Uniqueness in boundary/initial value problems for a thermoviscoelastic solid of integral type

A general boundary/initial value problem for a linear thermoviscoelastic solid of integral typs is posed, and a uniqueness theorem is proved which holds for both bounded and unbounded domains. In the latter case we do not impose conditions on the behaviour of the unknown fields at infinity. Mild definiteness hypotheses on the initial values of the relaxation functions are assumed throughout.

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Sommario Dopo aver formulato un problema ai limiti generale per solidi lineari termoviscoelastici di tipo integrale, si stabilisce un teorema di unicità della soluzione valido per domini limitati e per domini illimitati. In questo secondo caso non viene imposta alcuna condizione sul comportamento all'infinito delle variabili di campo; si suppongono verificate solamente certe deboli condizioni di segno sui valori iniziali di alcune funzioni di rilassamento.

     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Some extremum theorems for the elastoplastic boundary value problem in the presence of large displacements

Summary The incremental boundary value problem for elastoplastic work-hardening continua, is discussed in the presence of large displacements but small strains, and allowing for distributed dislocations.Associated flow laws are assumed, as is the occurrence of interaction between yielding modes in singular points of the yield surface.Four extremum theorems are proved which reduce the problem to the optimization, under linear constraints, of convex quadratic forms (of a non linear form for the third theorem).Finally some results are specialized to small displacements and perfectly plastic (non hardening) cases.

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Sommario Si discute della soluzione incrementale del problema elastoplastico con incrudimento nel campo dei grandi spostamenti (ma con piccole deformazioni intrinseche), ed in presenza di distorsioni distribuite.Si assumono leggi costitutive del tipo associato, ammettendo la possibilità di interazione tra i modi plastici in corrispondenza dei punti singolari della superficie di snervamento.Si dimostrano quattro proprietà di minimo della soluzione; esse riconducono il problema alla ottimizzazione di funzionali convessi (quadratici tranne che nel caso del terzo teorema) vincolata da equazioni e diseguaglianze lineari.Si specializzano infine alcuni risultati al caso dei piccoli spostamenti e della elastoplasticità senza incrudimento.

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This study forms part of a research programme supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R., Gruppo Plasticità).     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

Stefan — like problems with space — dependent latent heat

Summary A wide class of one-dimensional heat conduction problems with phase change is considered on the assumption that the latent heat is a given function of the position of the separation plane between the two phases: L=[s(t)].Some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution in a given time-interval are given. This work permits the generalization of some previous results and the investigation of some cases of particular interest.

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Sommario Si studia una vasta classe di problemi di conduzione unidimensionale del calore in presenza di cambiamento di fase, nel caso in cui il calore latente sia funzione della posizione del fronte di separazione tra le due fasi: L=[s(t)].Si trovano delle condizioni sufficienti per l'esistenza e la unicità della soluzione del problema in un certo intervallo di tempo; si mostra infine che la trattazione permette di generalizzare risultati già noti e di estendere lo studio a casi di particolare interesse.

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Work performed within the Research Group (Grant. no. 115.2210) of the C.N.R.     

Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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The dynamical problem of an elastic plate resting on a two-parameter foundation which does not react in tension

Summary This paper analyzes the dynamic problem of an elastic plate which is unilaterally constrained by a two-parameter foundation of Pasternak of Hetényi type. It is assumed that no friction exists at the area of contact. A regularizing technique has been used both in formulating the problem and in the subsequent discussion. Some results of existence and uniqueness of the solution are given. In the application example described, a finite element approach is used to numerically analyze an axisymmetric circular plate. From the numerical results obtained, it can be observed how the solution is influenced by the principal parameters involved.

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Sommario Il lavoro esamina il problema dinamico di una piastra elastica vincolata unilatepalmente su una fondazione a due parametri del tipo Hetényi o Pasternak. Il contatto è supposto privo di attrito. Il problema viene formulato e discusso mediante una tecnica di regolarizzazione: se ne forniscono alcuni risultati relativí all'esistenza ed unicità della soluzione. In particolare si analizza dal punto di vista numerico mediante discretizzazione agli elementi finiti il caso di una piastra circolare assialsimmetrica. I risultati numerici mostrano l'influenza sulla soluzione dei principali parametri da cui essa dipende.

     

Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

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Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

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This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

On the uniqueness of viscous compressible fluid motions in unbounded domain

Summary Employing the weight function approach it is showed a uniqueness theorem for the euqations governing the motion of a viscous compressible fluid, in unbounded domains. The theorem does not require that the density of the fluid be bounded from below by a positive constant. Moreover, no boundedness assumption is made on the velocity, temperature, density and their first derivatives.

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Sommario Con l'uso del metodo della funzione peso si dimostra un teorema di unicità per le equazioni dei fluidi viscosi compressibili, in domini non limitati. Non si richiede che la densità del fluido sia inferiormente limitata da una costante positiva. Inoltre, la velocità, la temperatura e la densità con le loro derivate prime possono essere anche non limitate.

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Work performed under auspices of GNFM of italian CNR.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Finite-scale microstructures and metastability in one-dimensional elasticity

This paper addresses the non-uniqueness pointed out by Ericksen in his classical analysis of the equilibrium of a one-dimensional elastic bar with non-convex energy [1]. Following some previous work in this area, we suitably regularize the problem in order to investigate this degenerancy. Our approach gives an explicit framework for the the study of the rich variety offinite-scale equilibrium microstructures for the bar in a hard loading device, and their stability properties. In this way we clarify the role of interfacial energy in creating finitescale microstructures, by considering the combined effect of the oscillation-inducing and oscillation-inhibiting terms in the energy functional.

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Sommario Il lavoro riguarda la non unicità messa in luce da J.L. Ericksen nella sua analisi dell'equilibrio di barre elastiche con energia non convessa. Seguendo le linee di precedenti lavori, per investigare questa degenerazione si ricorre ad una regolarizzazione del problema e si dà un esplicito quadro di riferimento per lo studio della ricca varietà delle microstrutture di scala finita e della loro stabilità. Si chiarisce in particolare il ruolo dell'energia di interfaccia nella creazione di microstrutture di scala finita considerando l'effetto combinato di termini inibitori e favorevoli all'insorgere di oscillazioni nel funzionale energia.

     

On uniqueness for the displacement problem in the dynamical theory of elasticity

By means of a weighted form of Garding's inequality, we prove a uniqueness theorem for the initial boundary value problem of finite elastodynamics in unbounded domains.

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Sommario Mediante un'opportuna forma pesata della disuguaglianza di Garding, che ricaviamo preliminarmente, dimostriamo un teorema di unicità per il problema degli spostamenti in elastodinamica non lineare relativo a corpi occupanti regioni non limitate dello spazio.

     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

Minimum Theorems and Iterative Solutions Methods for Creep Cyclic Loading Problems

In recent years a particular programming method, the linear matching method, has been particularly successful in the evaluation of optimal upper bounds to shakedown limits for an elastic perfectly plastic body. The method applies to any convex yield condition with an associated flow rule and sufficient conditions for convergence exist. For creep constitutive equations and for a body under cyclic loading, there exist a class of cyclic solutions, the so called 'rapid cycle' solutions for which the residual stress field remains constant throughout the cycle. In this paper an upper bound theorem for the rapid cycle solution is derived and related to the upper bound shakedown theorem. This allows the linear matching method to be extended to this class of creep problems. A sufficient condition for convergence is derived. For a flow potential expressed in terms of a Von Mises effective stress, the sufficient condition is shown to be a simple and common property of creep equations. Sommario. Recentemente, un particolare metodo di programmazione, detto del materiale elastico equivalente, si è rivelato particolarmente efficiente nella valutazione della delimitazione superiore ottimale del limite di adattamento di solidi idealmente elasto-plastici. Il metodo vale con riferimento a qualunque condizione di plasticità convessa con legge di scorrimento associata e sono disponibili condizioni sufficienti di convergenza. Nel caso di legami costitutivi viscosi, per solidi soggetti a carichi ciclici esiste una classe di soluzioni, dette di 'ciclo rapido', in cui gli sforzi residui si mantengono costanti nel ciclo. In questo lavoro si deriva un teorema di delimitazione superiore per le soluzioni di ciclo rapido, che viene relazionato al corrispondente teorema di adattamento. Ciò permette di estendere il metodo del materiale elastico equivalente a questa categoria di problemi viscosi. Una condizione sufficiente per la convergenza del metodo viene anche dimostrata. Nel caso di un potenziale espresso in termini dello sforzo equivalente di von Mises, tale condizione si rivela essere una semplice e comune proprietà del legame costitutivo.     

An «ultimate» approach to cumulative seismic damage

Summary This paper presents an approach to investigate seismic reliability of structures acted on by more earthquakes.The opportunity to analyze the behaviour of structures under the decisive quake is stressed, and the possibility to derive safety statements by inspecting the way the structure collapses is proved with regard to a simple structural pattern.Numerical results show that the criterion yields results quite consistent with usual practice, though, usually, cumulation of damage is not explicitly accounted for in aseismic standards.

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Sommario Nel presente articolo si espone un possibile metodo per studiare la sicurezza di organismi strutturali esposti all'azione di più terremoti susseguenti.Viene sottolineata l'opportunità di analizzare il comportamento della struttura sotto il terremoto decisivo, e si dimostra con un esempio la possibilità di calcolarne l'affidabilità mediante l'indagine del modo di collasso.I risultati numerici mostrano che questo criterio fornisce, almeno nel semplice caso esaminato, conclusioni coerenti non la pratica tecnica, benché di solito le Norme antisismiche non tengano conto esplicitamente del fenomeno della accumulazione del danno.

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This research has been financially supported by the Italian National Research Council (C.N.R.).     

The problem of the rotating plate

Summary The problem of determining stresses and displacements in a homogeneous rectangular plate rotating at constant angular speed about the barycentric axis, perpendicular to the plane of the plate, is considered. It is shown that this problem, if one assumes that the material is linear elastic with Poisson's ratio v, exhibits the same mathematical difficulties as the well-known problem of the rectangular plate subjected to parabolically-distributed tensile stress at two opposite sides.At difference from other methods employed in the past, a kind of solution based on biharmonic polynomials is proposed. This solution satisfies one boundary-condition exactly. The remaining three are satisfied in the mean. An evaluation of the error is performed.

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Sommario Dal punto di vista della teoria dell'elasticità infinitesima si studia il problema della determinazione della tensione e della deformazione di una lamina rettangolare omogenea rotante con velocità angolare costante attorno all'asse baricentrico perpendicolare al piano della lamina stessa. Si dimostra che questo problema, se si vuole tenere conto del fattore di Poisson v, presenta le stesse difficoltà del ben noto problema della lamina rettangolare soggetta a forze con andamento parabolico su due lati opposti. In alternativa ai metodi già utilizzati in passato in casi come questo, si propone un tipo di soluzione basata su polinomi biarmonici che soddisfano esattamente solo una delle quattro condizioni al contorno. Le rimanenti tre sono soddisfatte in media. Si effettua una stima dell'errore.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.