack only (or the system of cracks).

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Résumé Le problème de l'influence mutuelle d'une fissure curviligne (ou d'un système de telles fissures) et une inclusion malajustée de forme arbitraire (ou un système de telles inclusions) dans un milieu infini élastique isotrope du même matériau que l'inclusion a été résolu en utilisant la technique des potentiels complexes et en réduisant ainsi le probléme à une équation intégrale singulière complexe du type Cauchy seulement le long de la fissure (ou du système des fissures).

     

Effect of friction on the interface crack loaded in shear

The conventional formulation used in the past for problems involving interface cracks leads to a physical contradiction: The two sides of the crack are assumed to be free of tractions in the formulation, but the crack faces are seen to overlap after the solution is constructed. This unsatisfactory feature can be eliminated by introducing contact zones at the tips of an interface crack. The present article investigates the effect of friction in the contact zones for loads that start from zero and are increased monotonically. As an application, shear loading is considered, and the problem is reduced to a singular integral equation with a Cauchy-type kernel which is solved numerically. The results show that one of the contact zones is large and that friction affects the global nature of the stress fields. The results worked out include also the stress intensity factors, crack opening displacement, and the pressure distribution in the larger contact zone.

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Résumé La formulation habituelle utilisée dans le passé pour des problèmes de fissures interfaciales conduit à une contradiction physique: Les deux lèvres de la fissure doivent être libres de contraintes, mais la solution peut impliquer une interpénétration des bords. Il est possible d'éliminer cette contradiction physique en introduisant des zones de contact aux pointes de la fissure. Le présent article étudie l'effet du frottement dans les zones de contact pour des charges croissantes à partir de zero. Comme application, on considère une charge de cisaillement et le problème se réduit à une équation intégrale singulière avec un noyau de type Cauchy. Cette équation est résolue numériquement. Les résultats montrent que l'une des zones de contact est grande et que le frottement modifie l'ensemble du champ de contraintes. On a aussi obtenu les facteurs d'intensité de contraintes, l'ouverture de la fissure et la distribution du pression dans la plus grande zone de contact.

     

Loss of contact between an elastic layer and half-space

The plane problem of smooth contact between an elastic layer and a half-space is analyzed. The layer is pressed against the half-space by a uniform load applied over its entire surface except for one region of finite length. The solution is given as the sum of solutions to two plane problems, one of which is known a priori. The analysis of the other problem leads to an inhomogeneous Fredholm integral equation for an auxiliary function that is related to the contact pressure. The boundedness of the contact stress at the end of the contact is used to determine the region of separation. The integral equation is solved numerically and the relevant physical quantities are computed and presented in the form of curves.

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Résumé On analyse le problème du contact glissant entre une couche élastique et un demi-espace. La couche est pressée sur le demi-espace par une charge uniforme appliquée à sa surface entière, à l'exception d'une région de longueur finie. La solution est donnée comme une somme des solutions de deux problèmes plans, dont l'une est connue à priori. L'analyse de l'autre est amené à une équation intégrale non-homogène de Fredholm pour une fonction auxiliaire qui dépend de la pression de contact. Le fait que la pression du contact ne peu pas être infinie aux extrémités du contact est utilisé pour déterminer la région de séparation. L'équation intégrale est résolue de façon numérique et les quantités physiques importantes sont calculées et présentées en forme des courbes.

     

On Saint-Venant's principle in plane anisotropic elasticity

Methods involving energy-decay inequalities are applied in investigating Saint-Venant's principle for the planproblem of linear elastostatics for a wide class of anisotropic media. A lower bound (in terms of the elastic constants) is obtained for the rate of exponential decay of stresses and this is compared with the known result for the isotropic case.

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Résumé Par une méthode applicable à un très grand nombre de milieu anisotropique, l'auteur utilise les inégalités concernant la décroissance de l'énergie dans le cas d'un problème plan et dans l'hypothèse de conditions élastostatiques linéaires, l'auteur précise la validité du principe de Saint-Venant dans le cadre de ses applications. Une limite inférieure (en fonction des constantes élastiques) de la décroissance exponentielle des contraintes est mise en évidence et comparée aux résultats obtenus en milieux isotropes.

     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

Note sur les vitesses critiques d'un arbre muni de disques

Conclusions Les démonstrations que nous avons été amené à développer au sujet du problème particulier des vitesses critiques, s'adaptent sans plus à une large classe de problèmes aux valeurs propres [6]. C'est plutôt comme illustration d'une théorie générale à un cas simple, qu'il faut considérer les développements précédents; ce n'est que le n 14 qui est particulier au problème traité.Au point de vue physique, l'introduction de disques, comme d'ailleurs de façon générale l'introduction de masses concentrées dans un système continu quelconque, ne modifie pas l'aspect qualitatif; aussi il n'est pas étonnant que nous retrouvions les propriétés des vitesses critiques d'arbres continus [1], [2].Au point de vue mathématique par contre, une nette séparation est généralement faite entre les systèmes continus et les systèmes discrets; les premiers sont souvent considérés comme un cas limite des seconds. Du point de vue de l'esthétique des démonstrations, il est cependant satisfaisant de traiter simultanément les deux cas.A cette fin une première méthode consiste à traiter l'équation différentielle à laquelle sont jointes les conditions aux limites, et les conditions de discontinuité de certaines dérivées aux endroits de masses concentrées. C'est particulièrement dans cette voie qu'on constate que les démonstrations ne sont pas une simple généralisation du cas continu [6]. Une autre méthode consiste à traiter les problèmes aux valeurs propres sous forme d'équation intégrale [3]. Une large classe de problèmes peut ainsi être traitée, en introduisant un noyau réel symétrique, grâce à des changements de variables et de fonctions analogues à ceux du n 4.La théorie des équations intégrales à noyaux symétriques est immédiatement applicable. La théorie est également développée pour le cas de noyaux complexes hermitiques: K(s, t)=K(t, s). Le problème que nous avons traité est un peu différent puisque nous avons introduit un noyau complexe symétrique. Il est remarquable que les résultats sont également valables dans ce cas.La méthode des itérations et la détermination de bornes supérieures et inférieures peuvent être aisément transposées. Pour ces questions, nous renvoyons le lecteur à [6].     

Variation de la vitesse de propagation d'ondes ultrasoniques au cours du passage de l'état liquide à l'état solide

Résumé Une étude théorique de la vitesse de propagation des ondes ultrasoniques dans les liquides et solides rend plausible l'hypothèse que l'évolution de l'état liquide à l'état solide doit être accompagnée d'une variation de la vitesse de propagation des ondes ultrasoniques.Il résulte des essais d'orientation relatés dans ce mémoire que la variation de la vitesse de propagation des ondes ultrasoniques est susceptible de caractériser la vitesse de passage de l'état liquide à l'état solide d'une matière ou d'un matériau.La méthode est applicable dans un domaine étendu et est sensible même assez loin du point de solidification. Elle se prête à l'étude du processus de l'évolution de la solidification des suspensions, des solutions, des matériaux organiques à longue chaîne, etc.

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Zusammenfassung Die theoretische Überlegung über die Geschwindigkeit der Ausbreitung von Ultraschallwellen in Flüssigkeiten und festen Körpern kann die Hypothese angenommen werden, daß die Umwandlung vom flüssigen in den festen Zustand von einer Geschwindigkeitsänderung der Ultraschallwellen begleitet wird.Aus den in diesem Bericht gebrachten Einführungsversuchen ergibt sich, daß die Variation der Ausbreitung von Ultraschallwellen dazu geeignet ist, die Umwandlungsgeschwindigkeit der Materialien von flüssigem in festen Zustand zu bewerten.Die Methode ist in einem weitem Bereiche brauchbar und ist auch weit vom Erstarrungspunkt empfindlich. Sie kann angewendet werden, um den Erstarrungsprozeß von Suspensionen, Lösungen und organischen Stoffen zu untersuchen.

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Ingénieur des constructions civiles. Docteur spécial en connaissance des matériaux. Agrégé près la Faculté des Sciences Appliquées de l'Université de Liège (Belgique).     

Comportement rheologique de sols d'acide polysilicique. II. Etude de la gélification

Résumé L'analyse du comportement rhéologique de sols d'acide polysilicique en solution aqueuse de concentration supérieure à 7 g 1^–1 de silice en fonction du pH entre 6 et 11 et de la température entre 25 et 45 °C a permis de situer la gélification dans un domaine de pH compris entre 8 et 10. Ce processus prend une intensité maximale à 30°C. Le comportement rhéofluidifiant à bas gradients de cisaillement et antithixotrope donne naissance sur les rhéogrammes à un point d'inversion à pH = 9. L'ionisation des groupes silanols à la surface des particules colloïdales permet la réorganisation du milieu après cisaillement. Un état d'ionisation trop élevé est responsable d'un effet electro-répulsif à pH = 10. L'influence de la concentration et de la température sur ces processus est discutée.

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The rheological behavior of polysilicic acid in aqueous solutions at higher concentrations than 7 g 1^–1 of silice is studied for pH between 6 and 11 with temperature varying from 25° to 45°C. This study indicates that gelification takes place between pH 8 and 10. The process of gel formation attains the highest intensity at 30°C. The shear-thinning behavior at low shear rate gives rise to an inversion point at pH = 9 in shear stress—shear rate curves. The state of ionization at the surface of colloïdal silice particles after shear involve shear thickening observed at pH = 9. A high ionization degree causes an electrostatic repulsion at pH = 10. The concentration and temperature effects upon the organization of network are discussed.

     

Waves and stability

The connection between stability of equilibrium and propagation of small disturbances through a general elastic medium has been stated, since 1903, by J. Hadamard. However a doubtful element in the original proof of the theorem was pointed out by P. Duhem. A more elaborated proof, which seems to be satisfactory even in a more general hypothesis, has been later proposed by the author of this report. That proof is reconsidered in this article which deals, in a general context, with the relations between wave propagation and linear stability. A new elegant proof of Hadamard's theorem, recently proposed by G. Fichera, is briefly reported at the end of the article.

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Résumé Les liens entre la stabilité de l'équilibre et la propagation des ondes dans un milieu élastique ont été codifiés dès 1903, par J. Hadamard. La démonstration originaire du théorème présente toutefois un point douteux, mis en évidence par P. Duhem. Une démonstration plus élaborée, qui parait mathématiquement corrècte même en des conditions physiques plus générales, a été proposée plus tard par l'auteur de cet exposé. Cette démonstration est reprise dans l'article suivant, qui envisage dans un contexte général les relations entre la propagation des ondes et la stabilité linéaire. Une nouvelle et élégante démonstration du théorème de Hadamard, proposée récemment par G. Fichera, est résumée à la fin de l'article.

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Lecture delivered at the Italy-USA Seminar on Existence and Stability in Elasticity, Udine, June 26–30, 1971.     

Precision refractometer with simple measuring prism

Summary The construction of the refractometer described in a previous article has been simplified. The measuring prism consists of one piece of glass on the top surface of which the solid or liquid sample is put and of which one of the lateral surfaces receives light from the same light source as the sample by means of an auxiliary reflector. The opposite side of the prism is not limited by one plane surface, but by two planes inclined to each another, thus splitting up the pencil into two. These pencils are then split into four pencils each by means of a fourfold mirror as in the original apparatus; the pencil given by the sample also is split into four pencils by the same mirror. The range of temperatures at which observations can be made is greatly enlarged. The precision is again about 0.000 01, the range 1.31 to 1.67.

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Sommaire La construction du réfractomètre déjà décrit a été simplifié. Le prisme étalon ne consiste que d'une pièce, portant à sa surface supérieure l'échantillon solide ou liquide et dont une des surfaces latérales est illuminée par la même source, qui illumine l'échantillon, ce qui est effectué par un réflecteur auxiliaire. La coté latérale opposée du prisma n'est pas limitée par une surface, mais par deux surfaces planes, faisant un angle entre eux, de sorte que le faisceau émergent est dédoublé. Chacun de ces deux demi-faisceaux est divisé en quatre faisceaux par un miroir quadruple, comme dans l'appareil original. Le faisceau produit par l'échantillon aussi est divisé en quatre faisceaux par le même miroir. A cause de la simplicité du prisme les observations peuvent être faites dans une domaine de températures beaucoup plus grande. La précision est encore 0.000 01 environ, la région des indices de 1.31 à 1.67.

     

A solution for the narrow rectangular punch

This paper considers the problem of a rectangular flat ended punch acting on an elastic half-space. An approximate solution is generated through application of the elastic line integral equations. The results produced by this method are then compared with another approximate solution already available.

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Zusammenfassung Dieser Aufsatz behandelt das Problem eines starren, flachen Stempels mit rechteckigen Grundriss, der in einen elastischen Halbraum gepresst wird. Eine Näherungslösung wird erzeugt mittels der Integralgleichung des elastischen Linienkontakts. Die auf dieser Weise gewonnene Ergebnisse werden mit einer schon bekannten Näherungslösung verglichen.

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Résumé Dans ce rapport, on considère le problème d'un cachet rigide à base plane rectangulaire qui est poussée dans une semi-espace élastique. Une solution approximative est générée par application de l'équation integrale du contact élastique de ligne. Les résultats produits par cette méthode sont comparés à une solution approximative déjà connue.

     

On the solution of the sector problem

A rigorous study of the sector problem is presented by using the Mellin transform technique. The stress function is obtained as an asymptotic expansion of the complex inversion integral. The number of terms of this expansion, as well as the differentiability of the stress function, depend on the differential properties of boundary conditions on the radial edges. If these boundary conditions belong toC , this asymptotic expansion is transformed to a uniformly convergent infinite series. The coefficients of the series, which depend only on the boundary conditions along the circumferential edges, are calculated by applying a bi-orthogonality condition, or, by a technique based on the Betti formula.

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Résumé En utilisant la technique de la transformation de Mellin on présente une étude rigoureuse du problème d'un secteur. La fonction des contraintes est obtenue par un développement asymptotique de l'intégral complexe d'inversion. Le nombre de termes de ce développement, ainsi que la differentiabilité de la fonction des contraintes, dépendent de proprietés différentielles des conditions aux limites sur les bords radiaux. Si ces conditions aux limites sont dansC , ce développement asymptotique est transformé en série infinie uniformement convergente. Les coefficients de cette série, qui dépendent uniquement de conditions aux limites sur le bord circulaire, sont calculés à l'aide d'une condition de bi-orthogonalité que nous démontrons, ou, à l'aide d'une technique basée sur la formule de Betti.

     

Existence theorems for nonlinear elastic plates with periodic boundary conditions

The implicit function theorem is applied to the general three-dimensional equations for the equilibrium of a rectangular nonlinearly elastic plate subjected to suitable applied forces. The plate is assumed to have periodic boundary conditions or else to be with sliding edges. Regularity results in Sobolev spaces are used to define the equations in a suitable Banach space. Then, it is shown that the problem has a solution if the applied forces are small enough in a certain Sobolev norm.

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Résumé On applique le théorème des fonctions implicites au problème non linéaire de l'équilibre d'une plaque rectangulaire élastique soumise à des forces convenables. Cette plaque est supposée à bords glissants ou bien soumise à des conditions aux limites de type périodique. On utilise des résultats de régularité dans les espaces de Sobolev pour poser les équations dans un cadre fonctionnel adéquat. On montre alors que ce problème admet une solution si les forces appliquées sont assez petites dans une certaine norme de Sobolev.

     

Etude viscosimétrique des effets structuraux du cation calcium sur des solutions contenant l'anion alginate

Résumé Le comportement en viscosité sous différentes vitesses de cisaillement, à différentes températures, de solutions d'alginate de sodium à des concentrations variant entre 0,05% et 1%, auxquelles on a ajouté du chlorure de calcium en quantité variable, est qualitativement toujours le même; pour des quantités croissantes de chlorure de calcium, à concentration fixe en alginate de sodium, à une phase de dépression de la viscosité succède une phase de croissance très rapide, suivie à nouveau d'une phase de décroissance. Dans la première phase les variations de la viscositè avec la vitesse de cisaillement sont représentables par un modèle répondant à la Théorie d'Eyring; dans les phases suivantes l'écoulement est représenté par une loi du type =a^b avec b<0. Cette différence dans le mode d'écoulement tiendrait à l'apparition, à partir d'une concentration en chlorure de calcium suffisante, d'une structure tridimensionelle plus ou moins stable suivant la concentration en ions calcium.Discours prononcé lors du congrès annuel des rhéologues allemands à Berlin le 9 juin, 1966.     

Some consequences of the inequality conditions in contact and crack problems

The importance of the inequalities and related side conditions that must be incorporated in contact and crack problems is emphasized and the ensuing consequences explored. An asymptotic analysis of the transitions from slip to separation, stick to slip, and stick to separation is carried out. The inequalities in contact problems make the contact pressure continuous for all levels of friction. They also make a direct transition from stick to separation impossible, unless the combination of materials is special. The inequalities in crack problems are less stringent, but they preclude certain singularities that appear to have flourished in the literature previously.

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Résumé On appuie sur l'importance d'inéquations et d'autres conditions auxiliaires qui doivent être comprises dans les problèmes de contact et de fissure, et on en explore les conséquences. On emploie une analyse asympotique sur les transitions entre les zones glissement-décollement, adhérence-glussement et adhérence-décollement. Il s'ensuit que la contrainte normale du contact doit être continue pour toutes les valeurs du frottement. De plus, la transition directe adhérence-décollement est impossible, à moin que la combinaison des matériaux ne soit exceptionelle. Les inéquations dans les problèmes de fissure sont moins fortes, mais elles sont cependant suffisantes pour empêcher l'existence de certaines singularités qui apparaissent souvent dans les études précedentes.

     

Some remarks on Saint-Venant's principle for transversely isotropic composites

Recent work of the author on Saint-Venant's principle for plane deformation of an anisotropic elastic solid is used to investigate the behavior of a transversely isotropic medium, in the limit of small extensibility and compressibility. Such a model has been proposed in analysis of fiber-reinforced composites. Disagreement with Saint-Venant's principle is anticipated, confirming recent observations made by other authors in similar contexts.

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Résumé On utilise le travail récemment fait par l'auteur sur le principe de Saint-Venant dans le cas du problème plan d'un milieu élastique anisotropique, pour considerer le cas spécial d'un matériel à isotropie transversale, dans la limite de petites extensibilité et compressibilité. Un tel modèle a été proposé dans l'analyse des composites à fibers de renforcement. On s'attend à des prédictions en désaccord avec le principe de Saint-Venant, ce qui confirmerait ce que d'autres auteurs ont remarqué dans des contexts semblables.

     

A uniqueness theorem in the theory of Cosserat surface

Within the scope of the non-isothermal theory of an elastic Cosserat surface and for a system of linear equations characterizing the initial mixed boundary-value problems of thermoelastic shells, a uniqueness theorem is obtained without the use of definiteness assumption for the free energy. The theorem holds for nonhomogeneous and anisotropic shells undergoing small motions (and small temperature change) superposed on a large deformation.

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Résumé Dans le cadre de la théorie d'une surface élastique de Cosserat et pour un système d'équations linéaires décrivant les problèmes à conditions initiales et à conditions aux frontières mixtes de coques thermoélastiques, on obtient un théorème d'unicité sans faire appel à une hypothèse de définition pour l'énergie libre. Le théorème est valable pour des coques non-homogènes et anisotropes soumises à de petits mouvements (et petits changements de température) superposés à une grande déformation.

     

Equations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens et mécanique des fluides

Résume Le but de cet article est l'étude des équations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens, mais seulement logarithmiquement lipschitziens. Ces champs possèdent un flot dont la régularité hölderienne est exponentiellement décroissante. On exhibe une solution de l'équation d'Euler bidimensionnelle présentant effectivement ce phénomène.     

On the uniqueness of solutions to the displacement problem in linear elastodynamics

In recent separate investigations, Kirchhoff's classical uniqueness theorem of elastodynamics has been extended in two ways. Gurtin and Toupin generalized the theorem to encompass bodies possessing an elasticity tensor that obeys the semi-strong ellipticity condition, whereas the author has extended the theorem to unbounded regions. These two results are brought together in the present paper.

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Resume Dans deux études récentes, le champ d'application du théoréme classique de Kirchhoff sur l'unicité de l'élastodynamique a été élargi de deux manières différentes. Gurtin et Toupin l'ont généralisé pour inclure les corps possédant un tenseur d'élasticité obéissant à la condition d'ellipticité demi-forte, alors que le présent auteur l'a étendu aux régions non finies. Ces deux résultats ont été combinés dans la présente communication.

     

The torsional oscillations of a rigid spherical inclusion embedded in an elastic stratum

In this paper we investigate the axisymmetric harmonic torsional vibrations of a rigid spherical inclusion, embedded centrally in an elastic stratum of finite thickness. For an infinite solid the problem has a simple closed form solution. Here the stratum problem is formulated as a Fredholm integral equation of the first kind, and a perturbation method employed to solve this equation approximately for large values of the ratio of sphere radius to stratum depth. Approximations are given for quantities of physical interest such as the stress distribution at the inclusion-elastic medium interface, and the stress couple on the sphere.

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Résumé Dans cette étude on recherche les vibrations axisymmétriques harmoniques et torsionales d'une inclusion sphérique et raide, située centralement dans une couche d'une épaisseur bornée. Pour un solide infini le problème a une solution élémentaire.On formule le problème de couche comme une équation intégrale de Fredholm de la première sorte. On se sert d'une méthode de perturbation pour résoudre cette équation d'une façon approximative pour les grandes valeurs de la proportion du rayon de la sphère contre la profondeur de la couche. Les approximations sont calculées pour la distribution d'effort employée sur l'inclusion et pour la couple de torsion employée sur la sphère.